ûç
Quatrième reste.
« 4- fl^ 4^ aq^ 4- «ç* 4-
On doit ajouter au quotient obtenu l'expression fractionnaire —^ — 9
ce qui donne rigoureusement
a aq*
z=za -^aq -{- aq^ 4- aq^ 4-
Si maintenant on fait, dans cette équation exacte ,
il vient
égalité qui se vérifie d'elle-même.
En général , lorsqu'une expression en x, que Ton désigne par F(x) et que l'on nomme fonction de x, est développée en une série de la forme
« 4- ^-c 4- ex' 4- dx^ •^. . . y
cm n*a rigoureusement
F(x ) = a H- *x -*- ex' -h d:»^ -f- . . .
qu'autant que Ton conçoit , en s*arrétant à un certain terme dans le seoond meaibre , la tèrie complétée par une certaine expresaion en x.
KéiohiiloB de Féqoatkm a*=b. — On appelle ces sortes d'équations équations exponentielles, pour les distinguer de celles que nous avons considérées jusqu^à présent, et dans lesquelles Finconnue est élevée à des puissances marquées par des nombres connus.
La question consiste à trouver l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever un nombre donné a pour produire un autre nombre donné b.
Soit 9 par exemple, à résoudre Téquadon 2' ;;r 64* En él^V^Pt ^ à ses différentes puissances, il est facile de reconnaître que 2' =64; donc X = 6 satisfiiit à TéquatioB .
Soit encore l'équation 3'= 243; on a pour solution x = 5. En un mot, tant que le nombre b sera une puissance pfirfaitc du nombre donné , « sera un nombre entier que Ton obtiendra par l'élévation de à set puissances successives, à partir du degré o.
Soit maintenant à résoudre l'équation 2* 3= 6. En faiaant x = 2 et jr = 3, on trouve 2' = 4 ^^ 2^ = 8; ^*oii l'on voit que x a une valeur comprise entre 2 et 3.
Posons donc
jc = 2 -H -7 («' est ^O-
On a, en substituant cette valeur dans la proposée ,
donc
2 "^=6, ou 2«X2*'=r6;
ou, élevant les deux membres à la puissance x\
iïï-
Pour déterminer x', faisons successivement x' = 1, j/ = 2; on
trouve
(3x1 3 - I = - 9 nombre plus petit que 2 ,
et
( - j =79 nombre plus grand que 2 :
ainsi x' est compris entre 1 et 2. Posons donc
x'= I -i--7, (j^" e>t aussi >i).
On obtient 9 en subsliluant dans réquation exponeutielk en x\
ou réduisant 9
Les deux hypothèses x" =;: i et ;p'' := 2 donnent
( w 1 = o 5 nombre plus petit que ~>
et
1^) = — =' 4--» nombre plus grand que - ;
amsi X est compris entre i et 2.
Soit donc
il en résulte
d'où , réduisant ,
Si Ton fait successivement x'' = i, ;t » 5, oo trouve pour 1^ deux dernières hypothèses
{î)=^ = '-^^' nombre<.4-|.
et
(§)''^S7f'='-^5ïl' •»"»** >-^5'
ainsi x^ est compris entre 2 et 3.
Soit
l'équation en x^ devient
(i) ' =5 "" H'^it)' =1'
et, par conséquent,
En opérant sur cette équation exponentielle comme sur les précé dentés, on trouverait deux nombres entiers X et A + i entre lesquels
x^^ serait compris. Posant
on déterminerait x" comme on a déterminé x*^ ; et ainsi de suite. Rapprochons maintenant les équations
Nous obtenons la valeur de x sous la forme d^une fraction continue
Or nous avons vu que dans une fraction continue , plus on prend de fractions intégrantes, plus on approche de la valeur du nombre réduit en fraction continue ; ainsi y Ton pourra, par ce moyen , trouver la valeur de x propre à vérifier l'équation 2' = 6, sinon exactement, du moins avec tel degré d'approximation que l'on voudra.
