QN=* — Q'N==A'B — Q'N=Q'^-Q'N = -QN

Si l'on fait occuper au point N toutes les positions possibles, on obtiendra toujours des vérifications analogues, en ayant soin de prendre les signes comme il a été dit.

U faut encore remarquer que la figure suppose la nouvelle origine A' située dans l'angle/ A x. Si l'on veut la placer dans un autre angle, dans Tangle XAY par exemple, il suffira de considérer les coordonnées a et b comme ayant des valeurs négatives dans les formules (i). C'est ce qu'on pourrait facilement vérifier, en cherchant directement pour la position nouvelle de l'origine A' les valeurs de X et de jr.

vacasmom hb vÉtqiuATiùm va PRsmisa vsGXà a bbuz

mcosmuEs x et y.

Une ligne droite indéfinie est déterminée par toute équation du premier degré à deux inconnues x et y.

En regardante et y comme les coordonnées d'un point, toutes les solutions réelles de l'équation

(i) Aj-hBx = C

donnent des points qui sont situés sur une même droite. En effet, pour commencer par le cas le plus simple, construisons l'équation (a) jr = ax.

Chaque valeur réelle de x détermine une valeur réelle correspondante dejTf et quand x varie d'une manière continue,^ varie aussi d'une manière continue. L'équation (2) donne donc tous les points d'une ligne qui est continue et indéfinie.

La nature de cette ligne se déduit de l'équation ( 2). En effet, cette équation fait voir que pour tous les points de la ligne chei*chée , le rapport de l'ordonnée y à l'abscisse x est égal à la constante a ; par conséquent, si a étant positif, m et m' {fig. 10 y PI. I) sont deux points déterminés par l'équation ( 2)» en menant les parallèles mp, m'p' \ Taxe des j, on aura

mp m'p*

Tp^Tp^'

Les triangles mpK^ m^p'k sont donc semblables, d'où il suit que les angles m A or , m'k x sont égaux ; mais pour que cela soit , il faut que les droites A /n , Ain' se confondent, ainsi que toutes celles menées du point A aux différents points de la ligne (2]. Tous les points de la ligne cherchée sont donc sur une droite indéfinie DD' qui passe par l'origine A des coordonnées.

Réciproquement, les coordonnées de tous les points de la droite DAD' satisfont à l'équation (2).

En effet, soit n un point déterminé par l'équation (2) ; si l'on mène la parallèle np^ à jT, ou aura

Les coordonnées de tous les points de la droite Dn AD' satisferont à réquation ( 2 ) , car x et 7 étant les coordonnées Ap etpm d'un point quelconque m de cette droite, les triangles mpKy np'K seront semblables, et l'on aura

Y mp np' ,, ^

- = -^ = -77- =flr, d'où r=.ax,

X pk p K

Les mêmes propriétés conviennent au prolongement AD' de AD,

car xely devenant négatifs , le rapport - reste égal à la quantité poaî-

tive a. Ainsi, en menant une droite indéfinie DD' par deux points quelconques déterminés par l'équation (2), toutes les solutions de cette équation détermineront des points de la droite DD', et réciproquement les coordonnées de tous les points de la droite DD' satisferont à l'équation (2).

Lorsque a est une quantité négative — a', le rapport- devient

négatif, les coordonnées x , y sont de signes contraires, et l'équation (2) détermine une droite dKd' \ pour la construire on prend A /?' = i = I , on mène une parallèle p' 9' ky Y, on prend p'n' = a\ et on tire la droite dd' par les points A , /?'.

L'équation/ = ax déterminant toujoui*s une droite indéfinie, Téq nation (3) y = ax-^b

représente une ligne parallèle à la première , car chaque ordonnée de la première étant égale à ax , il suffit de prolonger toutes ces ordonnées d'une quantité constante b pour obtenir les ordonnées ax-^b de la parallèle ; cette parallèle est donc une ligne droite , et on la construira en prenant AB = 6 , et en menant par le point B une parallèle EF à DD', ou éf/à dd'. Les valeurs de a et ^ pouvant être positives ou négatives , l'équation ( 3) est susceptible de ces quatre formes

r=fl'x-i-*', r=û''^ — ^'> r = — «'*-+- ^', r = — <»'*—^'-

Il est facile de voir sur la figure comment on pourrait construire CCS équations; les parallèles EBF, E'B'F', eB/, c'B/' aux droites DD' et dd' seront les lieux géométriques de ces équations.

Lorsque A n'est pas nul, on peut ramener l'équation A^+Bx=C à la forme/ = ax + 6, et cette dernière détermine une droite. Quand

A = o, l'équation (i) donne x = - , ce qui construit une parallèle à

l'axe des j.

Ainsi dans tous les cas, l'équation A/ + Bx = C donne une infinité de points ; ces point» sont sur une même droite , et les coordonnées de tous les points de cette droite satisfont à l'équation.

Équation de U ligne droite.

pROBLiME I. — Une droite indéfinie étant donnée de position par rapport h deux axes connus Xx, Y/, déterminer l'équation de cette droite.

