BD — 2AE D' — 4 AF

o, b j /i, a et 6 seront des nombres connus; fi* — 4 AG et /r seront toujours de mêmes signes, Téquation (2) deviendra

(3) X =ax -h bdo, V^/ix*-^ 2 ax -H 6..

La valeur de x s^ cx>mpose d^une partie rationnelle ax -h b qui exprime Tordonnée d'une ligne droite , et d'une partie irrationnelle ; par conséquent , si Ton fait

(4) y=zax'\-b

tî

(5) Y' = v^/ïa;'+ 2 aa? + 6 , on aura

(6) r = /'rfcY'.

Pour trouver les différents points de la courbe {Jîg 22, PI, i), on construira d'abord la droite H H' représentée par Téquation ( 4 )• ^^ sera facile d'en déduire les points M et N de la courbe qui répondent à une abscisse donnée AP = x. En effet, la valeur de x étant connue, les formules (4) ^t (5) déterminent les valeurs correspondantes de r'et Y'; l'équation (6) montre qu'on obtiendra les valeurs correspondantes de j en ajoutant Y' k y et en retranchant Y' de y' , Par conséquent, si Ton tire une parallèle PM' à l'axe des j^, on construira les deux points M et N de la courbe qui répondent à l'abscisse AP = j;, en prenant QM = QN = Y', car l'ordonnée PQ de la droite

IQ2 • GlgOMÉTJUE ANAI.TTIQUE;.

H H' repréaeDte y» et l'on a PM = PQH-QW=y-+- Y' et PN = PQ— QN=/— Y'.

Si l'on répète cette constructioa pour toutes les valeurs de x qui rendent Y' réel , on obtiendra les différents points de la courbe. La forme de cette courbe dépendra des valeurs des coefficients A, B , Cy etc. Nous âllotis discuter généralement tous les cas qui peuvent se présenter.

La droite HÛ' est iin diamètre de la courbe , car elle divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à Taxe des y. La construction de ce diamètre ne pouvant offrir aucune difficulté, on supposera toujours que le diamètre y^^ax-^b sera construit, et alors les différei^ts points de la courbe (i) seront déterminés par Téquation

On^

B»— 4Ac = 4A»/t.

Pour obtenir les points M , N de la courbe qui répondent à une^ abscisse donnée x==x^ = AP, on tirera une parallèle PM' à l'axe des f , et à partir du point Q où cette parallèle rencontre le diamètre HH% on prendra

QM = QN = Y = v//iy»+ 2 oLx'-h 6

(x' désignant une valeur particulière AP de x).

BisouMion. *- Il existe toujours une valeur 7 de x réelle et finie, pour laqvelle le signe de nx^ + 2ax 4- 6 est le même que celui du premier terme ; x augmentant depuis ±7 jusqu'à dzop , le polynôme nx* -h 2 ax -h 6 conserve le signe de son premier terme , et la valeur absolue de ce polynôme augmente jusq^'à Tinfini. Par conséquent :

1^. Lorsque n est négatii, les valeurs de x, plus grandes que db 7, rendent Y imaginaire ; prenant donc AL = AL' = 7 et tirant des parallèles VLZ, V'L'Z' à l'axe des^ , tous les points de la courbe sei^ont situés entre ces parallèles. Mais des valeurs de x , moindres que ±7, ne peuvent donner que des valeurs finies de Y; si 6' désigne la plus grande valeur de Y, on prendra W a =W b'j on mènera des parallèles a' a!\ h' b" au diamètre H' H; ces parallèles toucheront la courbe aux points^ et ^, et tous les autres points de la courbe seront situés dans l'intérieur du parallélogramme a' b' o!' b". Celte courbe fermée a r^çu le nom d'ellîpse.

2**. Quand n est positif, chaque valeur de x plus grande que db 7 détermine deux valeurs de Y, réelles , égales et de signes contraires ; X augmentant d'une manière continue depuis ±7 jusqu'à rhoo, l^ordonnée Y augmente aussi d'une manière continue jusqu'à diop ; de sorte que les branches de la courbe sont continues et s'étendent indéfiniment de part et d'autre du diamètre Hti', du côté des axes positifs et négatifs. Cette courbe indéfinie dans tous les sens est ce qu'on nomme une hyperbole ; elle peut avoir diverses positions que nous indiquerons par la suite.

