I26X 0,89= 101 4- TI
En ajoutant ce produit au logarithme de 34567 et en rétablissant la caractéristique, on anra le logarithme cherché, savoir
log 3456789 =: 6,5386729.
La proportion entre les accroissements des nombres et ceux des logarithmes n'est point rigoureusement exacte ; seulement elle fournit une ^proximation suffisante quand les nombres sont grands et les accroissements peu considérables. C'est pourquoi il est essentiel de ne séparer sur la droite du nombre donné que le moins de chiffres possible.
Si l'on avait à trouver le logarithme de 345678987, il faudrait séparer quatre chiffres; et en calculant la différence correspondante à 0,8987, on aurait
126X0,09 =:ll,3,
t)r, si l'on ajoute ces produits partiels, on voit que le dernier, celui
4]iii résulte du chiffre *]y n'a aucune inQuence sur la septième clcci^ maie du logarithme.
Cet exemple montre qu'en général , lorsqu'il faudra séparer plus de trois chiffres pour que la partie restante à gauche ne surpasse pas 108000, on pourra compter comme zéro le quatrième chiffre et le» suivants.
Trobîème cas. — Supposons que "N renferme des parties décimales.
Soit
On fait abstraction de la virgule, etl*on opère comme si le nombre était entier. La partie décimale du logarithme n^aura pas changé, etcehii-cî donnera la caractéristique convenable , que Ton connaît d'avance et qui» dans Texemple, est 1; on aura pour le logarithme cherché :
log 34 956789 = 1^5386729, Soit encore
En opérant sans faire attention à la virgule et en laissant toujours 1» caractéristique de côté, on trouverait 0,5386729. Ce serait là précisément le logarithme du nombre donné , si la virgule était placée à la droite du premier chiffre significatif 3. Mais par là le nombre serait multiplié par 1000; donc il faudra retf^ncher 3 du logarithme cidessus, et Ton aura
log 0,003456789 = 0,5386729 — 3=: — 2,4613271.
Ce logarithme ^st entièrement négatif, puisqu*aa lieu de retrancher 3 du logarithme 0,5386729, c'est ce nombre qu'on a retranché de 3;
maison pourra, en employant la caractéiistique 3, se dispenser de faire la soustraction , et écrire simplement
log 0,003456789= 3,538672g.
Quatrième oas. — Supposons que N est un nombre fractionnaire quelconque. Si des entiers sont joints à la fraction , on convertit le tout en une expression fractionnaire que Ton pourra considérer comme un quotient, et, en conséquence, on retranchera le logarithme du dénominateur du logarithme du numérateur. On trouve ainsi
lojr 42 = I "*" ^^ ^7 = ï ,6;209786 ^^ 3 I — log 3 =: 0,47712125
Quand il s'agit d'une fraction proprement dite, on retranche encore le logarithme du dénominateur de celui du numérateur, et alors il vient un logarithme négatif. Par exemple,
wi-==( ^^6 3 = 0,47712125
^47 j — log 47 = 1 ,6720 9786
Mais on peut facilement avoir, si Ton veut, un logarithme dont- la caractéristique seule soit négative. Pour cela, il sufBt d^ajouter au premier logarithme assez d'unités pour que la soustraction puisse se faire , et de donner ensuite au reste , pour caractéristique , ce nombre
ALGteRE. 69
d'unités pris négativement. En efîet, si dans l'exemple ci-dessus on ajoute 2 au logarithme de 3 , on a évidemment
. ^ 1 log 3 = — 2 -h a,477'2i25
®^47~(— log47= — i ,67209786
Pour plus d'uniformité, on pourrait convenir d'augmenter toujours de 10 la caractéristique du numérateur; alors il faudrait diminuer de 10 celle du reste , ce qui ramènerait à une caractéristique négative.
On logmri tf uae qiielooiiqne étant doonéy troaver le nmnlire oorrapandant.
