AE— BD ^, 2CD — BE
'*^ " = B'-4AC' P=BrZ4AC'
Quand B' — 4^^ ^^ ^^ P^^ ^^^9 ^^ courbe sera du genre de TelËpse ou de Thyperbole ; les coordonnées a', p' seront réelles et finies; les formules (4) détermineront le centre de la courbe. Lorsque B'-— 4AC étant égal à zéro, 2 AE — BD ne sera pas nul, la courbe sera une parabole ; a' et p' seront infinis , les diamètres seront parallèles, et la courbe n^aura pas de centre.
Propriétés de iVIlipie rapportée à des oocMrdoiiiiéet reotengalaîrer.
Bet tangente» et des normale*.
Les coordonnées a?, jr étant rectangulaires, Téquation de l'ellipse peut toujours se ramener à la forme
Pour déterminer les points de rencontre de la courbe avec les axes
Xx, Yx {fi^' 29» ^'- ^^)i ^" ^*^' successivement
7 = et j? = o , ce qui donne
On a donc
Soit
jr = ±— et x=z±b.
AB=AE = — j AD = arf=:^.
— = II , d OÙ /?! = -: m a
la substitution de cette valeur de m dans Téquation (i) donne
d'où
(3) r = ±:- v^fl'-x'
el
iio GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
D*après récjuation ( 3 ) , lorsque x est positif et augmente depuis zi*ro jusqu'à fl, y est réel et diminue depuis h jusqu'à zéro; chaque valeur de x donne deux valeurs de y égales et de signes contraires, et X devenant plus grand que , j^ est imaginaire. Or la courbe a la même forme du côté des x négatifs; car x ne changeant pas de signe , y ne change pas. Mais une droite ne peut jamais couper l'ellipse en plus de deux points : cette courbe a donc la forme indiquée précédemment.
La discussion de Téquation (4) conduirait aux mêmes résultats.
Chaque valeur de x et de ^ déterminant deux valeurs correspondantes de / ou de X , qui sont égales et de signes contraires , toute parallèle à un des axes Yy^ Xx, est divisée en deux parties égales par l'autre axe. Ces axes sont donc des diamètres de Tellipse , leur intersection A est le centre de la courbe.
Les coordonnées étant rectangulaires, les angles MPA, NPA sont égaux. Par conséquent, si Ton conçoit que la portion BME de i'eilipse tourne autour de Taxe Xx , le point M décrira un arc de cercle dont le plan sera perpendiculaire à Xx, et <iuand M aura décrit une demicirconférence , M tombera en N ; l'arc elliptique BME s'appliquera sur Tare BNE. Laxe des x divise donc le périmètre et la surface dé V ellipse en deux parties égales, L*équalioD (4) démontre que l'axe des y jouit de la même propriété. Les portions BE = 2â, 'Dd=,'2^b des axes xX, j^Y, comprises dans la courbe, se nomment les axes de Tellipse, et l'on dit que dans l'équation ( 2) l'ellipse est rapportée à son centre et à ses axes 2fl , 9^b,
La distance MA d'un point quelconque de l'ellipse au centre est facile h exprimer en fonction de l'abscisse AP = x du point M ; car> on a
MA» = x^ -hr' = x' -H — («' — x'),
d'où
MA = - Jà' b' -h (a» — 6M x' = - ylà' b^ — {/;» — «') x' .
Quand les axes T.a^ 7.b ne sont pas égaux, la distance MA est une (onction irrationnelle de x. Lorsque A > ^ (,fiS' ^9> ^'" ^^\ '* di*~ tance MA augmente avec x; ainsi, x =r o donne le minimum DA = b de MA, et X = a détermine le maximum BA = «7 de MA. Le plus grand des diamètres de l'ellipse est donc BE = 2 a, et le plus petit de t;es diamètres est D^=r 26. On dit, par cette raison, que 2a est le grand axe de l'ellipse et que 26 est son petit axe. Il en résulte que si on décrit deux circonférences BN^H , el}f[fig, So) du point A comme centre avec les rayons a et ^ , l'ellipse sera comprise entre ces deux circonférences, et elle les touchera aux points P, E, D, d.
Lorsque A<1 B [fig. 3i, PL 11)^ x augmentant, MAdiminue, de sorte que x = o donne le maximum DA = 6 de MA , et x = a donne le minimum BA = a de MA. Le plus grand diamètre de l'ellipse est donc Drf = 2^ et le plus petit est BE = 2a.
Enfin, quand a =: ^, on a MA =: a; la courbe devient donc une rirconférenee.
Quand les axes BE = an, Dd = ib{fig, 3o, PL II) d'une ellipse sont connus, il est facile de construire les difTérents points de la courbe, au moyen du cercle BNEH décrit sur BE comme diamètre. En effet, si Ton mène une parallèle PN à Yr> l'équation (3) donnera
VW = ^ [a^^kp^) = -r X PN»,
d*où