3**. Enfin , lorsque /î = o,

Y = ± V2ax -H 6, et, selon que a est positif ou négatif, la courbe ne s'étend à l'infini que

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. io3

du côté des x positifs ou négatifs; Y augmente jusqu'à rboo . Cette courbe , indéfinie dans le seul sens des x positifs ou négatifs , se nomme une parabole.

BiMsaMion de Tellipse. B* — 4 ^^ < ^^ > » < o.

Lorsque B' — 4 ^^ ^^ négatif, n est un nombre négatif — ^'; les carrés x% /' entrent nécessairement avec le même signe dans réquation

(i) Aj'-hBxr -|-Cjp»-f-I>j'H-E«-4-F = o.

Cette équation détermine une courbe fermée nommée ellipse ; réquation

aAj^ = — Bx4-D

construit un diamètre HH' (Jiff. 23 , Pi, I) de Tellipsc , et tous les points de la courbe sont donnés par Téquation

(2) Y = ±: v^— r^'x'H- 2ajp-|- 6.

Pour trouver la forme de cette courbe , on cherche d'abord les points R^f R'% oi)L elle coupe le diamètre HH'. Or, à ces points , Tor* donnée Y est nulle ; les abscisses AF, AV" des points R% R'' sont donc les racines x\ xf* de réquation

— ^'jr'-f- 2ax-hS = o;

par conséquent , on a

Y = ±:^v^(jrr--.x')(x^ — x).

Les racines jt', x" pouvant être réelles et inégales , ou réelles et égales , ou imaginaires , discutons ces trois cas.

Vremier cas. — Quand les racines x\ x" sont réelles et inégales , on prend

AP' = Jc', AP" = x";

on tire des parallèles p' P' q'^ p" P" q*' à Xy : les intersections de ces droites avec le diamètre HH' sont les points où la courbe rencontre ce diamètre.

Discutons la courbe de A en F, de P' en F^ de P^ vers x^ et de A vers X.

i*>. De A en P', c'est-à-dire pour les valeurs de x comprises entre zéro et j/y Tabscisse x est moindre que x' et à fortiori moindre que x" \ Y est alors imaginaire : il n'existe donc pas de points de la courbe entre les parallèles j^ Y et p' q'.

2®. De P' en V*\ c'est-à-dire pour chaque valeur de x comprise entre j/ et x^, on a

par conséquent Y est réel ; pour chaque valeur x = AP, on trouve deux points M, N de la courbe, en tirant une parallèle PM' à l'axe des f et en prenant

QM = QN = <ï v^(x--x'y(x'' — x) = * v^PP' X PP'-

3*. De P'' vers x , c'est-à-dire pour les valeurs de x comprises entre x" et l'infini positif, les valeurs de x sont plus grandes que x' et que x'' ; Y est donc imaginaire ; la courbe ne s'étend donc pas à droite de/?"P''7".

io4 GÉOMÉTRIE ANALYÎIQUË.

4®. EnfiQy de A vers X, les valeurs de x étant négatives, Y est eocone imaginaire. La courbe ne s'étend donc pas non plus dans le sens des X négatifs , c'est-à-dire qu'elle n'a aucun point à gauche de l'axe des r. La courbe est donc placée entre les parallèles p'^ q\ p"Vq", Mais les valeurs x=.xf^x=.x" donnent les points R', R". de la cotirbe , et les abscisses des autres points de la courbe sont comprises entre 4/ et x' ; les valeurs de T ne sont donc jamais infinies ; la courbe est donc fermée , et elle est composée de deux branches continues R'MR'', R'NR'' situées de part et d'autre du diamètre HH^ Cette courbe est une ellipse. L'équation (i) admet une infinité de solutions réelles. Toutes les valeurs réelles de x et de j^ sont finies.

Deuzièine cas. -> Lorsque les racines x\ x" sont égales, et par conséquent réelles, les points R', R" se réunissent en un seul} l'équation

Y = rt ^ V^(.r — y)(x" — -r) devient

et la seule valeur de x qui rend Y réel étant x = x', l'ellipse se réduit an point dont les coordonnées sont

jr = d/, ^ = 0.

L'équation (i) n'admet qu'une seule solution réelle.