Premier om. — Supposons que la partie décimale du logarithme soit positive et qu'elle se trouve dans les Tables. Ainsi , soit
Dans la partie des Tables qui s'étend au delà de 10800, on cherche à à la colonne marquée O le logarithme qui approche le plus de la partie décimale de L ; puis on avance dans la ligne horizontale jusqu'à la colonne marquée 7, où l'on trouve les quatre dernières décimales 6617 de L. Alors on se transporte dans la colonne N pour y prendre le nombre 3456, à la droite duquel on placera le chiffre 7, et Ton obtient ainsi le nombre 34567, lequel serait le nombre cherché si la caractéristique donnée était 4 ; mais comme elle est 5, il faut multiplier 34567 par 10^, et on aura le nombre cherché 345670 : si la caractéristique était seulement 2, ce nombre devrait être divisé par too, et le nombre cherché serait 345,67.
Soit encore
(Le signe — placé au-dessus de 2 indique que cette caractéristique est seule négative). Après avoir trouvé le nombre 34567, comme si la caractéristique était 4i on remarquera que pour passer à la caractéristique — 2, il faudrait retrancher 6 de 4 ; donc le nombre 34567 doit être divisé par 10* ; donc le nombre cherché est 0,034567.
Detnciénie «m». — Supposons que la partie décimale du logarithme soit positive et qu'elle ne se trouve point dans les Tables. Soit
En cherchant, comme précédemment, si la partie décimale se trouve dans les Tables , on reconnaît qu'elle est comprise entre o , 497 1 37 1 et o , 497 1 509. Si cette partie était exactement o ^497 ^ ^7 ^ ^^ nombre correspondant, tel qu'il est donné par les Tables, abstraction faite de Tordre des unités, serait 3 1 4 1 5. Mats eîle surpasse 0,497 1 37 1 de 1 28 , ce qui doit produire une augmentation dans le nombre 3f4i5. Or la différence tabulaire la plus voisine est 1 38 , et elle répond à nne unité d'augnïentation dans le nombre 3i4i5; donc , en admettant tonjonrs <]u'il y ait proportion entre les accroissements des nombres et ceux des logarithmes , l'augmentation cherchée se connaîtra en posant
d'où
Par suite , le nombre cherche , abstraction faite de l'ordre des unités, serait composé des chifTres 3i4i593. Mais comme la caractéristique donnée est 2 , ce nombre ne doit avoir que trois chiffres à sa partie entière; donc enfin le nombre cherche est 3i4)i593.
Les parties proportionnelles de la différence tabulaire peuvent épargner la division de 1 28 par i38. La partie moindre que 1 28 et qui en approche le plus est 124 ; cette partie répond à o ,9 , et il y a 4 de l«ste. Si Ton met un zéro à droite de 4 » on a 40 , qui diffère très-peu de la partie 4^; ^^ comme le nombre 3 est à côté, on conclut que 4o répondrait à o,3 ; donc 4 répond à o^o3. En conséquence , le nombre cherché se compose des chiffres 3i4i593; donc, en tenant compte de la caractéristique 2 , ce nombre est 3i^^iSq3. •
Quand la caractéristique est négative, cela ne chan[;e rien aux calculs. On n'y fait d'abord aucune attention , mais on y a égard à la fin pour déterminer le rang des plus hautes unités.
Troisième cas. — Supposons que le logarithme soit entièrement négatif. Soit
Prenons ce logarithme positivement, et cherchons le nombre N qui lui correspond. En divisant l'unité par N , on aura le nombre cherché ; car le logarithme de l'unité étant o , il est clair que le logarithme de ce quotient sera égal à — log N ou L. '
Mais il vaut mieux éviter la division de 1 par N, en ramenant le logarithme donné à un autre dont la caractéristique soit seule néga * tive; or c'est ce qu'on fera en ajoutant 2 à L, et en prenant ensuite
2 pour caractéristique. En effet , on a
Alors on opère comme dans le second cas, et l'on trouve le nombre cherché égal à o , o 1 332556.
Coa^lémento arilhmétiques.
On appelle complément arithmétique d'un logarithme, ce qui manque à ce logarithme pour faire 10 unités entières, ou> ce qui revient au même, le résultat qu'on obtient en retranchant de 10 le logarithme proposé.
Ainsi ,
compl. 3,4725843 = 10 — 3,4725843 = 6,5274157, compl. 2,7325490= lo — 2,7325490 = 7,2674510.