Soit la ligne droite donnée BM [fig, 11, P/. 7) , dont il s'agit d'ex-

primer la nature par une équation. Puisque cette droite est connue de position à l'égaixl des axes Ax, Ajr, faisons AB= 6 et désignons la tangente trigononiétrique de l'angle BR A par a ; puis faisons AP =x, VM=jr, Gela posé, le triangle rectangle BËM donnera , à cause de ME =jr — 6 et en représentant le rayon des Tables par Tunité,

Telle est récjuation de la droite BM , ou la relation qui existe entre Tabscisse et l'ordonnée d'un point quelconque M <le cette droite. Dans cette équation , les deux quantités a et b sont des constantes , et les deux autres xely sont des variables ; d'où il suit que deux conditions suffisent pour déterminer une droite.

Si dans cette dernière équation Ton fait j; = o, il en résulte que jr = b; c'est la valeur de l'ordonnée positive AC du point G. Si au

contraire on y fait jr= Oy on obtient x = , et c'est la valeur de

Fabscisse négative AR.

Si la droite donnée passait par Torigine des axes^ son équation serait seulement jr z=axy parce qu'alors l'ordonnée b correspondante au point A serait nulle; ainsi y =: ax est Péquation de la droite AM (Jig. 11, PL I).

Toute droite GD parallèle à AM a donc pour équation

y z=, ax -{- b .

Ainsi lorsque deux droites sont données par les équations générales

y z=z ax -^ b, y = a'x -h ^',

il faut qu'on ait cette équation de condition a=za' pour que ces droites soient parallèles.

P&OBLiiiB II. — Trouver l'équation d'une droite assujettie à passer par deux points donnés.

Soient x', y ^ x" , r"> les coordonnées respectives des points M', M". L'équation de la droite cherchée sera généralement de la forme

(i) jr = Ax + B;

l'équation consiste donc à déterminer les constantes A , B : or il est évident que, puiscjne cette droite doit passer par les points M', M", ces deux conditions seront exprimées par les conditions

\i) / = Ax'-+-B,

(3) /'=Ax"-4-B,

à l'aide desquelles on obtiendra les valeurs de A et B. Par exemple, en soustrayant ces deux équations l'une de l'autre, on a sur-leK*hamp

si l'on introduit ces valeurs «lans l'équation (i) , il viendra

pour l'équation de la droite cherchée. Gette formule n'est ni la plus simple ni la plus symétrique que l'on puisse obtenir; en effet, si l'on soustrait successivement l'une de l'autre les équations (i) et (2) et

86 GÉOMÉTRIE ANALTOQUE.

celles (2) et (3), on aura

r-r' = A(x-x') et 7'-^" = A(a?'-x'0.

Le premier résultat est Téquation d'une droite assujettie à passer par nn des points donnés; mais en y substituant la valeur de A prise dans te second résultat , on a

pour l'équation de la droite passant par les deux points donnés.

Pboblàmk III. — Trouper l'équation d'une droite perpendiculaire à une autre droite donnée.

Soit BC la droite donnée [fig. 1 3, PL 1 }, son équation sera

(r) y =1 ax '-\' b.

Il s'agit de trouver l'équation d^une autre droite telle que DE perpendiculaire à BC.

Par l'origine A , menons AG parallèle à BC et A /»' perpendiculaire à AG ; alors l'équation de cette dernière sera pm =r A x et celle de A m' parallèle à DE sera pm* •=. a'x. Mais à cause de la similitude des^ triangles rectangles kpm^ kpm\ on a

pm X pm' z=z Kp j

de plus, pm etpm* sont de signes contraires, par conséquent

— aa'x"^ = jc', OH plus simplement

— «a'=i, d'où a' =z

Ainsi l'équation de AG est y z=zaxy ceHè de la droite qui lui est^

perpendiculaire est y z= x \ donc l'équation de DE est en gé^

nérid

Si cette droite était en outre assujettie à passer par un point donné .r y, son équation , d'après ce qui précède , serait

Quand on a pour but de déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites, il faut, dans leurs équations, attribuer aux variables x ei y les mêmes valeurs ; alors la question consiste à résoudre deux équations du premier degré entre deux inconnues. Qu'on se propose , par exemple^ de trouver la longueur F de la perpendiculaire abaissée d'un point x^y' sur la droite BC donnée par l'équation (i), alors en désignant par xy les coordonnées du pied de cette perpendiculaire, on aura

Reste ù éliminer a; et j^ de cette expression , en tirant les valeurs de ces coordonnées des équations (i) et (2) qui ont lieu à la fois; maïs

|>oar effectuer celte élimination de la manière la plus simple , on substituera (l'abord dans P pour / — y sa valeur (2) et Ton aura

a puis 00 mettra Téquation (i) sous la forme

J^ ~ y = UJP -♦- * —y 4- «a/ — ax', ou plutôt sous celle-ci

r — y = « (x — Ji/) 4- * -h ax' — 7' ; ensuite égalant cette valeur àey — ^' à celle (2), on obtiendra

'-*- — r^jT^; — '

«tdeli

y* — ax* >~ b (— — y' — a** — b

telle est Texpression cherchée.

