OT I
D'ailleurs •— - se réduit à — en supprimant le facteur a" commun
aux deux termes; d'où l'on aura
aP
L'expression a'^f est <lonc le symbole d'une division qui n'a pu s'effectuer, et sa vraie valeur est le quotient de l'unilé divisée par la même lettre a affectée de l'exposant p pris positivement. Ainsi
La notation de l'exposant négatif a l'avantage de conserver une forme entière aux expressions fractionnaires.
De la combinaison d'une extraction de racine et d'une division impossibles de quantités monômes résulte une autre notation , c'est 4'exposant fractionnaire négatif.
as ALGÈBRE.
Soit à extraire la racine n**^ de — : d'abord on ji
donc
en rempraçant le signe ordinaire du radicaf par un exposant fractionnaire.
Les expressions a", a~Pj a " sont donc des notations équivalente»
à v'^'" > ~7 V ~' ^1^^ ^'^° peaty suivant le cas, remplacer les premières par celles-ci , et récîproqaement.
L'emploi des exposants fractionnaires étant très - commode dans les calculs , nous allons démontrer que les règles relatives aux exposants entiers eonvieHnent aux exposants fractionnaires.
Soit a * à multiplier par a ' ; je dis qu'il suffit d^ajouter les deux exposants et que l'on a
» » • . > Jjr
En effet y donc
ou bien, effectuant la multiplication,
Soit encore à multiplier a * X ^ ' ; je dis que Ton a
En effet,
donc
Soit plus généralement a " X a^; on a
m p m p np — mq
rt~^" X«^ = fl"^^ = « "^ , car
ALGÈfiRE. 39
donc
XÎ^«^ =
Donc, règle générale , pour multiplier deux monômes affectés d'exposants quelconques , il faut ajouter les deux exposants d'une même lettre ; c'est la règle déjà établie pour les quantités affectées d'exposants entiers et positifs.
On démontrerait de même que pour diviser deux quantités monômes affectées d'exposants quelconques y l'une par l'autre, il faut pour chaque lettre retrancher l'exposant du diviseur de celui du dividende, comme cela a été démontré pour les quantités affectées d'exposants entiers et positifs.
Formation des paisMoioes. — Pour élever un monôme affecté d'exposants quelconques à la /«*«"' puissance, il faut multiplier l'exposant de chaque lettre par l'exposant m de la puissance ; car élever ce monôme à la /n'^' puissance , c'est former le produit de m facteurs égaux à ce monôme: donc, d'après la règle de la multiplication, il faut faire la somme des m exposants ^aux à cekii de chaque lettre , ou multiplier chacun des exposants par m.
Ainsi, soit
aEtraotioo des raoînes. — Pour extraire la racine /z'*^ d'un monôme, il faut diviser l'exposant de chaque lettre par l'indice n delà racine. En effet , l'exposant de chaque lettre dans le résultat doit être tel , que , multiplié par l'indice de la racine à extraire , il reproduise l'exposant dont la lettre est affectée dans le monôme proposé; donc les exposants, dans le résultat, doivent être respectivement égaux aux quotients de la division des exposants dans le monôme proposé par l'indice n de la racine.
Ainsi 9
3/~T » * r^m JL 2 »/ 3 i
L'avantage que présente l'emploi des exposants de nature quelconque, consiste principalement en ce que le calcul de ces sortes d'expressions n'exige pas d'autres règles que celles qui ont été établies pour le calcul des quantités affectées d'exposants entiers.
BèBMmftmtion dn bindoie de Mewton dans le oos d*un exposant
qoelooncpie*
Puisque l'on doit étendre au calcul des exposants quelconques les règles du calcul des exposants entiers et positifs, il est assez naturel de penser que la formule du binôme , qui sert à développer la m'*'"* puissance d'un binôme, m étant un exposant entier et positif, peut également servir lorsque m est un exposant quelconque , d'où l'on déduit des conséquences importantes pour l'extraction des racines par approximation.
Remarquons d'abord que le binôme x •+■ a peut être mis sous la
4o ALGÈBRE,
forme X I i h — h d'où il résulte
(x-4-fl)'"=:a'* ( 1 -f-- ) =j:*(i -+-«)*, en faisant - = z.
Si donc rexactitude de la formule
/ X mXfwf — i) , /w(m — i) (m — a) . .
peut être constatée , quel que soit m^ comme en y remi^açant s
par - et multipliant par or", on obtient
L * I X 2 jr' J
ou bien , effectuant l«s calculs ,
on pourra regarder cette dernière formule comme démontrée géné^ ralement.
Cela posé , lorsque m est entier, il est reconnu que l'on a
mais m étant un nombre fractionnaire positif - , on ignore de queNe
expression algébrique provient le développement
iX2 I X 2X 3
Désignons cette expression inconnue par ^; on a Téquation , . m(m — 1) m{m — \)(m — 2) .
Soit m' un autre exposant fractionnaire positif; on aura de même
Multiplions ces deux égalités membre à membre , on aura y/ pour le premier membre. Quant au second, il serait très-difficile d*en obtenir la véritable forme, d'après la règle ordinaire de la multiplication des polynômes, si l'on n'observait que la forme d'un produit ne dépend aucunement des valeurs particulières des lettres qui entrent dans les deux facteurs de la multiplication; par conséquent le produit ci-dessus doit avoir la même forme que dans le cas où m et m' sont des» nombres entiers et positifs. Or on sait que dans ce cas on a
1 4- mz H ^ -' *»... = (i -f- z)",
m' im' — 1 ) , . .
i: + /?i'zH i ^z'. ..=(i-f-s)'";.
ALGÈBRE. 4.1 d'où
r m(/ii — i) , ir , /w'(w'— i) , 1
L ïX2 JL 1X2 J
= (H- *)■►+*' =1 -f-{OTH-OT')«-Hi— -^^^- ^-^—~ ^a»...;
donc cette forme que Ton vient d'obtenir convient également au cas où i» et m' sont quelconques , et l'on a alors
Soit m'^ un troisième exposant fractionnaire positif, et posons „ „ m'^fm"— i) ,
iXa Multipliant cette équation par la précédente , on trouve de même
Ed général, soit m = ~, et considérons un nombre q d'exposants
m, ut', m"^ m^f etc., de même espèce ; on a , en faisant pour plus de simplicité r = /n ^- «' -<- m*' -f- m*',
(4) ryy'r'-i-h«-h-^^^««+ 1X2X3 '^""
Supposons actuellement m = m'^zzm" = m"', d'où r:=zmq; Téquation (4) devient
••— , -1- «.^« i- ^y(^9— ,, . mq{mq-^i)(mq-^!i)
Or, par hypothèse, /n = -, d'où mq=p'j donc
Maïs /y est un nombre entier; ainsi le second membre de cette équation est le développement de (i 4- 2]^, ce qui donne la relation
ji=(i^9)p, d'où 7=(i + »)^=(i-f-»)";
donc enfin
mfm — i) , m (m — i](m — 2) ,