Ainsi, en formant les quatre premières réduites d'après la loi établie, on trouve
,3 et la réduite -?- ne diffère de la valeur de x que d'une quantité moindre que t; ou -=• Mais l'approximation est encore plus grande, car, si l'on calcule la valeur de x'^ d'après l'équation
/256\^ 9 on reconnaîtra que x'^ est compris entre 2 et 3; ainsi
donc la cinquième réduite est
i3 Ainsi -7- diffère de la valeur de x d'une quantité moindre que
ou
La réduite — en diffère de moins que — - ou -7-7» 12 ^ 12' 144
Méthode générale.-- Soit a* =z b l'équation à résoudre (aeib étant deux nombres absolus plus grands que i, et n étant supposé plus petit
que b). £d formant les puissances successives d^ '?, on trouve que b est compris entre a" et a"^' ; alors on fait
JT
Substituant cette valeur dans l'équation, on obtient
équation qui revient à
a-Xa''=î^, d'oii
ou, posant, pour plus de simplicité, ~ = c ,
Opérant sur cette équation comme sur la proposée , on reconnaîtra que x' est compris entre /l' et /i' + 1 , ce qui donnera
substituant cette valeur dans l'équation en a/, on sera encore conduit à résoudre une équation de la forme.
iU" sscld ayant pour valeur —, j ',
et ainsi de suite. Donc enfin on obtiendra pour la valeur de x une expression de la forme
En poussant la suite des opérations convenablement, on aura la valeur de x avec tel degré d'approximation que Ton voudra; et ce degré pourra toujours s'cSstimer, puisqu'il est marc[ué par le quotient de l'unité divisée par le carré du dénominateur de la dernière réduite à laquelle on sera parvenu.
Kemarqne. — i^. Si dans le cas de â ]> 1 et 6 ^ i on suppose è <^ a , comme on a a® =r i et a' = a , il s'ensuivra que x est compris entre o et i; il faut alors commencer par poser x = -^9 ce qui
revient à faire /z = o dans le calcul précédent.
a". Si ^ est une fraction et que a soit plus grand que l'unité, il faut poser dans l'équation
ce qui donne , en substituant ,
a^J^ = b , d'où «y = "7 -,
et comme t est ^ i, on déterminera x d'après la méthode ci-dessus>
et la valeur correspondante de x sera égale à celle de y prise n^ativement.
Il en est de même si Ton prend ^ ]> i et a <[] i .
Au moyen de ces remarques, l'application de la méthode n'offre aucune difficulté ; seulement les calculs pour obtenir un grand degré d'approximation sont assez laborieux.
On peut demander si, en suivant la méthode précédente, on sera conduit à une fraction continue d'un nombre limité de fractions intégrantes , ce qui donnera pour x un nombre commensurable et égal à la dernière réduite de la fraction continue ; ou bien , si le nombre des fractions intégrantes doit être illimité , auquel cas x sera incommensurable.
Pour répondre à cette question , supposons dans Téquation £1'= h y
X égal à un nombre commensurable — » et voyons quelle relation il
doit exister entre les nombres et & pour que cette valeur puisse être
admise , c'est-à-dire pour que x soit commensurable.
Soient en premier lieu atX.b deux nombres entiers; on a Féqua-
tion a =s ^ que Ton peut mettre sous la forme a** = ^".
n est d'abord évident que cette égalité ne peut subsister qu'autant que a et 6 sont composés des mêmes facteurs premiers ; car si Ton suppose dans h un facteur premier qui ne se trouve pas dans a, et qu'on divise les deux membres par ce facteur, le second membre sera un nombre entier, et le premier un nombre fractionnaire, ce qui est absurde ; donc si l'on a , par exemple ,
on doit avoir aussi
Substituant ces valeurs dans l'équation o^ = ^", on la change en celle-ci :
Cette nouvelle égalité ne peut évidemment subsister qu'autant que les puissances d'un même facteur premier sont égales dans les deux membres; car si elles étaient inégales, en divisant les deux membres par la plus haute puissance, on serait encore conduit à ce résultat absurde : un nombre entier égal à un nombre fractionnaire.
Ainsi l'on doit avoir séparément
mp =: np' , mq = nq' y mr = nr* , ms = m' ;
d*où l'on déduit
Donc, pour que la valeur de x soit commensurable, il faut et il suffit que a et ^ soient composés des mêmes facteurs premiers, et que les exposants de ces facteurs forment entre eux une suite de rapports égaux. Si ces deux conditions sont satisfaites, la valeur de x est égale au rapport constant qui existe entre les exposants.