PaoBuàiiB IV. — Z.^jr équations de deux droites étant données, trouifcr l 'angle qu * elles forment.

Soient

j< = «r Jî -f- A

l'équation de la droite BD (fig. i^y PL l)y

jr = a'x -h b' celle de la droite B'D'.

Il s'agit de déterminer l'angle D'CD==C. Or, cet angle étant la diffërence des angles DCR et D'GK que les droites données BD et B'iy font respectivement avec l'axe des x, il est évident que Ton aura

tang D^CK ~ Ung DCK

^°8^= i4-tangD-CKXtangDCK '

Mais ici tang DCK = a et tang D'CK = â' ; donc la tangente de

l'angle cherché ou

, y ^ n — a i) tangC=: ;-.

Si la première droite avait la direction bd^ Tangle ^GR serait obtus, et par conséquent la tangente a serait négative; de sorte que la tangente de l'angle D'G 6 aurait pour expression

(2) tangD'G^=^— ^.

La relation a'a + 1=0, qui a lieu lorsque les deux droites données sont perpendiculaires entre elles, est un cas particulier de la formule (i). En effet, l'angle G étant alors égal au quadrant, on a tang G = 00 . Or, pour que cette circonstance ait lieu , il faut que le

dénominateur 1 H- a 'n de la fraction -r soit égal à zéro ; donc

tf'a -h i = o-

On parvient à l'équation (i) par une autre méthode, bien moins directe à la vérité, mais qui a l'avantage d*étre générale , la voici :

Menons par l'origine a des coordonnées deux droites aM, aW respectivement parallèles aux deux droites données BD, B'C; leurs équations seront

Désignons par x^y^ ^t^t ^^ coordonnées des points M y M'y faisons a M =a M' =r; alors les deux équations précédentes deviendront

jr:=axy y = aV,* et l'on aura en outre

Cela posé , le carré de la droite MM' =: u aura généralement pour expression

«' = («— 4/)' + Cr—/)*;

ou, développant et réduisant à l'aide des relations (2), on aura plus simplement

a» = 2 r» -- 2(4rj/ — /y ) ;

et comme le triangle a WA'j dans lequel l'angle M a M' = C , fournit cette relation

a' = 2 r* — 2 r* cos C ,

on a, en égalant ces deux valeurs de tt%

cos \u = ; •

Maintenant soient x, xf les angles que les droites a M, a M' font chacune avec Taxe des j;, on aura évidemment

x=zr cos X , j = r sin X ,

et , par conséquent ,

r sin X ^

par la même raison

partant

cos C = cos X cos X' -r- sin X sin X' =cos X cos X' ( i -h aa^). Mais ia première relation (3) pouvant être écrite ainsi ,

r' = x^li -h^J =x»(i-hfl») = r'cos'X(n-fl»),

on a

cosX =

de même

partant

cos X =^ , :

rosC= , — /...

V I -H rt' V I -h «''

GÉOMÊTME ANALYTIQUE. 89

t? £ V j ^ r. siiï C \/i — cos'C

Enfin y à cause de tane G = rr = — 9 on a comme ci-

^ cos C ces C

desius

Équation du oerole.

En supposant que le cercle donné ait pour rayon R, et que les coordonnées de son centre soient ^ et ^ (Jîg. i5 , P/. /), la distance de ce point à tout autre point M pris sur sa circonférence aura pour expression

R = v'cD* -h dm' = V(^— «)*4-(r— ^TS

X et ^ étant les coordonnées du point M. C'est là l'équation la plus générale de la circonférence du cercle rapportée aux coordonnées rectangulaires ^T y Xor. On l'écrit le plus souvent ainsi qu'il suit :

(i) {x — by'^(x^ay = K\

Si l'origine des coordonnées était placée à l'extrémité E du diamètre EF, l'ordonnée b serait évidemment nulle, et pour lors l'équation précédente se réduirait à

X^'=2 Rx — a?* = jF(2R — x).

Lorsque l'on place l'origine des coordonnées au centre du cercle , l'équation (i) se simplifie davantage, parce que a et ^ sont nuls à la fois ; on a donc pour l'équation la plus simple du cercle

y'-hx' = RS

laquelle peut encore s'écrire de la manière suivante :

Un cercle tangent à l'axe desx, au point pris pour, origine des axes rectangulaires , a pour équation

{jr — r)'-|-a?*^r' ou /* — 2r^ + x'=o, 00 encore

Cette équation peut servir à tracer par points sur le terrain un arc de cercle d'un très-grand rayon connu, tangent à une droite donnée.

uojiBs va sBoom bbgré.