Trmsîènie ou. — Enfin , quand les racines 4/, x" sont imaginaires, aucune valeur réelle de x ne réduit — ^x'-f-aaar-Hê à zéro; ce trinôme ne peut donc pas changer de signe. Or l'hypothèse x = 7 rend le trinôme négatif; il reste donc toujours négatif, quel que soit X : toutes les valeurs de Y déduites de l'équation (2) sont donc imaginaires; cette équation ne détermine donc aucune courbe, et Ton dit, dans ce cas , que l'ellipse est imaginaire. L'équation (1) n'admet aucune solution réelle.

Corollaire. — Une courbe du second degré ne peut jamais être coupée en plus de deux points par une ligne droite.

En effet, l'équation d'une droite étant toujours de la forme

l'élimination de y entre cette dernière équation et Téquation

Kf'^ -HBxj-hCx'-HD^4-Ex-+-F = o

donnera une équation du second degré en x, qui déterminera les deux abscisses des points de rencontre de la droite avec Ta courbe. L'équation

y=zax'\- b

donnera les deux ordonnées correspondantes de ces points ; la droite ne rencontrera donc jamais la courbe en plus de deux points.

Biiciusîon de l'hyperbole. B* — i^kc>Q\ n>o.

Lorsque B^ — 4^^^ ^^^ positif, /? est une quantité positive ^^; réquation

(1) Y =± v^//x'-h 2ax -+-€ devient

( 2 ) Y = ± y/^'x'H- 2ax4- G.

GÉOMÉTRIE ANALYtIQUE. io5

Cette équation détermine une courbe indéfinie dans tous les sens , qu'on nomme hyperbole. Pour discuter cette courbe, on raisonne comme dans le cas de Tellipse; x^ et x" sont les racines de Téquation

(3) ^x'-h 2aj: -H 6 = o.

Lorsque les racines x^, x ' sont réelles et inégales , on met Téquation ( 2) sous la forme

(4) Y==±(îv/(*-«')(x — x'O-

On prend AP' = j/, AP' = x" [fig. n^.Pi.I)^ on tire des parailèles j?' P' q\ p^ V" q" à l'axe des^; elles rencontrent le diamètre HH' aux points R% R'^ où Phyperbole coupe ce diamètre.

i*^. De A en P', x est positif et moindre que chacune des racines x'^ x" ; les facteurs (x— j/)et(x — x") sont donc négatifs, et par suite

Y est réel.

Pour découvrir si , x auginentant , Y augmente ou diminue , on rend ces facteurs positifs : ce qui donne

Y=±(îV(x' — a:)(a;"— x); et l'on voit alors que, x augmentant depuis zéro jusqu'à x', la valeur de

Y diminue depuis db è ^x'x" jusqu'à do o ; prenant donc

gc^ge'=:9>Jx^ xT^

la portion de courbe comprise entre les parallèles Yy^ p' q' aura la forme

CR'c'.

2*. De P' en P'', x est plus grand que x' et moindre que x"^ Y est donc imaginaire; il n'y a donc pas de courbe entre les parallèles

3". De P" vers x, x est plus grand que x' et que x"; Y est donc réel. L'équation (4) démontre que, x augmentant depuis x'' jusqu'à l'in* fini , Y augmente depuis zéro jusqu'à ±00 ; cela détermine une branche SMR^N J qui s'étend à l'infini dans le sens des x positifs, et qui s'écarte de plus en plus du diamètre R'^ H.

Enfin de A versX, x étant négatif, on fera x == — z. L'équation (4) deviendra

Y = ±JV^(z4-x')(z+x"}.

Chaque valeur jiositive de z déterminera deux valeurs de Y réelles , égales et de signes contraires , et t augmentant indéfiniment de A vers X, l'ordonnée Y augmentera jusqu'à ±oc . Cela donnera deux arcs hyperboliques CS', cV qui s'étendront à l'infini du côté des x négatifs, en s'écartant de plus en plus du diamètre ^H'. La courbe aura donc la forme indiquée {fig. 23) , et cette courbe sera une hyperbole. Beunèane ou. — Quand les racines x', xf' sont égales et par conséquent réelles , l'équation

^ = tf X -t- 6 ± ywxM-ïcT-f-ê donne

yz=,ax-\'h±^{x — x' ),

ce qui détermine deux droites GG', EE'.

Troinéme om. — Enfin lorsque les racines x', x" sont imaginaires ,

io6 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

le trinôine ^* j:- -H 2aj? -4- € reste toujours positif, et réquatton

démontre que chaque valeur réelle de x donne deux valeurs de Y réelles, égales et de signes contraires; la courbe est donc formée de deux branches qui s*étendent indéfiniment au-dessus et au-dessous du diamètre HH' (fig. 24 , PL /).