Supposons en second lieu que a ei b soient fractionnaires et égaux
i T> , p ; l'équation a"" = 6" devient
, d'où A»A''' = A''»K
Qr A et h\ k et A' étant premiers entre eux , il en est de même de A* et A'"*, de A" et A'* ; ainsi, pour que l'égalité précédente subsiste^il faut que l'on ait séparément hr = k^^ et h"* zs A'*, ce qui conduit aux mêmes considérations que ci-dessus entre les numérateurs et les dénominateurs y comparés respectivement entre eux.
Om particnlîen. — Si a et ^ étant des nombres entiers ne renferment qu'un seul facteur premier, x est nécessairement commensurable.
En effet , soit l'équation
4' = 32, qui revient à
2** = 2* j il en résulte
2«xs=5, d*où j; = -—
Soit encore
27'= 3 187 ou 3" = 3';
on a
Si a n'est composé que de facteurs premiers élevés à ta première puîasanoe, il faut que b soit une puissance parfaite de a pour que x soit comoiensiirable j en sorte que dans ce cas x est entier, ou bien incommensurable.
En effet y soit
az=<ay9y d'où 6 = a^€f'7''^''; Féqu^tion if=zb* devient
a" g* y" ^ = oP'" C*** Y^ 9*** ;
d'où l'on déduit
m =j/n = q'n r=z/n = $'n , ou bien • // =3 <y' 5:^ r' 53; *'. Donc
et, par conséquent, x z=zp\
Ainsi, soit a= 10 c= 2 X 5, il faut que b soit une puissance parfaite de 1 o pour que x puisse être commensurable.
Néper, inventeur des logarithmes , a dû en concevoir l'idée en comparant la progression arithmétique à la progression géométrique.
Les logarithmes sont des nombres artificiels qu'on emploie au lieu des noœbrei véritablea pour simpliticr les calc^ils. Kn eH'et , par leur moyen on ramène la multiplication à l'addition , la division à la soustraction, la formation des puissances à la multiplication, et l'extraction des racines à la division. Il peut y avoir une infinité de
6o ALGÈBRE.
systèmes de logarithmes , parmi lesquels il en existe deux qui sont en usage. Nous nous bornerons d*abord aux logarithmes vulgaires, et nous en établirons la théorie sur la comparaison des progressions ; ce procédé parait le plus simple et le plus élémentaire. Soit la progression géométrique
H I : lo : loo : i ooo : loooo : looooo, . . . ,
et la progression arithmétique
7w.I «IZ.Ja 4L m \J » • . •
Nous prendrons les termes de celle-ci pour les logarithmes des termes correspondants de la première. Ainsi log 1=0, log 10 = i, log 100 = 2, etc. On voit que le logarithme a autant d*unités qu'il y a de zéros après l'unité dans le nombre correspondant.
La progression géométrique , comme on voit , est celle des pub* sances de 10; et la progression arithmétique est celle des nombres naturels. Ce sont celles qui rendent les calculs les plus simples.
Pour concevoir les logarithmes des nombres qui ne sont pas des puissances de 10, comme 2,3, etc. , on suppose qu'on a inséré un très-grand nombre de moyens géométriques entre deux termes consécutifs dans la progression géométrique, et un pareil nombre de moyens arithmétiques entre les termes consécutifs et correspondants de la progression par différence. En allant de i à 10 dans la progression par quotient, on aura des moyens géométriques qui équivaudront l'un à 2, l'autre à 3, un autre à 4» etc., sinon exactement, au moins d'une manière suffisamment approchée , puisque la différence entre deux moyens consécutifs est aussi petite qu'on veut. Ces moyens géométriques équivalant à 2, à 3, à 4» ^^c** auront pour logarithmes les moyens arithmétiques correspondants.
Par exemple, si Ton évalue les logarithmes à un cent-millième près , comme dans les Tables de Lalande , on est supposé avoir inséré 99999 moyens, tant par quotient que par différence, et la dif-
férence entre deux moyens nar différence consécutifs est -
tandis que le rapport de deux moyens par quotient consécutifs est
exprimée par vio.
On voit que ce rapport se trouve par la formule précédente ,
Ici /i = 1 0000 1 , M =r I o , a = I .
La différence entre deux termes consécutifs de la progression par différence correspondante se trouve par la formule
Ici tf =: I, a = o.
Nous indiquerons d'autres procédés praticables pour calculer réel> lement les logarithmes des nombres qui ne sont pas des puissances exactes de 10.