On obtient un complément en retranchant le premier chiffre significatif à droite de 10 et tous les autres de 9. Les zéros qui peuvent se trouver à la droite du nombre restent clans. le complément , qui peut, par conséquent, être formé, pour ainsi dire, diaprés l'inspection d'un logarithme.
Otage des ooinplémeiita eritliméliques.
Étant donnés des logarithmes à ajouter et à soustraire entre eux ,
il faut faire la somme des logarithmes additifs et des compléments des logarithmes soustractifs , puis retrancher de cette somme autant de fois 10 que Ton a pris de compléments.
Soit proposé de trouver le résultat numérique de Texpression
/, /', l" étant des logarithmes à ajouter et à soustraire entre eux« On peut mettre cette expression sous la forme
ou bien y ce qui revient au même,
/-!-/''-+- /"^ -4- compl. log/'-i-compl. log /"*4-compl. log/*^— 3o.
Par le moyen ordinaire , il faudrait faire la somme des termes additifs, celle des termes soustractifs , puis soustraire la plus petite somme de la plus grande > ce qui entraînerait dans deux additions et une soustraction ; tandis que par celui-ci on n^a qu^une seule addition à effectuer, sauf les opérations qui consistent à prendre les compléments 9 et qui sont trop simples pour entrer en ligne de compte.
BES ZSTTÉaÊTS COMPOSÉS.
L'intérêt peut être simple ou composé. II est simple quand on le reçoit à la fia de chaque année; il est composé lorsqu'on le laisse chaque année entre les mains de Temprunteur pour augmenter le capital qui doit porter intérêt pendant Tannée suivante. Les questions d'intérêt simple sont sans difficulté , et elles ont été traitées dans mon Manuel aux emplois de Conducteur des Ponts et Chaussées et d'Agent voyer; je ne m'occuperai donc ici que des questions d'intérêt composé.
Je supposerai , en général , que l'on soit convenu de donner au bout d'un an pour la somme i un intérêt désigné par 1; il est évident que l'intérêt d'une somme 100 pendant le même temps sera loo iy qne celui d'une somme quelconque a sera exprimé par ai, et si Ton désigne ce dernier par a , on aura a := m»
Par cette relation il est facile de trouver l'intérêt pour une somme quelconque, lorsqu'on a celui que donnent 100 francs, ou même toute autre somme pendant un temps connu ; cette question s'appelle calcul d'intérêt simple.
Mais si le prêteur, au lieu de retirer chaque année l'intérêt du capital qu'il a avancé, le laisse entre les mains de l'emprunteur pour le faire valoir conjointement avec la somme primitive pendant l'année suivante, au bout de cette année le capital aura acquis une valeur qu'on trouvera ainsi :
Le capital primitif étant a augmenté de l'intérêt ai, il deviendra au bout de la première année
/2 -f- fli = <7 (i 4- /).
Si maintenant on fait
l'intérêt de la somme a' pour un an étant /l'i, ceiBi de la somme /i (1 -h /) sera pour une seconde année ai[i 4- /), et de même qu'au bout de la première année le capital a augmenté de l'intérêt qu'il
devait rapporter est devenu a (i + 1), le capital a' deviendra à la fin de la seconde année
Si le préteur ne retire point encore le capital a* à la fin de cette année, et qu*il le laisse pendant une troisième année , au bout de celle-ci il lui sera dû , d'après ce qui précède ,
fl" (i 4- i) = a (i -f. J'Y = a".
On Tçit sans peine qu'après la quatrième année a'' serait changé en
et ainsi d^ suite, et que par conséquent la somme prêtée d'abord et les sommes à rendre à la fin de la première , de la seconde, de la troisiènne, de la quatrième, etc., année, forment cette progression par quotient
H a:a(n-0:ii(i-hi)> :a(i'hiy:a(i -hi)*: ...
dont k quotient est i + '> et le terme général a {i -f- r )' = A : le nombre i? marqnant celui des années écoulées depuis l'intérêt du prêt.
