PN""Â
L'ordonnée PM de TelHpse , sera donc une quatrième proportionnelle aux lignes connues a, b, PN ; ce qui déterminera le point M de Tellipse. On pourra donc construire successivement tous les points de cette courbe.
L'hypothèse A>6 donne PN> 1>M (fig. 3o, PL //); tous les points de Fellipse, excepté B et E , sont donc dans rintérieur de la circonférence décrite du point A comme centre avec le rayon a. Tous les points de Tellipse, excepte D et d^ sont hors de la circonférence l}cdf décrite de A comme centre avec le rayon AD = b , car, en tirant une parallèle QM à Xx, Téquation ( 4 ) ^onnc
QM: Q/î :: rt : *.
Par conséquent , lorsque A ]>• B , le plus grand des diamètres de Fellipse est 2a, et le plus petit est ib.
Les distances PB, P£ (fig, 29, PI, II) se nomment les segments correspondants à l'ordonnée PM. Or récfuation ( 3) donne
donc
PM»=-XPBXPE et ;?iM»=: — X/îB X /?E.
a' ' fl*
Les carrés des ordonnées de l'ellipse sont donc proportionnels aux
produits des segments correspondants,
PnoBLÀME I. — Déterminer l'équation d'une tangente à l'ellipse. Pour déterminer l'équation d'une droite r/w'T (j^g, 32, PL 71) qui
touche l'ellipse
en un point m\ il sufQt de mener par ce point une sécante S m' s qui rencontre l'ellipse en un second point /»'' ; on suppose ensuite que/w" approche de m', la sécante Sw'w" 5 approche de la tangente TiwV demandée, et enfin, lorsque m" coïncide avec m', la sécante deviens la tangente T m' t. Effectuons ces calculs.
* L'équation d'une droite menée par deux points m', m" étant
on exprime que ces points appartiennent à l'ellipse (1) en posant
Pour évaluer la fraction •-;; -^j on retranche (3) de (4), ce qui
donne'
d'où • • \
Substituant cette valeur dans l'équation (2) , on exprime que les points m'f m'' sont sur Tellipse (i), de sorte que Téquation
appartient à une sécante S m' m'' s menée par deux points quelconques m'f m*' de Tellipse (i). Pour que cette sécante devienne la tangente en m'^ il suffit de faire coïncider m" avec m\ en posant
Le résultat
est réquation de la tangente demandée La relation (3) réduit Té-
quation (7) à
(8) «VZ-f- h^x^z^ià'h^.
Réciproquement lorsque la relation (3) a lieu, Téquation (8) détermine une droite qui touche Tellipse (1) au point a/, y' ,
En effet, pour les points de rencontre de la droite ( 8) avec Tellipse (i), les équations ( 8), (3), (i) ayant lieu en même temps, il est facile de voir que ces équations donnent
Or les coordonnées x et ^ des points communs aux lignes (1 ) ( 8) doivent satisfaire à Téquation (g) , et la seule solution réelle de l'équation (9) est
x=x', r=/; ces deux lignes n'ont donc que le point x', y commun. La droite (8) touche donc Tellipse (i) au point x', y. Principe. — Toutes les propriétés des tangentes à V ellipse
se déduisent de l'équation de la tangerite.
En effet, l'équation de la tangente tm' T {fig. 32 , PL 11) au point x', y de lellipse peut se metti^ sous la forme
(3 ) ii^rf -f ^•xx' = fl' 6%
On a
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. n3
Si l'oQ détermine les points de rencontre de la droite ^ 3 } arecU
axes Xx, Xj,
on
trouvera
on en déduira
