X2 IX 2X
m étant un nombre fractionnaire positif quelconque.
Pour démontrer cette formule, dans le cas où m est négatif entier ou fractionnaire, il suffit de poser dans l'équation (3) obtenue au moyen des équations (i) et ( 2 ) m' = — m , ce qui, à cause de la relation Al 4- it' =: o, réduit l'équation (3] k yy' = i; d'où l'on tire
Mais puisque , par hypothèse , m est négatif, m' ou — m est nécessairement positif, et l'on a
/={i-h«)'"', d'où jr = — l=(,H-ï)--«'==(i4-z)«,
et, par conséquent,
, m (m — I ) m (m — i)(in — 2 ) ,
Applioatiom de la formule du bludme à l'extraction dei reoinet.
Le procédé à suivre pour extraire la racine m**"* d'un nombre entier quelconque, se déduit de la composition des deux premiers termes pm -f- m/f*-^ X y du développement de la m'*"* puissance de
Soit proposé d'extraire la racine cinquième d'un nombre entier.
On observe d'abord que la cinquième puissance de i o étant i oo ooo, les racines cinquièmes des nombres moindres que loo ooo sont moindres que lo.
Les cinquièmes puissances des nombres
sont
I, 32, 243, I oa4> 3 125, 7776, 16807, 32768, 5go49.
On en déduit les plus petites valeurs entières approchées des racines cinquièmes des nombres moindres que 1 00 000.
Par exemple, 64 étant plus grand que 32 et moindre que 243, c'està-dire tombant entre 2* et 3*, la plus petite valeur approchée de
^64 est 2.
Pour extraire la racine cinquième d'un nombre entier a plus grand que 100 000 , on désigne le nombre des dizaines de la racine par a et le chiffre des unités par b; la racine demandée est 10 a-^by et la formule
donne
a = (ioa -f- by := iooooo€i*-f- 5^* 6 X loooo -f- . . .
= a^ centaines de mille -h 5 a* ^ dizaines de mille + . . . .
La cinquième puissance de a dizaines de la racine se trouvant dans les centaines de mille de a , si l'on représente le nombre de ces centaines de mille par ^, je dis que la plus petite valeur entière approchée 7 de ^ exprime les dizaines de y a ; car a étant compris entre 7* et (7 -h I )* centaines de mille, on a
«>7*X loS a<(7-+- 0*X loS d'où
La racine cinquième de a tombant entre 7 et 7 + i dizaines, contient 7 dizaines; de sorte que 7 = 0.
La question est ainsi réduite à déterminer la racine cinquième d'un nombre ^, qui contient cinq chiffres de moins que a. Raisonnant d'une manière semblable sur ^, on est conduit à diviser le nombre
donné a, en tranches de cinq chiffres à partir de la droite; la dernière tranche peut renfermer moins de cinq chiffres , elle contient la cin* quième puissance du premier chiffre à gauche de la racine; la Table des cinquièmes puissances des nombres i, 2, 3, 4» ^9 ^^'^ donne ce premier chiffre , et ensuite chacune des autres tranches fournit un chiffre de la racine demandée.
Bxempie. — Calculer la racine cinquième de 6436343.
On divise ce nombre en tranches de cinq chiffres à partir de la droite; le nombre 2 des tranches indique que la racine a deux chiffres.
La première tranche à gauche , 64 j tombant entre 32 et 243 , c'està-dire entre 2* et 3% le chiffre a des dizaines de la racine cherchée est 2.
Cela est d'ailleurs évident, car 6436343 tombant entre 2^ et 3* centaines de mille, c'est-à-dire entre 2* X 10* et 3' X 10', la racine cinquième de 6436343 est comprise entre 2Xioet3Xio, c'està-dire entre 2 et 3 dizaines.
Retranchant 2* de 6436343 , le reste est 3236343 ; on a
^ 3236343 = (ioa -h b)* — a^ centaines de mille z=iSa* b dizaines de mille + . . . .
Le terme Sa*b ne peut donc fiatire partie que des 323 dizaines de mille du reste 3236343.
Or, 323 contient 5 a* b^ plus le nombre des dizaines de mille qui peut se trouver dans la somme des autres parties de ( loa + ^)* et 5 fl* = 5 X 2* = 80 ; divisant donc 323 par 80 , les quatre unités du quotient exprimeront le chiffre b des unités de la racine ou un chiftre trop grand. La cinquième puissance de 24 étant plus grande que 6436343 , le chiffre 4 est trop fort. Diminuant ce chiffre d'une unité et retranchant 23^ de 6436343 , le reste zéro fait voir que la racine demandée est 23.