DûoiiMiozi de la parabole. B' — 4Acr=o; n = o.

Lorsque B' — ^kC-^o, on a

/i = G et Y = ± V^2 aa' -f- 6.

Quand a et€ sont positifs, chaque valeur positive de x donne deux valeurs de Y réelles, égales et de signes contraires, et x augmentant

depuis zéro jusqu'à Tinfîni , Y augmente depuis dl v^ jusqu'à ±00 .

Prenant donc pd =pe = y^6 l^g* ^5 , PI, /) , on voit que les valeurs positives de x déterminent deux arcs paraboliques DM^, ^NE qui s'étendent à rinfini au-dessus et au-dessous du diamètre HH'; elles s'éloignent de plus en plus de ce diamètre , et toute corde MN parallèle à l'axe des j est divisée en deux parties égales par le diamètre UH'. Pour discuter la courbe dans le sens des x négatifs, on fait

X = Zy

d'oft

3 augmentant depuis zéro jusqu'à — , les valeurs de Y sont réelles et

diminuent depuis + v^ jusqu'à dio , et z devenant plus grand que

— , Y est imaginaire.

Prenant donc AP' = — , et tirant une parallèle P'^' à /Y, on voit

que les valeurs négatives de x donnent Taxe parabolique Dr/R'eE, qui ne s'étend à l'infini que dans le sens des x positifs , et qui s'éc;irte de plus en plus du diamètre R' H. Cette courbe présente sa concavité . ^ Taxe des x^ car une droite ne peut jamais la couper en plus de deux points.

Quand, a étant positif, 6 est nul, la courbe prend la position D^ pE\ iMnqwe a est positif et ê négatif, la courbe est dans la position tV p'cf , De sorte que, a étant positif, la courbe est toujours composée d'une branche continue , qui s'étend à Tinfini dans le sens des x positifs.

Quand j. est négatif, la courbe prend une position inverse, c'est-à dire qu'elle conserve la même forme et qu'elle ne s'étend à l'infini que dans le sens des x négatifs. La fig. 26, PL II, indique les diverses positions ^/'//tf', D'y^E', DR'E que prend la courbe, suivant que (5 est posilif, ou nul, ou négatif. On peut s'en assurer en discutant directenicnl la valeur de Y. Enfin, lorsque x = o, on a

et selon qae 6 est positif , nul ou négatif, on obtient deux parallèles au diamètre HH', ou le diamètre HH', ou deux droites imaginaires. WLemmnfoiCB nir les ditouMioiu préoédentet. — On a supposé jusqu*ici que l'équation

(i) Aj'-+-Bxj-hCx'4- Dr-f-Ej:4-F = o

contenait j^' y de sorte que A n'était pas égal à zéro j mais lorsque A

est nul , cette équation devient

(2) Bxf -*- Cj:'-f-D7 4-Ex-f-F = o.

II s'agit de déterminer la nature des courbes qui sont représentées par cette dernière équation. La quantité B' — 4^^^ "*^^^ jamais négative, car elle se réduit à B^ Chaque valeur réelle de x donnant une valeur réelle correspondante de j, cette équation admet une infinité de solutions réelles. Ainsi la courbe existe toujours; elle s'étend à l'infini du côté des x positifs et des x négatifs. Cette courbe n'est donc pas du genre de l'ellipse.

Quand C n'est pas nul, Téquation (2) donne

(3) 2Cx= — Br— E±v/b*7-'4-2(BE- 2CD)j-f-(E' — 4CF). Pour ramener la discussion de Téquation ( 3] à celle de l'équation

Y=z jx -±— v(B^ — 4AC)x'4-2(BD — 2AE)j:-h(D'— 4aF)

il suffit de changer x et / en ^ et x. On reconnaîtra par des raisonnements analogues que, B n'étant pas nul , la courbe est du genre de l'hyperbole, et que , B étant zéro , la courbe est du genre de la parabole.