Soit, par exemple, le taux d'intérêt à 5 pour loo , c'est-à-dire que pour loq francs prêtés pendant un an il faille rendre io5 francs ; on a
100 < = 5 ou /=r = — et (i-4-ij = — •
loo 2o ' ao
Si Ton voulait savoir ce que devient la somme a abandonnée, ainsi qu'on vient de le dire, pendant vingt-cinq années, on aurait alors
/? = 20 et fl = I — I au lieu de la somme primitive. La vingt-cinquième puissance de — s'évalue promptementpar le moyen des logarithmes, puisque Ton a
(ai \'* 21 — J =25 log. <= 25 ( lOg 2 1 log 20) = 0,52^7822 ,
çe qui donne
—V* = 3,386 environ; A = 3,386^; 20/ '
et Ton voit par là que 1000 francs prêtés de cette manière vaudraient 3 386 francs au bout de viugt--cinq années, en y comprenant les . intérêts, etc.
Si le placement durait 100 ans, on trouverait
i3i a environ.
Ainsi, 1000 francs produiraient après cet espace de temps une somme de 1 3 1000 francs environ. Ces exemples montrent avec quelle rapidité les fonds s'augmentent par Taccumulation des intérêts composés.
L'équation A = tf (i -h < )" donne lieu à quatre questions : la prc^?
mière y coonaisant a^ 1 et n, trouver A , se présente toutes les fois qu'on cherche ce que devient le capital après un nombre n d'années» comme dans l'exemple qui précède.
La seconde, connaisant a, A et/i^ trouver /', conduit au tauxd'in* térét par le moyen de la somme primitive, de celle qui a été remboursée, et du temps qu*a duré le placement ; on a dans ce cas
La troisième, connaissaDt A , 1 et /i , trouver a , et dans laquelle il vient
a pour objet de déterminer le capital qu'il faut placer pour avoir droit, après un nombre n d'années, à une somme A.
Le quatrième , connaissant A , n et < , trouver n , ne peut se résoudre que par le$ logarithmes, en prenant celui de chaque membre de Téquation proposée; il vient
log A = log rt 4- « log (i -h /) , d'où
log A — log a
"" log{i-H')
Par cette dernière, on trouve dans combien d'années le capital a doit avoir' piXKiuit une somme A.
La question suivante est une des plus compliquées qu'on pubse proposer sur ce sujet. On suppose que le préteur place chaque année une nouvelle somme qu'il joint au capital de cette année, et cela pendant un nombre // d'années; on demande quel est, au bout de la dernière , le montant de toutes ces sommes accumulées avec leurs intérêts composés.
Soient /7, 6, r, fif, . . . , ^ les sommes placées, la première, la seconde, la troisième, etc. , année; la somme a, demeurant entre les mains de l'emprunteur pendant un nombre n d'années, deviendra
<i(i-h/)"; la somme ^, qui n'y reste que n — 1 années, se changera en
la somme c, prêtée pendant n — 2 années seulement , deviendra
et ainsi des autres; enfin la dernière A, qui n'est employée que pendant un an^ ne donnera que
On aura donc.
A = /f (1 -4./)- 4- t {i + 0"""' + 'c{i-^ !)•-'. . . 4- Ar (H- /).
En calculant chaque terme du second membre séparément, on obtiendra la valeur de A.
L'opération se simplifie beaucoup lorsque /i = 6=:r=:^=/*, car
dans ce cas oa a
Le second membre de cette équation forme une progression par ciuotient , dont le premier terme est /ï (i -h /) ; le dernier a (i 4- 0"> le quotient (i -+- ')> ^' *^^"^ '* somme est par conséquent
On aura donc alors
Cette équation présente au «si quatre questions correspondantes à celles jusqu'ici énoncées sur Téquation A = <7(i -h /)".