Voyons maintenant comment, à l'aide des logarithmes, on ramène»
ALGÈBRE. 6i
ainsi que nous l*avûDS anaoncé, la multiplication à racldition, la division à la soustraction , etc.
Concevons qu'on a inséré entre les termes consécutifs de l'une et de Tautre progression , ce très-grand nombre de moyens par quotient et par différence dont nous avons parlé. Soient q le rapport de deux termes consécutifs de la nouvelle progression par quotient, y un terme quelconque de la même progression dont le rang est /i; soient pareillement d la différence de deux termes consécutifs de la nouvelle progression par différence , et :tr un terme quelconque dont le rang est n ; parconséquenty x = logj. On aura
7 = 7'^' et x = d(n — i).
Oo aura de même
y = 7"'-' et x'==rf(/i'— i);
/ est un terme dont le rang est n' dans la pro{;ression par quotient; x^ est le terme correspondant ou du même rang dans la progression par différence. Ainsi
x' = log y.
Si nous multiplions/ par /, nous aurons
r X / = Ç"-' X y "'-' = 9'^"''"S puisque les exposants sont supposés des nombres entiers. Le produit ^•+■'-1 ç^ mi j^g termes de la progression par quotient , et il y occupe un rang marqué par /i + /i' — i . Ainsi son logarithme , qui occupe la même place dans la progression arithmétique » doit être exprimée par d(n -h nf — a). Or
j:-Har' = ^(/i-f- /i' — a); donc
logr xy = x-h x^=\ogx -H log/.
Ainsi le logarithme d'un produit de deux facteurs est égal à la somme des logarithmes de ces deux facteurs.
Si le produit renferme trois facteurs y comme j X X^Xx^f soi* 7 X y' = « 1 on aura
X xy X y = «y
et
logr xy X y= log */'= log z 4- log r"=iog r •+• logy-+- log/',
à cause de
l0gz=:l0gj-i-l0g/.
Ainsi le logarithme d*un produit de trois facteurs est égal à la somme des logarithmes de ces trois facteurs. Il est facile d'étendre cette règle à un nombre quelconque de facteurs. Donc, en général, le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des /acteurs de ce produit. Donc la multiplication, au moyen des logarithmes, se ramène à l'addition.
a La divîûon le ramène à U toiutraoUon. — En effet , soit q =zj\ donc
bq=^ a et log bq = log 6 H- log q = \ogn.
Enfin
log<7 = logfl —log 6,
6a ALGÈBRE.
c^est-à-dîre ie logarithme d'un quotient est égal au logarithme du di^vidende moins le logarithme thi diçiseur. Donc la division se ramène à la soustraction.
&a fomMtMMi àeê fmHfmjùt te ramène à la walttplieatMm. -^ Soît y s= a^; donc
logj = îog a -f- log rt =r 2 log a.
Soit encore / ^= a' ; donc
log j^ = log a + log A 4- log a = .3 log a.
Ainsi le logarithme du carré d'un nombre vaut deux fois celui de ce nombre ; et le logarithme du cube d'un nombre quelconque vaut trois fois le logarithme de ce nombre. Il est facile de généraliser cette règle et d'en conclure que le logarithme d'une puissance quelconque d'un nombre se trouve en multipliant le logarithme de ce nombre par l'exposant de la puissance; règle qu'on peut traduire de cette manière en algèbre. Soit/ =^ a*, on en tire
log/ = n log a.
Ainsi la formation des puissances se ramène à la multiplication. Ii'eztnMJtion des nusinet fe ramène A une Mmple division. — Soit
y* := a et , par conséquent y y =z^a\ on aura
log/* ou 2 log/ = log a et
log/r=;i|oga,
c'est-à-dire le logarithme de la racine carrée d'un nombre n est égal à la moitié du logarithme de ce nombre.
Soit encore/' = a ^ et,, par conséquent, / = va ; on aura
log/* ou 3 log/ := log a , et
log/=: ^logfl=-^,
c'est-à-dire le logarithme de la racine cubique d'un nombre est égal au tiers du logarithme de ce nombre. En général^ soit /" = a, et,
par suite, / = J/a ; on aura
log/" ou /llog/ = fl
et
loff a log/ = -^.
Donc , en général , le logarithme de la racine quelconque d'un nombre se troupe en divisant le logarithme de ce nombre par l'exposant de la racine. Ainsi l'extraction des racines , dont le calcul est si pénible et quelquefois presque impraticable par les règles ordinaires, se ramène a une simple division avec le secours des logarithmes.
