II
II, i,
If, dy
FOUIOLES.
2X— <ln(n — i)
an
ai — an
is-^dn (n — an
ai
Cl — a
lis
df— aa
rfcV'Catf
^dy
aif
±:V(ai»
aif
u* — a' as — a — u a i — a If »
«(n — i) aun — a*
(a-i-ii)»
(a-t-u) (u — a-hd ,=-i i3--
aa
aiin + iin(n — i) s = — i :.
2 un — ifn ( n — i )
Des progfCMÎOBt géomètriqvM oa par qnotMni.
Dans cette espèce de progression, le quotient de deux termes consécntîfii, dirisés l'un par l'autre , est toujours le même. Ainsi la suite des nombres 1,2,49^9 16, où chaque terme est Ta moitié du suivant, et celle-ci, iSGsS, 3i25, 625, 1 25, 25, 5 et i , où chaque terme est le cinquième do précédent, forment deux progressions géométriqaes, la première croissante, et la seconde décroissante. On écrit
PaOBitin GKN^KAi^. — Connaissant trois de ces cinq quantités , le plus petit terme a , le plus grand u, le nombre des termes n, la somme des termes s et le quotient q , trouper les deux autres»
flototion. — Supposons la progression croissante et 7^1; nous aupons,
uq — a
En effet, soit la progression croissante quelconque
'7^, alaq :aq* : aq^ : aq* : aq^ : aq^ : . . . u.
On voit évidemment que dans chaque terme Texposant de q est plus petit d'une unité que le rang de ce terme; ainsi cet exposant doit être n — i dans le «*•*• terme, et par conséquent u = aq'^\ De l'équation
sz^a-hoq -h aq^ -♦- aq^ .... -H a^""* H- nç""' -♦- aq^"^ ou u
on tire d'abord
j — a = fl^ -h aq^ H- aq^ ... -h <i9"'"*-h «ç"~'
de réqnation
s — a'=^q[s — u) on tire successivement
s — a = qs — uq^ puis s — sq =:a — uq ,
et , en mettant s en facteur commun dans le premier membre ,
s(i — q)=a-^uq,
d'où
a — uq , ^ uq — a
s = ^ » ou plutôt s =■ -^ j
parce qu'on a supposé 7^1.
Si l'on élimine successivement chacune des trois quantités a^ u, q communes aux deux équations primitives
uq — a u = <17*~' et s = y
on aura ces trois équations dérivées :
aq^ — a -^-s — ^7 = 0,
«7" — a -h *7"'"' — sq* = o,
a ( j — a/~' — a {s — fl)"""' =: o.
On aura donc en tout cinq équations, renfermant .chacune quatre
des cinq quantités a^ u, q^ /i et j. La résolution de ces cinq équations donnera vingt formules, et ces vingt formules résoudront le problème proposé. Voici ces formules en y employant, autant que possible, les logarithmes, dont nous parlerons après :
COIINAISSAMT
", If »•»
TBOUYKR I
FOft MULES.
fl, "♦ J,
fl» «. 7
log tf = log II — (n — i) X log ç.
ta = uy-t-i — sq, Iog{i — a) = log9 4-log (i— u).
« = logi-hlog(7 - i)— log(^" ').
M |« = iiv"~',
( logtt=:logtf + (n — i)Xlog7.
log(* — ■)r=!og(l — rt)- log7.
logi» = log5-4-(« — i)xlog7-»-log(7-i) — 1oc(f -
log II — log rt
\ ]og7 = log(#— Il — teg(5~ir
Jog 7 = log (
«7" — sq-hs^ a=zo.
Il=l-t-
i — u t — u log u — log a
logf
log u— log a
Iog(« — a) — log(* — II)
log {<! -h sa — j) — log a
logf
■ loga — log(* — iyi-«y)
log 7
uq — a
log5 = log(iiy — I»)— log(^— 1)
co!riAiftSA!rr ! thocter
u i/u — rt V <*
n-ii-" II- II—
On calculera séparément
n-i/— n-i/— n-iy- n-i^-
par lo3 formules particulières
log a ya =r log a -h
n-if log a
log y fl = •
Jl — I
log * = log « 4-log (7* — i) - log (^ — I)
log *= log u-»- log (7" — 1) — log (7— - ï^e / '
Se» pcogreMÎoiis infinie) par quotient.
Soit une progression décroissante
Ha: b:c :d:e:/. ..
d'un nombre infini de termes. Si l'on considère la formule
qni donne la somme d'un nombre n de termes, elle peut être mise sous la forme
* "^ 1 — 7 "~ I — 7 Or, puisque la progression est décroissante , 7 est une fraction ; 7* est aussi une fraction , qui sera d'auUnt plus petite que n sera plus grand.
Ainsi , plus on prendra de termes dans la progression, plus -j— - X 7"
dioainiiera ; plus , par conséquent , la somme partielle de ces termes approchera de devenir égale à la première partie de i, c'est-à-dire à
— ^« Enfin , si l'on prend pour n un nombre plus grand qu'aucune
a grandeur donnée , ou si Ton suppose /i = 00 , j— - X ^" «era
moindre qu'aucune grandeur donnée ou deviendra égale à zéro, et
Texpression représentera la valeur de toute la série.
D'où l'on peut conclure que la somme des termes d'une progression
5a ALGÈBRE,
décroissante à rinfini a pour expression
G*est , à proprement parler, la limite vers laquelle tendent sans cesse toutes les sommes partielles que Ton obtient en prenant un nombre de plus en plus grand dans la progression. La difTérence entre ces
sommes et peut devenir aussi petite que Ton veut , et ne devient tout à fait nulle que lorsque Ton prend un nombre infini de
termes.
ApplîoAtions. — Soit la progression décroissante à l'infini
3 9 27 oi
on a , pour Tex pression de la somme des termes ,
L*erreur que Ton commet en prenant cette expression pour la valeur de la somme des n premiers termes , est marquée par
Soit d'abord /z = 5 , il vient
2 \3/ ""2X3*"" 162" Pour /i = 6 . on trouve
d*où Ton voit que l'erreur commise lorsqu'on prend - pour la
somme d'un certain nombre de termes , est d'autant plus petite que ce nombre est plus grand.
Lorsque la série est croissante , l'expression
ne peut plus être regardée comme une limite des sommes partielles ; car la somme d'un nombre déterminé de termes étant
a aq^
la seconde partie — ^^— augmente de plus en plus numériquement à
mesure que n augmente; c'est-à-dire qu'au contraire , plus on prend de termes, plus l'expression de la somme de ces termes diffère numé-
riquea.entde^.
La formule
est seulement , dans ce cas , Texpression algébrique qui , par son développement , donne lieu à la série a -f- a^ + aq^ + ag^ 4- . . . . Il se présente ici une circonstance fort singulière au premier abord.
Puisque est la fraction génératrice de la série dont nous venons
de parler, on doit avoir
a =r /i -f- ^^ + aq^ -H aq* -h . . . .
Or, en faisant dans cette égalité
a=z=i, q = 2, on trouve
ou — 1 = i-h2-h4-+-8-|-i6-f-3a-»-.. .,
équation dont le premier membre est négatif , tandis que le second semble positif , et d'autant plus grand que q est lui-même plus grand.
Pour interpréter ce résultat, observons que, lorsque dans l'équation
a = fl 4- flr^ -H aq* -f- . . .
on arrête la série à un certain terme, il faut, pour que Tégalité subsiste, compléter le quotient. Ainsi, en s'arrétant, par exemple, au quatrième terme aq^y
^ aq*
Premier reste.
Deuxième reste.
Troisième reste.