Par un raisonnement semblable on verra comment on peut extraire les racines de tous les degrés des nombres entiers.
Application de la fonmile du binôme à l'extMOtioo de* racinet par
approziiiiatlon.
Prenons la formule
posons m^s^—y il vient
(jT-f-a)" ou v(x-h/ï)
OU réduisant 9
VI V .^vS v
jr-L^a — «■ / t-U-l^
Cela posé, soit à extraire la racine cubique de 3 1. Le plus grand cube contenu dans 3i étant a^, faisons dans la formule ci- dessus /i=:3, x = 25 et = 49 ce ^l^i donne
;^ = yï7T4=^7'(- + ^)''
il vient
V^i = 3( I -hâX-^= — âX^X *-âXâX-X--^— ...)*
ou bien , en effectuant les calculs ,
Le terme suivant s'obtiendrait en multipliant ^^ , , - par
— ^ X- ou ^X:f^
et changeant le signe , ce qui donnerait —
43046721 On trouverait de même, pour le terme qui suit ce dernier,
et ainsi de suite.
Mais ne considérons que les cinq premiers termes de la série et réduisons en décimales, nous obtenons d*abord pour les termes additifs
— = Oyl48l5| « /o /r
et, pour la somme des termes soustractifs ,
donc
Ce résultat est exact à 0,00001 près.
BztraolMn des rwâiiet des nombre» décinuiuz et des f raotioiu.
Le produit de plusieurs nombres décimaux contenant autant de décimales qu'il y en a dans tous ses facteurs y la m*^^ puissance d^un nombre N qui renferme n décimales, contient m^n décimales.
Par conséquent, pour trouver la racine m^*^ d'un nombre décimal, à moins d'une unité décimale du n*^^ ordre, on doit préparer ce nombre de manière qu'il renferme m^n décimales ; on calcule la plus petite valeur entière approchée de la racine n*^^ du nombre entier qui résulte de la suppression de la virgule dans ce nombre ainsi préparé , et Ton sépare n décimales sur la droite de cette valeur approchée.
Soit proposé d'extraire la racine cinquième de 0,000701 5833247 à moins d'un centième d'unité, c'est-à-dire avec deux décimales. Il suffit de conserver 2 fois 5 ou 10 décimales, ce qui donne 0,000701 5833. Sapprinuudt la virgule, on cherche la plus petite valeur entière
approchée de {^701 5833 qui est 23. La racine cherchée est donc o,23. Od peut s'assurer que 0,007015833247 tombe entre les cinquièmes puissances de 0,2 3 et 0,24*
La racine m''"' d'une fraction peut s'obtenir en extrayant séparément la racine m**^' du numérateur et du dénominateur.
Par exemple ,
Lorsque la racine m^*^ du dénominateur n'est pas exacte, on réduit le calcul à extraire une seule racine au moyen de la formule
V "^ Si J désigne la racine m**^* de ab^~^ à moins d'une unité, la valeur
de i/t sera comprise entre 7 et — ^*, de sorte que chacune des
fractions -r , — r — exprimera la racine m***^ àe -r^ moins de t
d'unité.
4oi Soit proposé d^extraire la racine cinquième de -7—
La formule donne
Le nombre 32481 tombant entre 16807 et 32768, c'est-à-dire entre
7* et 8^, la racine cherchée est ~ à moins de -z d'unité.
Pour évaluer en décimales la racine m'^' d'une fraction 7 9 on prend
la racine n^*^ du quotient de a par by en ayant soin de calculer 7» fois plu.s de décimales au quotient qu'on ne veut en obtenir à la racine.
Bxemple. — Déterminer la racine cinquième de à moins de
d'unité , c'est-à-dire avec deux décimales.
lOO
On cherche d'abord le quotient de 1 1 1 13 par 1 1 avec 5 fois 2 ou 10 décimales, ce qui donne 1010,2727272727. On calcule la plus
petite valeur entière approchée de v/i 01 02727272727, qui est 898. Séparant deux décimales, la racine demandée est 3,98.
O. tÊ
Pour trouver la racine m''*'d'un nombre -r à moins de - d'unité,
on pose
:/t-\x, d'où x=»7fE:.