Les placements qu'on nomme annuités sont inverses du précédent : c'est l'emprunteur qui s'acquitte d'un capital avec les intérêts , en divers payements faits à des termes également éloignés. Les payements effectués par l'emprunteur avant la fin du remboursement, peuvent être considérés comme des avances faites au préteur sur ce remboursement, et dont la valeur dépend du temps qui s^écoule entre Tune de ces époques et l'autre. Ainsi en désignant chaque payement par a , le premier payement qui a lieu n <— i années avant l'expiration du dernier terme, rapporté à cette époque, vaut nécessairement «(i -f-'" )"""'> '® second, rapporté à la même époque, ne vaut que /i (i 4- /)"'"*; le troisième a (i + /)"""% et ainsi des autres jusqu'au dernier, qui n'a que la valeur rr. Mais, d'un autre côté , la somme prêtée étant l'eprésenlée par A , vaudra entre les mains de l'emprunteur après n années un capital A (i + i)" ^^*^ devra être égal à toutes les avances réunies que le prêteur a reçues de lui; on aura donc
ou , en calculant la somme de la progression que forme te second membre,
équation dans laquelle on peut prendre alternativement pour inconnue la quantité A, que j'appellerai le prix de l'annuité, parce que c'est la somme qu'elle représente; la quantité a, qui est la quotité de l'annuité ; la quantité /', qui est le taux de Tintérèt , et enfin la quantité n , qui exprime la durée de lannuité.
Pour trouver cette dernière , il faut nécessairement recourir aux logarithmes; on dégage d'abord (i 4- /)«, ce qui donne
fi — A/
et en prenant les logarithmes, il vient
// log (1 -h /) = log a — log (« — A/), d'où
loi; a — loi: (a — A / )
log ( I -h
On appelle Géométrie analytique, ou, en d'autres termes, application (le TAlgèbre à la Géométrie cette branche importante des mathématiques qui apprend à faire usa<>e de TAlgèbre dans les recherches géométriques.
On détermine un point sur un plan au moyen de coordonnées.
n y a trois genres de coordonnées.
1*^. Les coordonnées parallèles à des axes concourants, qui ne sont autre chose que des lignes menées d*un point donné parallèlement à des axes concourants. Nous dirons plus bas ce qu*on entend par abscisse et ordonnée d'un même point.
!X®. Les coordonnées polaires. Elles sont composées [fig, i, PI. 7), I* de l'angle a que décrirait une droite /7o pour passer de la direction ox à la direction CM ; 2® de Fabscisse p du point M sur la droite po ; cette abscisse prend aussi le nom de rayon vecteur. Les deux quantités a et ^ s'appellent coordonnées polaires. On peut, en les prenant tontes deux positives, exprimer la position d'un point donné quelconque dans le plan; mais en les prenant négatives, la position d'un même point peut être exprimée par quatre systèmes équivalents de deux coordonnées. Ainsi :
!a = 1 20 J a = 3oo j * =^ — ^4^ ( °^ = — ^ p=z o^5 \ p = — o,5o I /> 1= o,5o I Z' = — o,5o
3**. Coordonnées focales. La position d'un point dans un plan peut être définie par ses distances à deux points donnés dans ce plan. Si F et F' sont deux points donnés à priori , et si ^ et £^' sont les distances respectives d'un point M à F et F^ ces deux quantités étant déterminées, appartiendront à deux points reclangulairement symétriques par rapport à la droite FF'. Une équation entre les distances yv, p', considérées comme variables, peut servir à exprimer une courbe rect;ingulairement symétrique par rapporta la droite FF'. En effet:
1*^. Si la droite dd' est constante, la courbe est une ellipse, dont les points F, F' sont les foyers. Étant données la distance FF' = 2 c et l'équation //-H^'=:2a, il est aise de construire la courbe par points; on peut même la concevoir tracée d'un mouvement continu a 1 aide d'un fil dont la longueur serait 2/ï, et dont les extrémités seraient attachées aux foyers F, F'.
2**. Si la différence ^ — d' çst constante, la courbe est une hyperbole dont F et F' sont les foyers. Étant données la distance FF' = 2c et l'équation d — r/' = dl 2 a , on construit facilement la courbe par points.