Lorsque l'on suppose que x et jr désignent les coordonnées d'un point par rapport à deux axes qui font entre eux un angle Ô, l'équation la plus générale du premier degré à deux inconnues x ety déter* mine une infinité de points , et tous ces points sont en ligne droite. Réciproquement, si des points sont en ligne droite , la relation entre les coordonnées x^ y de l'un quelconque de ces points est une équation du premier degré entre x etjr. Par conséquent , lorsqu'une équation F {x y jr) z=: o {*) n'est pas du premier degré, les points déler-

(* ) Lorsque, pour aider le raison nement, on yeut exprimer de la manière la plus générale Téquation d'une courbe en coordonnées x ety, on la représente par le symbole F (jt, 7) = o , dont l'énoncé est: fonction de x et der égale zéro,

minés par cette équation ne doivent pas être eu ligne droite ; i*enseinble de ces points forme une certaine courbe qui est le lieu géométrique de Téquation, et cette ligne construit Téquation. Le degré de l'équation détermine le degré de la courbe. Sous ce point de vue y les lignés droites sont des lignes du premier degré.

Équatîoik de TelliiMe.

Une des propriétés de cette courbe est que, si Ton mène de chacun de ses points M à deux points fixes F, F', les droites MF, MF', la somme de ces lignes sera toujours constante. De là, il est facile de décrire Tellipse par points ou par un mouvement continu, lorsque Von connaît les foyers F, F' et la somme des rayons vecteurs MF, MF'.

Représentons par 2 a la ligne donnée {/i^. 16 y Pi. I) et par 2 c la distance FF'; prenons pour origine le point G milieu de FF' et faisons CP = jc , PM = y.

Les triangles rectangles FPM, F' PM donnent, à cause de FP =: e — x et de F'P = c4-«,

MF = V^(c— a:)»4-r% MF' = V'(c-l-j?)»-hr'; et puisque, par la nature de la courbe, MF -h MF'= 2a, il s'ensuit que

Faisons passer la première quantité radicale dans le premier membre, et élevant les deux membres au carré, il vient en réduisant

a' -H cj: = <i ^{c H-x)' -Hj^*.

Élevant encore au carré les deux membres de cette nouvelle équation , et réduisant on trouve

enfin, si l'on fait a? — c' = ^% on aura

(1) û»y -+- A' X» = fl» 6^

Telle est Téquation de la courbe AME, qui jouit de la propriété énoncée.

La valeur y tirée de ce résultat étant j = ± - ^d' — «% et se

trouvant toujours réelle tant que x, positive ou négative, sera plus petite que a , il en résulte que la courbe est entièrement fermée. On détermine les points où elle coupe les axes des coordonnées en faisant successivement^ = o, 7- = o dans l'équation (i). La première supposition donne r=i*; c'est la valeur de CD ou de CE. La deuxième supposition donne « = iba; c'est la valeur de CB ou de CA. Ainsi la courbe passe par les points A, D, B, E et ne passe pas au delà. On a donc AB=r2a, DE = 2fr. Ces deux dernières lignes se nomment les axes de l'ellipse , et le point C en est le centre.

^ ■ M , Il - ■

OU par y z=/(x), dont Ténonoé est : x égale fonction de x. Dans ce second cas , on suppose que réquation est résolue par rapport ky.

Généralement, on entend par fonction d*une ou de plusieurs variables l'eipression d'opérations quelconques à faire sur ces variables , combinées soit entre elles, soit avec des constantes.

Lorsque a ^ &, a a est le grand axe et 2 6 est le petit axe. Mais lorsque a =z ^^ on retrouve Téquation du cercle j' + «r' = a^ On peut donc considérer un cercle comme une ellipse dont les deux axes sont égaux. Il est clair alors que les deux foyers coïncident avec le centre, ou que l'excentricité CF est nulle.

Pour compter les abscisses à partir du sommet A de l'ellipse , on voit bien qu'il faudra, dans l'équation précédente de cette courbe, faire x=ixf — a, puisque CP = AP — AG; ainsi l'on aura, toute réduction faite ,

Telle est l'équation de Tellipse rapportée au sommet de cette courbe. La double ordonnée qui passe par l'un des foyers de l'ellipse se nomme le paramètre : si on le désigne par p , Tabscisse correspondante sera c = ^à^ — 6', et pour lors l'équation (1) ci -dessus donnera

''~~*T'"~ 2fl "

c'est-à'dire que le paramètre est une troisième proportionnelle au grand axe et au petit axe.

Théoeàmx. — Dans V ellipse, les carrés des ordonnées son$ entre eux comme leS' produits des abscisses correspondantes.

En effet , si Ton désigne par \! et T les coordonnées d'un point antre que celui qui a x' pour abscisse, l'équation (2) se changera en eelle-cî»

Y>=2(a«X'-X'«), et Tune et Tantre fourniront la proportion

r': Y»::a/(2û — *'):X'(2fl — X').

Si l'on circonscrit à l'ellipse BMA un cercle du rayon CB =: a, et qu'on désigne par Y l'ordonnée PN correspondante à l'abscisse GP = ^ ^ on aura par la propriété du cercle

et par celle de l'ellipse rapportée à son centre

jr* = ^ («'-«») ;

donc

Y":j^'::i:-- ou Y\j::a\b:\^a:iib^

c'est>à-dire que les ordonnées du cercle circonscrit et de l'ellipse ^ correspondantes à une même absdsse , sont entre elles comme le premier axe est au second axe de cette ellipse.