Après avoir donné les règles qui conviennent au cas où l'on emploie séparément la multiplication, la division, la formation des puissances et l'extraction des racines , voyons celles qu'on peut en déduire quand ci s opérations de calcul sont mêlées ensemble.
Soit la proportion par quotient
on en tire
bc
x-= — et log ^ = log é 4- log c — )og a.
Donc le logarithme tCun extrême d'une proportion par quotient est égal à la somme des logarithmes des moyens moins le logarithme de l'extrême connu.
Soit ia proportion continue
a:x \\ x: b, d où x^ = ab et log x = —^ 2-. .
Ainsi, le logarithme du moyen terme, dans une proportion continue,
est égal à la moitié de la somme des logarithmes des extrêmes.
Soit
b ac -h b
x^rza -^ ^ on j?r= ■ :
on aara
log X = log(ar -f- ^) — loge.
Donc pour avoir le logarithme d'un entier Joint à une fraction , il faut rédmre l'entier en fraction, regarder le nouveau numérateur comme dindende et le dénominateur comme un diviseur, et appliquer la règle prescrite pour la division.
Il ne faut pas confondre log [ac -f- b) avec log ac + log^, ce dernier étant celui du produit de ac par b , au lieu que le premier est celui de la somme de ces deux quantités ; pour l'employer, il faut évaluer ces deux quantités séparément en nombre, les ajouter ensemble , et prendre le logarithme de leur somme.
Xdée de la manière de CMdculer les logarilhnies vulgaire*.
Les progressions fondamentales donnent immédiatement les logarithmes des nombres i, lo, loo, looo, etc., ou des puissances exactes de I G. La recherche des logarithmes des autres nombres se réduit à celle des logarithmes des nombres premiers 2, 3, 5, 7, etc. ; puisque les logarithmes des nombres qui sont formés par la multiplication des nombres premiers, s'obtiennent en ajoutant ensemble les logarithmes de ces nombres premiers. Voyons comment nous pourrons calculer le logarithme d'un nombre premier, celui de 5 par exemple. On ne peut faire usage de la supposition des moyens par quotient et par différence, insérés en nombre immense entre les termes consécutifs desdeux progressions fondamentales, parce que le calcul de cette manière serait pour ainsi dire impraticable; mais voici un autre procédé.
Cherchons un moyen par quodent entre f et 10 et un moyen par différence entre o et i : celui-ci sera le logarithme du premier. On aura, en désignant par x ce moyen par quotient,
xrr yio = 3,162277 et log j: = — ^ — =o,5oooooo.
Cherchons de nouveau un moyen par quotient entre ro et 3 , 16227 7 ^
on aura
Le logarithme correspondant est égal à la moitié de la somme des logarithmes de 10 et 3,162277 : ce logarithme égale 0,750000. On continue l'opération en cherchant toujours un moyen proportionnel entre deux moyens déjà calculés, Tun immédiatement plus grand et Tautre immédiatement plus petit que 5. On s'arrête lorsqu'on est arrivé à un moyen qui ne diffère pas de 5 d'une partie décimale d'un ordre donné ; du sixième , par exemple , si l'on se borne à cette approximation. On calcule en même temps les logarithmes correspondants; ce qui est très-facile, puisque le logarithme d'un moyen quelconque est égal à la moitié de la somme des logarithmes des deux nombres entre lesquels on a calculé ce moyen.
(Test ainsi qu'on a trouvé que le log 5 = 0,6989700. On en conclura
log 2 = log 10 — log 5 = o,3oio3oo.
Avec log 2 et log 5 , on calculera les logarithmes des nombres qui sont une puissance de 2, ou une puissance de 5, ou le produit d'une puissance de 2 multipliée par une puissance de 5. Ainsi,
log 4 = ^ l^g ^ =0,6020600,
log 25 = 2 log 5 = 1 ,3979400,
et log 40 = log 5 + log 8 = 1 ,6020600.
Si Von calcule de même les logarithmes de tous les nombres premiers , on aura facilement les logarithmes des autres nombres qui sont ou des puissances ou des produits des puissances des nombres premiers. A la vérité, cette méthode entraînerait dans des calculs immenses; mais heureusement ces calculs sont faits, et il en est résulté des Tables de logarithmes. Nous allons indiquer celles qui sont le plus en usage.