La position d'un point M dans un plan pourrait encore être définie par sa distance MN à une droite donnée AB du plan (/îg, 2^ PI. 7) et sa distance MF i& un point donné F dans le plan. La même définition dans ce cas appartiendrait à deux points rectangulairemcnt symé-
et ses nouvelles coordonnées seront
A, /?' = x', mp* z=y,
La position des nouveaux axes par rapport aux anciens étant connue , les coordonnées AB = a', BA| = b' de la nouvelle origine seront données et Ton aura
x=zx''^a' et y ^z=. y '\- h' ,
On est parvenu à ces relations en supposant que la nouvelle origine était placée dans Tangle y kx. Si nous voulons rendre ces formules générales , il suflfira de supposer que les valeurs des coordonnées de la nouvelle origine sont positives ou négatives , selon qu^eilés sont portées sur Ax et ky ou sur AX et AY. En efTet, soit
AC = AB = a\ AD = AE = b' \
si j/ et y' désignent toujours les coordonnées du point m par rapport à des axes parallèles à Xx et Xy , la nouvelle origine étant en A^, on en A3 y ou en A4 , on aurait
x-=.x* — «', y-=.y*-\-h\ origine A,;
j- = x' — «', yz=zy*— b'y origine Aj ;
xzrix'-^-a'j yzny'—'Wy origine A« ;
a' et b' sont des quantités positives. La comparaison de ces formules démontre le principe énoncé, de sorte que, pour les comprendre en une seule , il suffit d'écrire les relations générales
(i) x=ix'-ha^ 'yzzzy'-^by
en supposant que a et b désignent les coordonnées de la nouvelle origine par rapport aux axes primitifs X .r , Yy, et que les valeurs do ces coordonnées sont positives ou négatives, selon qu'elles sont portées sur A j: et Ay ou sur AX et AY.
Réciproquement, lorsqu'on donne les relations (i) entre deux systèmes d'axes parallèles, on peut toujours , connaissant un des systèmes d'axes,, en déduire l'autre. En effet, si, les axes Xx, Y y étant " xlonnés, on veut trouver l'origine A| des coordonnées a?', /', on observera que, pour ce point, x' etjr' étant nuls, les formules (i) déterminent les coordonnées x = a , y = b de l'origine Ai et, selon que les valeurs de a et ^ sont positives ou négatives , on porte ces valeurs sur Ax et Xy ou sur AX et AY.
Ainsi soit , par exemple ,
x = x'-^3,r=^r'-H2C/f^. 5, PL /), on fera
d'où
Ou prendra donc
AC=3 et AB=:2;
les parallèles /' CY', X'Bx' aux axes Xx et Y y seront les axes des coordonnées x' et y\ et leur intersection A' sera la nouvelle origine; car, en menant par un point quelconque m du plan ^ Ax une parallèle mp h Yj, on aura
Ap = X , mp = j , A'y? ' =r x', p'ui = J '.
Étant lionnes tes axes X'a:' et Y' y' des coordonnées x' et y' ^ trouver V origine A des coordonnées x et y.
On observera que , pour ce point , x et y sont nuls ; les formules ( i ) donneront les coordonnées a:' = — «, y* =^ — b de l'origine A, rapportée aux axes X' j?', Y' y ^ Par exemple , si Ton avait
ar = ^'— 3, ^=r/'-4-2,
les hypothèses x = o , ^^ = o donneraient les coordonnées :r' = 3 , y' = — 2 de Torigine A des x et y \ on prendrait donc A'B = 3 , A'C ='2, et les parallèles j B Y, xCX aux axes j' Y', X'jt' seraient les axes des xatyei leur intersection A serait la nouvelle origine.
Lorsqu'une équation h deux inconnues admet une infinité de solutions réelles y on peut représenter toutes ces solutions par une ligne.
En effet , il sufBt de supposer que les inconnues x et y sont les coordonnées d*un point par rapport à des axes connus. Par exemple , soit réquation ay = j:% dans laquelle on représente par a une longueur donnée et par xety les coordonnées d'une ligne qu'il s'agit de construire. L'équation étant homogène, Funité est arbitraire ^ et je puis prendre /i =r 1 , ce qui donne y = x^.
Pour avoir la ligne demandée, je donnerai à x difTérentes valeurs positives et négatives; je tirerai de l'équation pour ^ des valeurs correspondantes qui seront toutes réelles ^ et chaque Evolution dePéquation déterminera un point de la ligne cherchée. Ainsi , ^ = 2 donnant y = 4j si l'on prend AB = 2 ^^^ du côté A x [fig* 6, PI, I) , et que du côté des y positifs on mène BC parallèle à j^ Y et égale à 4 > le point C appartiendra au lieu géométrique de l'équation. (On appelle le lieu géométrique d'une équation la ligne déterminée par cette équation, et Ton dit que la ligne construit l'équation. ) De cette manière on a autant de points qu'on .veut, et à des distances d'autant plus rapprochées que les valeurs de x le sont elles-mêmes davantage.