Çoadratore de PeUipte.

En menant à volonté des ordonnées communes à l'ellipse et au cercle circonscrit {fig. 16) , et considérant leurs extrémités comme les sommets des angles des polygones inscrits BMM'M". . . , BNN'N". . .

g^ GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

à ces deux courbes , un quelconque des trapèzes PP' NN' aura pour

mesure

PN-^PN\^^,, Y-»- Y' ,, ^ (PF) ou __(x-x')=T.

Le trapèze correspondant PP' MM' aura de même pour mesure

^ iPP) ou •l__{a: — y) = r.

Mais^ par ce qui précède ,

par conséquent

OU bien

Pour deux autres trapèzes correspondants T\ t'y on aurait de même

et ainsi de suite.

Donc en désignant par P Taire du polygone BNN'N'^ . . et par p celle du polygone BMM'M". . . , on aura, à cause de régalité des rap-

T T' T" ports, y? y, -p-, etc.,

Tjj-r-h r' __ p __ a

Or, plus on multipliera le nombre des côtés de ces polygones , moins P et /? différeront respectivement de i*aire S du cercle et de celle s de Tellipse \ donc la limite du rapport

- = - = -7- ; donc enfin S = — > p , s b .a

c'est-à-dire que Faire de l'ellipse est égale à celle du cercle circonscrit multipliée par le rapport du second axe au premier. Mais Taire du cercle circonscrit a pour expression ir a% donc

S = itab.

Ainsi Taire d*une ellipse est aussi égale au produit de ses demi-axes , multiplié par le rapport de la circonférence au diamètre. Ce rapport n'étant qu'approché , il s'ensuit que Tellipse , ainsi que le cercle , n*est pas une courbe exactement carrable.

Bléthode générale pour oalculer Faire des oeurbet planes et le volnmé

des solides, due à Tlunnas Simpson*

Les surfaces planes sont terminées souvent par des contours qui ne sont soumis à aucune loi géométrique connue , et alors il est nécessaire , pour les mesurer, d'avoir recours à des modes de quadrature approximatifs.

L'une des méthodes les plus simples et les plus exactes pour doter-

miner approximativement, par le calcul , la surface limitée par un contour quelconque curviligne ou composé de parties courbes et de droites , est celle qui est due au géomètre anglais Thomas Simpson.

On mène à travers la surface une ligne AB {fig. 17, i'/. /) , et l'on partage la distance entre les deux points d'intersection avec le contour en un nombre pair de parties égales , et numérotées 1,2,3,49^9 6, 7, 8; aux points de division on élève des perpendiculaires à la ligne AB appelée axe des abscisses , ce qui donne les lignes O^ 0'% 0^, 0'^, etc., appelées ordonnées.

La surface S, terminée par le contour 0'0"0"(y, a pour valeur

S= i £/ [(O'-+.0'»)4-4 (0''+0«^4-0^^-0^«")4-2 ((T-f-O^-hO^")],

c'est-à-dire le tiers du produit qu'on obtient, en multipliant par l'intervalle constant d compris entre les ordonnées de la courbe , la somme des ordonnées extrêmes, augmentée de deux fois celle des autres ordonnées de rang impair, et de quatre fois celle des ordonnées de rang pair.

BénMnMtratkm de cette règle [fig, 18, P/. /). — L'aire à mesurer étant limitée par le contour aa'd! g' gda , si Ton partage la ligne ag en six parties égales par exemple, on aura une première valeur approchée de cette aire en faisant la somme des aires des trapèzes rectilignes aa^ b' b ^ bb' d c ^ etc., ce qui donnera

- ab [aa' -4- hV) + i bc{bb'+ce) -^-cd (rc'-f rf^') -h... ,

Jk ^ ^

ou

C'est la méthode ordinairement suivie , et qui revient à remplacer la oonrbe par le polygone rectiligne a'b'c' d' é . . . ^.

On obtient ainsi une valeur d'autant plus approchée de Taire cherchée qu'on multiplie davantage les points de division. Mais , sans augmenter le nombre de ces divisions , on peut avoir une valeur plus approchée par la considération suivante , sur laquelle repose la règle en question.

Considérons à part l'aire mixtiligne comprise entre deux ordonnées impaires quelconques cc^ ee^ qui se suivent et qui comprennent entre elles Tordonnée dd' de rang pair. Si l'on divise l'intervalle c^ [fig. 19, PI' I) en trois parties égales cm , mn , /7^, on aura évidemment une valeur plus approchée de l'aire mixtiligne cd d't/ e^ en substituant les trois trapèa^s rectilignes or' m' /ti , mm' n' n^ nn' e^e aux deux trapèzes cc'd'd^ dd'ée. La somme des aires de ces trois trapèzes est

-cm (ce' -^2 mm'-h ^nn* -f- 2 eé\ 2 ^

on

-= ab {ce' -\-iimm' -^ 2nn' ^h <?^),

puisque cm ^= mn =: ne =^ -^ab .