Bet Tables âe
Les Tables de Callet méritent la préférence par leur étendue et la manière dont on y a disposé les logarithmes vulgaires. Elles renfer> ment , en outre , les logarithmes des lignes trigonométriques suivant la division sexagésimale et suivant la division centésimale. On y trouve aussi les logarithmes Népériens^ dont l'usage est utile dans l'analyse. Nous indiquerons ensuite les Tables de Borda ; elles renferment : i** les logarithmes vulgaires avec la même étendue et la même disposition que celles de Gallet ; 2*' les logarithmes des lignes trigonométriques suivant la division centésimale. A défaut de ces grandes Tables, on peut employer celles in- 12 à six figures, publiées par M. Plauzoles, renfermant les logarithmes vulgaires pour tous les nombres depuis I jusqu'à 21750, et les logarithmes trigonométriques pour l'ancienne et la nouvelle division du quart de cercle.
Les Tables de Lalande ont aussi l'avantage d'être très -portatives; mais elles ne donnent les logarithmes vulgaires des nombres naturels que depuis i jusqu'à loooo.
Nous croyonsdevoir renvoyer à ces différentes Tables pour apprendre la manière de s'en servir.
1) y â dans tout logarithme deux parties distinctes, la caraeténstique et la fraction décimale. La caractéristique est le nombre entier qui précède la fraction décimale; ainsi dans i » 3979400 = log 25, ù caractéristique est i , et la fraction décimale est 3979400.
Gâllet et Borda ont supprimé , et avec raison , la caractéristique des logarithmes vulgaires. Cette suppression , loin d'entraîner des inconvénients y est très-avantageuse , ainsi que ces auteurs le font voir. D'abord il est facile de retrouver la caractéristique des logarithmes d'nn nombre donné s*il est entier, ou s'il est composé d'un entier et «t'ane fraction décimale. Dans le premier cas, la caractéristique a autant d'unités qu'il y a de chiffres moins un dans le nombre donné ; dans le second cas, la caractéristique a autant d'unités qu'il y a de chiffres moins un à gauche de la virgule qui sépare le nombre entier delà fraction décimale. Ainsi la caractéristique est 4 danslog 12345; i dans log i234>5; 2 dans log 123,4^9 > dans log 12, 345; o dans log 1,2345.
En effet, à' cause de log i = o et de log 10 = i , il s'ensuit que le logarithme de l'un quelconque des nombres à, 3, 4)5, 6, 7, 8, 9 est compris entre i et o ; il a donc o pottr caractéristique. On remarquera sans peine que les logarithmes sont compris entre i et 2 depuis log 10 = I jusqu'à log 100 = 2; entre 2 et 3 depuis log 100 = 2 jusqu'à log 1000 = 3; entre 3 et 4 depuis log 1000 = 3 jusqu'à log 10000== 4» ®^^- Par conséquent, la caractéristique du logarithme est 1 ou a ou 3 ou 4^ suivant que le nombre a 2 ou 3 ou 4 ou 5 chiffres. Ainsi, en général, la caractéristique d'un nombre entier a autant d^nnités que ce nombre a de chiffres moins un avant les fractions décimales.
Si l'on mnltipHe ou si Ton divise un nombre quelconque par une puissance de 10, la fraction décimale dans le logarithme du produit on dans celui du quotient sera la même que dans le logarithme du nombre primitif. Ainsi
log 12345 = 4>09i49i I , log 12345 X 10 = 5,0914911
et log- — 3— = log I234>5 = 3,0914711.
Il suit encore de là que la fraction décimale du logarithme d'un nombre composé d'entiers et de parties décimales est la même que s'il n'y avait point de parties décimales. Ainsi log 12345 = 4» ^'49' ' et log 12 ,345 == 1 ,091491 1 , logarithmes où la fraction décimale est la même.
Uiage det Tables.
Comme il est impossible de placer dans les Tables les logarithmes de tous les nombres, on y a inséré seulement les logarithmes des nombres entiers depuis 1 jusqu'à 108000 dans celles de Callet; mais si pour effectuer un calcul numérique on veut employer le secours des logarithmes , il est indispensable de savoir résoudre les deux questions suivantes :
I®. Un nombre quelconque étant donnéy déterminer son logarithme ;
2**. Un logarithme étant donné , déterminer le nombre qui lui ap» partient.
ti6 ALGÈBRE.