Enfin, lorsque A et C sont nuls, l'équation de la courbe se réduit à

(i) Bxj -f. Dj -H Ex -h F = o ;

et comme on suppose que l'équation est du second degré, B n'est pas nul : B' — 4 AC est donc positif. On pourrait construire directe* ment celte courbe, mais on découvrira plus facilement sa forme, en faisant d'abord disparaître les premières puissances des coordonnées. Pour y parvenir, il suffit de rapporter la courbe à des axes X'x', Yj' (fig. 27, Pi. II) parallèles aux axes primitifs Xx, Y/. En effet, soient a ei b les coordonnées de la nouvelle origine A'; si x et y désignent les coordonnées primitives d'un point quelconque de la courbe, et x\ y' les nouvelles coordonnées du même point, on aura

et l'équation ( 4 ) deviendra

(5) Bx'j>-'4-(«B-HD)/H-(^B4-E)x'-f-{Biï6-^D^H-Efl-f-F)=:o.

Les coordonnées tr , b étant arbitraires, on pourra toujours suppo-

serflB-f-D = o, ftB-f-E = o, car B n'étant pas nul , les valeui ;x

de a et ^ seront réelles et finies. Substituant ces valeurs dans Fcqiia-

,t-\ i» • I^E — BF

tion (5) et désignant — par r, on trouvera

io8 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Pour construire les nouveaux axes on prendra

AH = ~fl=?, AX=: — ^ = |.

Les parallèles y HY% X'Ax' aux axes j^Y, Xx seront les axes demandés. De sorte que si Ton tire par un point quelconque M de la courbe une parallèle MP' à^Y, on aura

AP=:x, PM=r, A'P' = x', P'M=7'.

I**. Lorsque c est positif, le produit x'j' est positif; x'ety' sont donc de mêmes signes ; tous les points de la courbe sont donc situés dans les angles j' A' x', X' A' Y'. Si x' augmente depuis zéro jusqu*à

Finfini positif, la valeur ~> de /' diminuera depnis +od jusqu'à

zéro; la courbe s'approche donc indéfiniment des axes A'x', A'/'; et comme une droite ne peut la couper en plus de deux points , les valeurs positives de x déterminent la portion de courbe S ms^ Lorsquex' change de signe sans changer de grandeur, jr' ne fait que changer de signe. De sorte qu'en prenant A' Q' = A' P', les valeurs des coordonnées correspondantes P'M , Q'M' sont égales et de signes contraires. Les valeurs négatives de x donnent donc une branche ^ M' S' qui est placée au-dessous de X' j/, de la même manière que la branche SMs est placée au-dessus de X' x'. Cette courbe est une hyperbole.

Le point A' est le centre de l'hyperbole. En effet, l'hypothèse A'Q' = A' F donnant Q' M' = F M, les triangles A' Q' M', A' P' M sont égaux ; les angles M' A^ Q% MA' P' sont donc aussi égaux ; A' M' est donc le prolongement de M A'. Or A' M' = A' M. Chaque corde menée par le point A' y est donc divisée en deux parties égales : ce point est donc le centre de l'hyperbole. Les coordonnées a', 6' du centre sont donc

20. Lorsque c devient négatif, la valeur —, de^ ne fait quechan-

ger de signe ; la courbe change donc seulement de position par rap* port à l'axe desx. Cette courbe est une hyperbole, ses deux branches SMf , S'MV {/ig, a8, PI. Il) s'approchent infiniment des axes X'x', ^'Y'; elle ne les rencontre qu'à l'infini. Le point A' est le centre.

3°. Enfin , quand r = o , l'équation x' y =r o détermine les axes x'X', y Y', car pour tous leurs points le produit x'y est nul, et il ne peut être nul que pour ces points.

Lorsqu'une courbe a un centre , chaque diamètre de cette courbe passe nécessairement par le centre y car ce diamètre divise une infinité de cordes parallèles en deux parties égales , et le milieu d'une de ces cordes est le centre de la courbe. Par conséquent, pour déterminer le centre d'une courbe y il suffit de trouver le point de rencontre de deux diamètres; ce point de rencontre est le centre demandé. Selon que deux diamètres d'une courbe se coupent ou ne se coupent pas, la courbe a un centre ou elle n'en a pas. Le milieu d*un diamètre rectilignc quel' conque est donc le centre de la courbe.

Pour trouver le centre des courbes du second degré, on résoudra l'équation

(i) A/' 4- B x^ 4- C a:* 4- D/ H- Ea? -+■ F = o

par rapport à / et 4:; les parties rationnelles / ^ B D

seront les équations de deux diamètres de la courbe , les coordonnées a', P' de l'intersection de ces diamètres détermineront le centre de la conrbe. On trouvera