Si l'on mène la ligne m' n\ qui rencontre dd' en o , on aura

€to = - ( mm' -H ««')>

et , par conséquent ,

%[mm* — nn')=^do.

Substituant cette valeur dans l'expression précédente, celle de Taire totale des trois trapèzes deviendra

-^ab^cc^ -i-ido-h ce').

Or cette aire est plus petite que Taire curviligne à mesurer ; et si Ton substitue à do l'ordonnée dd' un peu plus grande , et qui est connue, on établira une compensation approximative (*)> en même temps qu^on pourra se dispenser de tracer les nouvelles ordonnées mm' y nn'. On aura donc , pour la mesure de Taire curviligne cd d^e^ l'expression

^^ah{<:c'^l^dd'^ed),

dans laquelle do est remplacé par la quantité connue dd' , On aura de même pour Taire Wc'c {Ji^. \Sy Pi. I)

pour Taire eggé

-= ah {aa' -^^bb' -^ ee')\

Donc, en disant la somme de toutes ces aires partielles, la valeur approchée de la surface totale sera

^^ab[[aa' + g^) -h:t[ce -^^ ci/)^ ê^{bb' ^dd' ^ff')]^

suivant la règle énoncée.

(*) Dans rintroduction à la Mécanique industrielle , d'où cette démonstration est extraite , M. Poncelet fait obserrer qu'en prenant ddf pour ody on augmente

Taire polygonale de ? c<{x kod\ Mais en traçantles nouvelles cordes m' J', n'd%

il sera aisé de voir que la surface du triangle rectiligne m'n* d! a pour mesure'

- m X oif ; car ce triangle se compose des triangles m' oif', on'd\ dont la somme

des surfaces

z= ~ od^ ><^md = - od' X imIh- - orf' (md-h nd) ^-od^xmn,

et comme mit= r cd, la surface du triangle m'àPvf sera

- X î cif X o<f — 1 crf X o<r .

On a donc augmenté Taire dn polygone rectiligne cc'm'n'^e de quatre fois le triangle m'dn' , tandis qull faudrait Taugmenter de la somme des aires des segments compris entre la courbe et les cordes c'nf^m' vl et n'e'. Par conséquent, si cette somme équivaut à t^m'dn\ la compensation sera exacte et la méthode riffoureuse; dans tous les cas , on ne risquera de se tromper que de la différence de cette somme et de ^m'ttn', différence qui ne sera généralement qu*une petite fraction de chacune d'elles, excepté pour quelques points singu* Uers de la courbe.

GÉOMÉTAIE ANALYTIQUE. gS

Certaines ordonnées pourraient être nulles, ce qui n*enipèclierait pas la formule d'être applicable.

H faut diviser la ligne AB des abscisses de manière que les ordonnées ne coupent pas la courbe sous des angles trop petits, pour éviter la trop grande obliquité de ces ordonnées par rapport à cette courbe , qui laisserait de Pincertitude sur les points d'intersection.

On devra aussi multiplier d'autant plus les divisions que la courbure sera plus prononcée et plus accidentée, et qu'on voudra obtenir une plus grande exactitude dans le calcul.

11 faudra donc, s'il est nécessaire, partager l'opération en plusieurs divisions distinctes , soit qu'on multiplie davantage les ordonnées dans certaines parties , soit qu'on rapporte les courbes à plusieurs axes différents, pour que les trapèzes rectilignes ne diffèrent nulle part d'une trop grande quantité de^ trapèzes curvilignes correspondants.

La formule de Simpson donne évidemment un résultat plus exact et plus approché du véritable , que celle qui consiste à prendre la somme des aires des trapèzes inscrits. Mais il faut remarquer , pour l'une comme pour l'autre, que le calcul conduit à des résultats un peu trop petits pour les parties de la courbe qui présentent leur concavité à l'axe des abscisses , et un peu trop grands pour celles où cette courbe tourne sa convexité vers cet axe.

T>orsqu'il est question de solides terminés par des surfaces courbes irrégulières, et dont la loi n'est pas connue, on procède d'une manière analogue.

Après avoir coupé le solide par un plan , on le divise en un nombre impair de plans perpendiculaires au précédent, parallèles entre eux , et également espacés. Ces plans comprennent par conséquent un oomibre pair d'intervalles égaux ; ils déterminent dans le solide des sections ou profils dont on prend les quadratures partielles. On porte ensuite sur une ligne d'abscisse des intervalles égaux à ceux qui séparent les plans. A chaque point de division , on élève une perpendiculaire ou ordonnée dont on fixe la longueur à une échelle convenue pour représenter la surface du profil correspondant. Par les extrémités de toutes ces ordonnées, on fait passer une courbe, et l'aire comprise entre la courbe et les ordonnées extérieures de la ligne des abscisses, calculée par la formule de Simpson , donne le volume cherché.