En faisant jr = o, ona^ = o; donc la ligne représentée par l'équation y = x^ passe par l'origine .
Si l'on pose
on trouve
y=z I, 4>9> «6» 25, 36,..., et l'ensemble de ces valeurs détermine des points situés dans l'angle jAx.
Si Ton fait
on a encore
Ces coordonnées déterminent des points situés dans l'angle/ AX.
Pour ne pas se tromper sur la forme de la courbe dans le voisinage de l'origine, il est nécessaire d'avoir vei*s cette partie des points asses^ rapprochés. C'est pourquoi l'on pourra calculer les ordonnées corres^ ponîdantes aux abscisses fractionnaires 0,1; 0,2;....
On obtient ainsi le tableau suivant :
j7=o,io, 0,20, o,3o, 0,4^?
j=o,oi, 0,04, 0^09, 0,16.
8o GÉOMI^TRIE ANALYTIQUE.
Il fait connaître que Tordonnée diminue plus rapidement (}u^ Tabscisse quand la courbe approche très-près de l'origine, et en effet
le rapport - = j: est alors très -petit.
Après avoir obtenu un certain nombre de points , on les joint par un trait continu , et Ton a ainsi le lieu de Téquation proposée avec d'autant plus d'exactitude que ces points seront plus nombreux.
Objet de oette inmsfonBatic». — L'équation d'une courbe ne reste pas la même quand on change les axes auxquels on la rapporte. Le cercle en offre un exemple frappant. Si l'on prend pour axe deux diamètres rectangulaires {Jig. 7, PU ï)y et qu'on désigne le rayon par R y on aura pour chaque point de la circonférence
car cette équation exprime, ainsi que le montre la figure, que la distance de l'origine à chaque point de la courbe est égale à R.
Mais supposons que les axes rectangulaires auxquels on rapporte le cercle ne passent point par le centre, et désignons h s coordonnées de ce centre par a et p. Soit o le centre (yfgr. 8 , PL I) , et m un point quelconque de la circonférence; menons oB et mp perpendiculaires à Taxe A x , et o^ perpendiculaire à mp ; le triangle moq donnera
oq 4- qfft == om .
Or
oq=zAp — AB = j: — a, mq = mp — ol&=ix — p et o/w=rR;
donc on aura pour Téquation du cercle
(x-a)>-h(y-p)' = RS ou , en développant les carres f
«»— 2ax4-a>-f-r'— 2jp-h P* = R'.
Cette équation est, comme on le voit, beaucoup moins simple que la première. On en aurait une moins simple encore si les axes n'é*' taient pas rectangulaires.
Puisque Téquation d'une ligne peut devenir plus ou moins simple, selon les axes auxquels elle est rapportée, il s'ensuit qu'on doit avoir le plus grand soin, lorsqu'on cherche l'équation d'une courbe dont on donne la génération ou une propriété quelcon(|ue , de faire choix d'un système d'axes qui n'entraîne point dans des calculs compliqués, et qui conduise à l'équation la plus propre à manifester la forme et les propriétés de la courbe.
D'un autre côté, il peut se faire qu'on connaisse déjà Téquation d*une ligne rapportée à un système d'axes déterminé , et il n'est pas moins important de savoir trouver réc)uation oui représenterait cette même ligne rapportée à d'autres axes. Ce problème sera résolu quand on connaîtra, pour un point quelconque, les valeurs des anciennes coordonnées en fonction des nouvelles ; car alors en substituant ces valeurs dans l'équation proposée, on obtient une relation entre les nouvelles coordonnées de cliarun des points de la courbe que Ton
GEOMETRIE ANALYTIQUE. 8i
considère. C'est en cela que consiste la transformation des coordonnées.
pour. la tnnwlbniiatîon des ooordotméei. — Le cas général
est celui où Ton change en même temps Forigine et la direction des axes. Soient Ax et Ky [fig. 9, PL 1) les axes primitifs qui forment entre eux l'angle jrKx2=: 6, et soient h! y et k'x' les nouveaux axes; menons A'E parallèle à kx et A' F parallèle à Aj^. Pour déterminer les derniers axes, il suffit de connaître les coordonnées AB, A'B de Torigine A^ et les angles â/ A' £ , j^ A' E que ces axes font avec la droite A'E. Désignons ces deux coordonnées par ^ et 6 et ces deux angles par a et et.