Un nombre quelconque étant donné , déterminer son logarithme.
Premier oai. — On suppose le nombre N entier et <^ 108000.
De I à 1200 y il ne faut aucune explication. Si l'on veut avoir le logarithme de 657. , on cherclie ce nombre dans la colonne N ; on trouve à côté les huit décimales 8142 i'jôoy et en rétablissant la ca* ractérifttique, on a
log 652 = 2,8142 4760.
An delà de 1200 lar disposition est moins simple. Dans la colonne W les nombres se suivent sans interruption depuis 1020 jusqu'à 108000 et leurs logaiîtli mes se trouvent encoredansla colonne immédiatement à droite. Ainsi , soit proposé de trouver le logarithme de 3456. Après avoir trouve ce nombre dans la colonne P) , on remarquera que dans la colonne à droite les trois chiffres 358 sont censés se répéter dans l'espace vide qui est au-dessous d'eux ; par conséquent on aura, en restituant la caractéristique ,
Jusqu^ici, il semblerait que les Tables s'arrêtent à 10800. Mais à Taide des autres colonnes, intitulées 1 .2.3, . .9, elles vont réellement jusqu'à 1 08000. D'abord si un nombre est décuple d'un autre, la parjie décimale de son logarithme est la même , et de là il suilqne la colonne marquée O donne aussi de 10 en 10 les logarithmes des nombres jusqu'à 108000. Pour avoir ceux des nombres intermédiaires, il fout recourir aux colonnes i . 2. 3. . .9. La première sert à trouver les nombres terminés par i ; la deuxième, les nombres terminés par 2, etc. Au delà de 10200; les logarithmes des nombres qui ne diffèrent que par les chiffres des onités ayant les trois premières décimales comoM] nés, on s'est contenté d'écrire ces décimales une seule fois dans la colonne 0, et Ton n'a placé dans les colonnes suivantes que les quatre dernières décimales. Ainsi veut*on le logarithme de 34567 , on fera abstraction du chiffre 7 des unités, on cherchera 3456 dans la colonne N , puis on s'avancera horizontalement à partir de ce nombre jusqu'à la colonne marquée 7 pour y prendre les derniers chiffres 66 17 du logarithme demandé; et quant aux premiers, ils sont donnés par le nombre isolé 538 qui se trouve dans la colonne O le plus proche en montant. En rétablissant donc la eai'icléristique , on a
log 34567 = 4,5386617.
Beiuâéme oas. — On suppose le nombre N entier et ^ 108000. Soit
Séparons sur la droite assez de chiffres pour que la partie restante à gauche de la virgule ne surpasse pas 108000, et nous aurons ainsi le nombre
qui est 100 fois plus petit que I^ , «oais dont le logarithme a la même partie décimale que celui de N.
Ne considérant que la partie entière de N', cherchons le logarithi
de 34567» comme dans k premier cas , et nous trouvons, abstraction faite de la caractéristique ,
log 34567 = 0,5386617.
Mais N' surpassant 34567 de 0.89, le logarithme de N' doit surpasser le précédent d'une certaine quantité qu'il faut déterminer. Admettons poiir un moment que les accroissements des nombres soient proportionnels aux accroissements de leurs logarithmes • on remarquera alors que les TaWes contiennent, dans la dernière colonne à droite , les différences toutes calculées entre les logarithmes des nombres consécutifs, et que, pour les nombres 34567 et 34568, cette différence tabulaire est de 1 26 unités décimales du dernier ordre! C'est donc là ce qu'il faut ajouter au logarithme 3456^ pour avoir celui de 34568 ; et par conséquent , lorsque le nombre 34567 n'augmente que de o,&g, on aura ce qu'il faut ajouter à son logarithme en faisant la proportion
d'où
x=ia6xo,89 = ii2,i4.
On doit négliger la fraction o,i4, qui est moindre que Tunité principale du septième ordre , et l'on a simplement
On peirt aussi s'épargner la multiplication de 1 26 X o , 89. En effet, dans les Tables, on voit, au-dessous de 126, une petite colonne de parties proportionnelles qui renferme les produits de cette différence 1 2
par — j — , et qui donne immédiatement 10 10 ^
126x0,8 = 101, 126 X 0,09=11,3; donc