Il est facile 9 au reste, de s'assurer directement que cette formule s'applique à la mesure des solides.

Si l'on considère trois des plans consécutifs indiqués ci-dessus en représentant par / et y* la surface des courbes extrêmes, et par 2 / la distance qui les sépare , on pourra , en considérant ces courbes comme polygones , substituer à la place de la portion du solide comprise entre ces deux plans un tronc de pyramide quf aura pour expression de son volume

En appelant s" la surface du profil intermédiaire qui est, par

g6 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

conséquent, à égale distance des profils extrêmes, on aura

Car, puisque les surfaces s\ s*' y s'' sont entre elles comme les carrés des côtés homologues correspondants c\ c" ^ c"^ et qu'on a

a on doit avoir

Si l'on tire de cette équation la valeur de ^s' X ^ et qu'on la sub~ stitne dans l'expression précédente, il viendra

pour le volume du tronc de pyramide compris entre trois profils consécutifs. Par conséquent, si l'on a /i + 1 profils séparés par la distance constante / et donnant lieu aux surfaces /, s'\ s^ ... j", ^ ""', on aura pour la somme de tous les troncs partiels que représentera le volume total y, l'équation

où tous les « à indice pair sont multipliés par 4» ^t tous ceux à indice impair le sont par 2 , à l'exception des deux extrêmes.

Cette expression n'est autre chose que la formule précédente, dans laquelle les lignes sont remplacées par des surfaces.

ibqiuitMm de l'hyperbole.

Dans cette courbe , la différence des rayons vecteurs est toujours constante. A l'aide de cette propriété , on peut donc décrire l'hyperbole, soit par points, soit par un mouvement continu.

Si F, F' sont les foyers de la courbe (fig, 20, PL /), et que l'origine A des abscisses soit prise au milieu de FF', on aura

FM = v/(c — *)'-+-^% F'M = v^(c-Hx)^-f-rS et, si l'on désigne par 2a la différence F' M — FM, on aura

Faisant passer la première quantité radicale dans le premier mem* bre , élevant ensuite les deux membres au carré et réduisant, il vient

élevant encore au carré les deux membres de cette nouvelle équation et réduisant, on trouve

û'7' — x^ (c' — fl») = a< — fl*c';

«nfin , si Ton fait

on trouvera pour Téquation de la courbe actuelle

Le moyen de déterminer les points où cette courbe rencontre Taxe des X et celui des j^ est de faire successivement dans ce résultat

y :=: o et X = o.

La première hypothèse donne

c'est la valeur du demi^grand axe AB ou AB '. La seconde hypothèse donne

quantité imaginaire; mais, pour conserver Tanalogie entre Thyperbole et Tellipse , on est convenu de supposer

j^ = ± ^ ou ^ = db by

et , dans ce cas , on fait

AC = 6 et AC'=— 6.

Lorsque les deux demi-axes a et 6 sont égaux, Féquation (i) se réduit à

Cette dernière est analogue à Téquation du cercle , et Thyperbole qui en dérive se nomme hyperbole équilatère. En résolvant la même équation ( 1 ) par rapport à y^ on obtient

et comme la quantité sous le radical est toujours positive, tant que x, positive ou n^ative, est plus grande que a, on doit en conclure Que l'hyperbole a deux branches, MB/77, M'B'm', coupées symétriquement par Taxe des x , et qui s'étendent indéfiniment à droite et à gauche du centre A de cette courbe.

Lorsque Ton veut transporter l'origine des coordonnées À l'un des sommets B' de la courbe , on fait x = x' — /i dans Péquation (i), laquelle devient alors

Cest Féquation de Phyperbole, lorsque Torigine des coordonnées est au sommet de cette courbe.

On démontrerait, comme pour l'ellipse 1

i*. Que le paramètre p =z — 5 c'est-à-dire que , dans Fhyperbole ,

il est aus^ une troisième proportionnelle aux deux axes*;

2<*. Que )fl» carrés des ordonnée» iont entre eux c4nme les produits des abscisseftcorrespondantes^

3^. Que Taire d*une hypenSèle quelconque comprise entre deux ordonnées esta l'aire de l'hyperbole équilatère correspondante, com-

98 GéOMÉTRIE ANALYTIQUE.

prise entre les mêmes ordonnées, comme le second axe est au premier. La méthode de Simpson , donnée plus haut pour calculer Taire des courbes planes, pourra être employée avec avantage pour trouver des portions déterminées de surface hyperbolique.

AqiMitîoti de la parabole.

La propriété caractéristique de cette courbe est que tous ses points sont autant éloignés d*une droite donnée AC qu*un point fixe ou foyer F également donné [fig, 21, PL I),

Soient

on aura

AP==«, PM = jr et AF = ^^

Puisque Ton doit toujours avoir CM = MF et que

MF==Y/(x-^y-f.r% il est évident que l'on a la relation

Élevant le tout au carré , développant et réduisant, on obtient

Telle est Téqtiation de la parabole. Lorsque j = o , on a pour Tabscisse du sommet B, x = j\ ainsi , ce sommet est au milieu de la distance AF. En y plaçant rorigine des coordonnées, auquel cas

réquatioB précédente se réduit à la suivante,

(2) jr'=px'

qui est TéquaHon au sommet tfela parabole; de là on tire

^ = ±: s/pj^-

De ce résultat on doit conclure que la courbe est partagée par Taxe des x en deux parties symétriques, qu'elle s'étend à Tinfini, mais du cèté des x positives seulement.