Soit m un point quelconque, menons mp parallèle à ky et mq parallèle à k'y'i les anciennes coordonnées du point m sont kp=zx, mp=jr; les nouvelles sont k'g = j/, mq=y', par le point q menons qr parallèle à A/ et ^T parallèle à Ax ; on aura
x = A/> = a-h A'S-f-yT, y = pm z=z b -^ qS -i-mj.
Le triangle A'^S donne
A'S qS k'q
sinA'^S sin^A'S sinA'ç-S'
mais on a
Donc
d'où
k'q = x', sin A'^S = sin FA'x' = sin (ô — a) , sin9A'S = sin a, sin A' Sç = sin ( 200 — 0) := sin 0.
sin ( 9 — a ) sin a sin
x'sin(0 — g) ^o Jr'sing
A o = : — T 9 qo — — : — r-"
sin d sm 9
Seniblablement , le triangle mq T donne
qT iwT mq
Or on a
donc
d*où
sin^mT sinmqT iinmTq
mq=iy, sin qmT = sin j' A'E = sin ( 9 — af) , sin mqt r=: sin r' A' E = sin af, sin/rtT^ = sin(2oo — 9) = sin 9; ^
sin ( 9 — a' ) sin a sin 9 "*
/sin(9-«') ^^^ /sina'
Sin 9 sin 9
n ne reste donc plus qu'à remplacer k'Sy qT^qSy mT parleurs va-
ieiirs, pour obtenir les formules cherchées , savoir :
. a/sin(e — a)-f-ysin(e — g^)
^ ' » , j/ sin a -I- y sin a'
^ sin
Elles sont rarement employées dans toute leur généralité; maïs nous allons en déduire , comme cas particuliers, cdles dont l'usage est le plus fréquent.
Passer d'un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques.
Pour cela, il faut faire dans ces formules 6 = loo, et elles se réduisent à celles-ci :
( X =:ii 4- «'COS a -h/' COS a', ^ ' I /• = ^ -h J?' sin a -h y sin a'.
Passer d'un système de coordonnées rectangulaires à de nouvelles coordonnées rectangulaires.
Il faut faire de plus a'= lOo + a dans les dernières formules. On remarquera que
sin a! = sip (lOO •+-«)== sin (lOO — «) = cpsa ,
cosa' = cos (lOO -h a) = cos ^loo — «) =" — sin a,
et, par suite, il viendra
, (x = /i-hJ?' cos a — y sin a ,
^^' I j = A H-j/sin a-h j^cosa.
Passer d'un système d'axes obliques à des axes rectangulaires . Il faut, dans les valeurs générales (2), faire a' = 100 -H a, et Ton aura
sin a' = sin (100 4- a) = sin ( 1 00 — « ) = cos a ,
sin (G — a') = sin (8 — 100 — a) = — sin [100 — (0^— a)]
= — cos(Ô — a),
et les formules deviendront
ar'sin(Ô — a) — ycos(Ô — a)
^ ' * , x sm a -h y cos a
smô
— Pour que ces formules aient toute la généralité dont elles sont susceptibles , il faut donner aux diverses coordonnées les signes qui conviennent à leur position, et aux angles l'extension nécessaire pour que les nouveaux axes puissent prendre toutes les inclinaisons possibles à l'égard des axes primitifs.
S'il s'agit des formules x=:flM-j/, y=b -hy' qui ont été déduites de la J!g. 4» il faudra y sup[M)ser x et j/ positifs dans le sens A X , A' x', et négatifs dans le sens contraire ; et de même y et y' positifs dans le sens Ay et A'/', et négatifs au-dessous. Par exemple, pour un point situé comme l'est le point N, il faudra prendre
x = AQ, x'nr — A'Q', / = -QW, ^'=-Q'N.
En effet, ces valeurs vérifient les foripules (i), car en les substituant il vient
AQ = n — A' Q' = AB — BQ = AQ,