On cherche la plus petite valeur entière approchée N du quotient de a p* par ba^y et on calcule la plus petite valeur entière approchée n
de "^N, la racine demandée ^t — ; car, d'après les calculs indiqués ,
on a
^ . a ^ a/i a ^ a (« -+• i) j:>«, j:</i4-i; donc ô^>-â^ g*< ô
Or
/a a , fa ^ an . /^ ^ot,n
"*"o . OLn an a
Y est donc comprise entre -5- et -^ -f- 2' à p p p
La théorie des progressions et des logarithmes, telle que nous l'Avons donnée dans notre Cours de Mathématxques élémentaires ^ était sudisante pour le but que nous nous étions proposé ; mais nous de vons dans ce second volume lui donner plus de développement , afin de compléter les connaissances algébriques absolument indispensables pour Fétude de l'application de l'algèbre à la géométrie.
On distingue ordinairement deux sortes de progressions : celles qu'on nomme arithmétiques ou par différence , et celles qu'on appelle géométriques ou par quotient. Dans la première, la diflërence, et dans la seconde, le quotient de deux termes consécutifs sont des quantités constantes.
De la progression arithmétique.
D'après la définition précédente, les nombres naturels o, 1,2, 3, 4 9 ^9 ^9 7> ^^^*9 forment une progression arithmétique dont la différence est i . La notation , pour l'indiquer, est celle-ci :
7 o. 1 .2. 3*4* • • • On aurait pareillement une progression arithmétique si l'on écrivait les mêmes nombres dans un ordre renversé :
La première progression est dite croissante^ et la seconde décroissante.
PaoBÙMB G^ir^RAL. — Désignous le premier terme d'une progression arithmétique par a, la différence par d^ le nombre des termes pr n 9 le dernier terme par u et la somme par s, TrouA-er deux de ces cinq quantités lorsqu'on connaît les trois autres.
SohrtKm. — On a généralement
u =za-h a(n — i) et 5=^ ^.
En effet , soit une progression arithmétique croissante
7 a.a-^ d,a -h arf.a-f- 3</. . .«.
Il est évident que le coefficient de d^ dans un terme quelconque, est toujours plus petit d'une unité que le rang de ce terme; donc ce coefficient est 71 — i dans le n*"^ ; donc ce /i'*"** terme ou
Pour détfiontrer ré(|uation s = — 9 nous procéderons
comme il suit : Écrivant la progression donnée
^a,a'\'d.a~{-id,a'^3d.,,a-hd{n — 2).a-f-^'(« — 1); puis écrivant terme à terme la progresion renversée
fa -h d{n — i).a-f-</(/i — 2).a4" 3rf,a-{-2rf. ..a-^ d.a; faisant la somme de ces deux progressions
i^a -hd{n — i).2a-|-£/(/i — i).2fl4-rf(/i— i).2a
-H£/(/l — l).2fl + £/(/I — l).2a-f-Éf(/I — i),
ou
~ a-h u.a -^ u.a-^ u,a-^ Uy donc
iû -\- ti\ n 2s = (n -h u)n, et enfin s=z- ^»
On voit 9 en effet, que l'on a ajouté ensemble, terme à terme, les deux premières progressions pour former la troisième. Tous les terme» de cette dernière se trouvent nécessairement égaux entre eux, parce que la différence d est additive dans la première et soustractive dans la deuxième. Chaque terme de la troisième étant exprimé par a -^u, la somme de tous les termes le sera par (a + a) /z ; mais cette somme est évidemment double de celle des termes de la première progression.
Donc s = ' —^ en désignant par s la somme des termes de la
première progression. Les deux équations fondamentales
a = fl-f-</(/î — i) et J = ^ ^
se traduisent ainsi dans le langage ordinaire : le dernier terme d'une progression arithmétique croissante est égal au premier terme, plus la différence multipliée par le nombre des termes moins un , et la somme des termes est égale à la moitié du produit de la somme des ex* trémes, multipliée par le nombre des termes.
Le» deux équations primitives u = a-^d(n — i)eti= ^ î^
ayant trois quantités communes, a» « et /?, on peut en tirer trois autres équations en éliminant successivement a y u ei n. Ces équations dérivées sont
2 s zzznun — du(n^ï)y
2 s z=. 2 an ••\- du\n — i),
2eisz=zu^ — a* -{- ad -h ud.
Ainsi , on aura cinq équations entre les cinq quantités a, dy n , Uy s combinées quatre à quatre.
Si Ton résout chaque équation par rapport à chacune des quatre quantités qui y sont employées , il en résultera vingt formules qui résoudront le problème proposé :