Si Ton cherchait la valeur de la double ordonnée qui passe par le foyer, on la^ trouverait égale k p; en effet , on a alors

et , par suite ,

P P^ y^ = p:^^ = ^ ou 2x = p

Concluons de là que le paramètre mm' de la parabole est le quadruple de la distance du sommet au foyer.

Pour un autre point ayant pour cooraonnées X' et Y , on aurait de même

Ainsi)

c*est-à'^ire que dans la parabole les carrés des ordonnées sototMtre

eux comme les abscisses correspondantes.

Si dans Téquation suivante de l'ellipse rapportée an somhdet àe cette

courbe r' = -7 (t. ai:' — a:'*), on met pour —7 sa valeur-^, elle

deviendra

t^t si dans celle-ci on fait a infini » elle se réduira à

y^z=px'.

€e qui apprend que la parabole est une ellipse dont le grand axe est infini. On verra en mécanique que cette courbe représente la route que suivrait un projectile lancé d^ns le vide.

Çuadrature de la parabole.

Par les extrémités M , M', M" des ordonnées PM , P' M', P" M", etc., menons les droites MN, M^N', W^'\ etc., parallèles à l'axe des x, et joignons les points MM^ M'M'% etc., alors il en résultera le polygone MM' M^'B inscrit à la parabole ; et si xy^ if f ^ x"jr" sont les coordonnées des points M, M^ M", etc., on aura, par la propriété de cette courbe,

. y^z=:px, jr'^ = px' , /'» == px'' . . . {m).

Cela posé, les aires des trapèzes intérieurs PM', PM", etc., seront et celles des trapèzes extérieurs NM', N'M'', etc.^

Ainsi ,

En soustrayant la deuxième équation m de la première, il vient

Et substituant cette valeur dans le premier rapport précédent, on a, après avoir réduit,

Or , comme rien n'empêche de prendre le point M' aussi près qu'en

loo GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

voudra du point M, il s'ensuit que les différences x-^x' eiy—y pourront être au-dessous de toute grandeur assignable; l'expression

du rapport - aura donc pour limite

donc alors

dans la même circonstance

= 2; px

Tous ces rapports érant égaux , on a

Mais le numérateur Q -*- Q' -H Q" . . . exprime dans cette hypothèse Taire S du segment parabolique MM' M'^ . . . BP , et le dénominateur représente Taire s de Tespace mixtiligne MM'M''^ 6N. Ces deux aires réunies constituent celle du rectangle circonscrit BPMN ; on a donc, en désignant simplement par F Taire de ce rectangle ,

et enfin

Il suit de là que Taire de Tespace parabolique BMP est les ^ du rectangle PN circonscrit. Ainsi le parabole est une courbe exactement carrable.

Le cercle, Tellipse, Thyperbole et la parabole sont des courbes du second degré, parce que leurs équations renferment les secondes puissances des variables. Nous allons donner la discussion complète d'une équation générale du second degré entre deux variables , afin de faire voir qu'une telle équation ne peut donner naissance qu'à Tune des courbes dont nous venons de parler. Ce sont ces courbes que les anciens nommaient sections coniques , puisqu'en effet on les obtient en coupant, suivant certaines conditions, un cônepar un plan.

USOUSSIOir BB L'ECU ATIOM OiOKtnBLKLBL DU SBCOMB SBGBJfa.

L'équation la plus générale du second degré à deux inconnues x et y étant

( 1) Ky^ -4- Bar/ -t- Cx*-+- Dj -h Ex -4- F = o,

cette équation détermine toutes les lignes du second degré; nous allons démontrer que Téquation (i) ne donne que trois classes de courbes, et que la nature de ces courbes ne dépend que des coefficients A, B, G des termes du second degré en xet/.

On supposera toujours que Ton donne des valeure réelles à Tab-

OÉOBIÉTRIE ANALYIIQUE. loi

scisse X, et que les valeurs correspondantes de Tordonnée / sont âé* duites de l'équation de la courbe. Si une valeur réelle a: = a donne / = €, selon que 6 sera réel ou imaginaire, on dira que la solution X = a , ^ = 6 est réelle ou imaginaire.

Lorsque le coefBcient A de y^ n*est pas nul , on détermine la forme des lignes représentées par l'équation (i) en résolvant cette équation par rapport à^, ce qui donne, en faisant passer tous les termes eny dans le premier membre et en divisant les deux membres de Téqualion par A ,

résolvant cette équation du second degré, il vient

*"" Ta'

P-u.// B'-4AC \ /BD-4AE\ D-^4AF