AT
Af'-
Les longueurs m'T et /^'T se nomment la tangente et la sous-tangente.
L'hypothèse a/ =: o donne
AT'=oo, y=±^, Ke=:±b.
Les tangentes à Pellipse menées par les extrémités D, </ du petit axe sont donc parallèles au grand axe BE, et j' = o donnant
j:' = ±a, AT' = d=a, Ar' = QO,
les tangentes à Tellipse menées par les extrémités du grand axe sont parallèles au petit axe. Ces quatre tangentes forment un rectangle efgh (fig» 2Q, PL II) circonscrit à Tellipse ; la surface de ce rectangle est égale à ^ab,
PKOBLiMK II. — Par un point donné sur V ellipse faire passer une tangente {fig, ^g^PL II) .
La proportion x' la',*, a '. AT' donne une construction très-simple pour mener la tangente au point m' de Tellipse (i) , car en tirant une parallèle m'p' à Yjr, AT' sera une troisième proportionnelle aux lignes connues Ap\ AB ; la droite tm'Vl sera la tangente demandée.
La valeur de AT' ne dépendant que de Tabscisse af du point de tangence et du grand axe 2 a, si Ton décrivait des ellipses B^Ee', Bm'E/i' [fig. 33, PL II) sur le même grand axe, et si Ton tirait une perpendiculaire GH à cet axe , les tangentes aux points e , ^, /n', /i', etc., de ces ellipses rencontreraient la droite X a; en un même point T'. Or Tune de ces ellipses serait la circonférence BNEN' décrite sur le diamètre BE, et la tangente NT' à cette circonférence est perpendiculaire au rayon AN. Par conséquent, pour construire la tangente en un point m' d'une ellipse dont le grand axe BE est connu , il sufBt de tirer la perpendiculaire G /n'U à BE et de décrire un arc dé cercle du point A comme centre avec le rayon AB = a ; cet arc coupe GH en N ; on mène la perpendiculaire n'a au rayon AN, elle rencontre le prolongement Bar de AB en T', et la droite m'T' est la tangente demandée.
CoaoïxAiEV. — Il résulte de ce qui vient d'être démontré que les tangentes à f ellipse menées par les extrémités m* ^ n' [fig* 34 9 PL II) d'un diamètre quelconque sont parallèles*
En effet, les coordonnées de m' étant x'^ j'y celles de n' sont
Réciproquement y lorsque deux tangentes e^m'*f\ V n" ^ à l'ellipse sont parallèles, la droite qui joint les points m" /i" de tangence passe par le centre A de l'ellipse. Car» si cela n^était pas , le diamètre passant par n" et A ne passerait pas par m", il passerait par un point m par exemple, et la tangente h! n" g' serait parallèle à ^"/"; mais^'/' est
ii4 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
parallèle à h! ^ :nti pourrait donc mener du même point deux parallèles ^f\ e^jT à la droite h' g^j ce qui est absurde. THioRKME. — Selon qu'un point x** y^ est sur l'ellipse
(i) «'r'+ *'ar'=fl'^%
ou dans l'ellipse, ou hors de l'ellipse, la quantité à^y"^ -+- b^sb"^ — a» 6*
est nulle , ou négative, ou positive , et la réciproque est vraie.
En effet, lorsque ce point est sur l'ellipse (i), ses coordonnées satisfont à l'équation (i) de cette courbe; on a donc
<,y a 4. b^jc"^ ^a*b*=: o.
Qnand le point x'', y^ est dans Tellipsc, en n par exemple {/ig. 34» PI. II) y en menant une parallèle mnp à 9^ T, on a
A/? = J/', pn=/';
la quantité a^y"- -f- b^x"^ — a*b^ est négative, car le point M étonl sur l'ellipse (i), on a
or
Enfin lorsque le point x", j" est hors de Tellipse , a' — j:"' peut être positif, nul ou négatif; si j;'''<^ a% le point donné sera en m par exemple, et a* y* -f- ^* x"' — «' b^ sera positif, car j^'' sera plus gran J
que/7 M ; si x'''*< û% la quantité ny *H- b^x"* — a^ b^ sera positive, car elle est égale à a'/" -+- ( ar"'— a^) b\ et «"' — - a» n'est pas négatif. La proposition directe est donc démontrée. On en déduit faciiemenl que la réciproque est vraie.
pROÈLiMK. — L'équation d'une ellipse étant
mener une. tangente a cette ellipse par un point donné x"y j".
Les inconnues sont les coordonnées x', y' du point de tangence. La tangente devant passer par le point x*\ y\ son équation est de h» forme
Or le point .r', y doit se trouver sur celle droite et sur l'ellipse (i)j on a donc
Ces équations se réduisent à (2) flV^+ b^x''=iaH\
L'élimination de y' entre les équations (2) et ( 3 ) donne
La substitution de ces valeurs de x' dans IVquation (3) détermine
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. ii5
les valeurs corresponHantes dey', Lorscfue le point x'\y" est hors de l'ellipse, en e par exemple {fig, 34, P/. //), «'/''-+■ ^'J?"'— «'*' est positif; x' a deux valeurs réelles et inégales qui expriment les abscisses A// eC AP des points m* y m" de tangence ; les valeurs corres- |)ondantes à(ày\ déduites de Téqnation (3), sont réelles, ce qui détermine deux tangentes é m\ i m'\ Quand le point j:",j'' est sur Tellipse a^y'"^ -f- h-x""^ — «» ^' = o, les valeurs de x* sont réelles et égales; les équations (4) ^^ (^) donnent
*' = *", y'^fs
le point de tangence se confond avec le point donné , et les deux tangentes se réunissent en une seule. Enfin, lorsque le point x'\y" est dans Tellipse, fl'y'-h h" y'"^ — à*b^ est négatif; les valeurs de x' sont imaginaires; et, en effet, il est évident que, par un point pris dans Tellipse , on ne peut mener aucune tangente à cette courbe. Pour résoudre le problème géométriquement, on pourrait construire les valeurs A/?', AP de j/ ; Ic^s parallèles /?'/7i', Vm" à Taxe des j, couperaient Tellipse aux points de tangence demandés. ' Mais on peut parvenir plus simplement au même résultat, car chacune des équations (2} et (3) admettent une infinité de valeurs réelles des inconnues xf^y^ si Ton regarde ces inconnues comme les coordonnées x, j^ d'un point, Téquation (a) déterminera l'ellipse (i), et Téquation (3) donnera une droite GR ; les points de rencontre de cette droite avec l'ellipse seront les points dé tangence demandés. Selon que le point ^"yy*' sera hors de l'ellipse, ou sur Tellipse, ou dans Tellipse, la droite CR coupera la courbe en deux points, ou la touchera, ou ne la rencontrera pas.
Bet normaiet. — L'équation de la tangente t' m'V au point x\ y' de
l'ellipse
(i) fl'/'-h h^x^ = <i'h''
étant
a»^y -h *'xx' = «'*',
l'équation de la perpendiculaire H/w'rf à la tangente t'V sera
La perpendiculaire W m'dk la Ungente r ' w' T' est ce qu*on nomme une normale au point m\ et en tirant la parallèle m' n! à Y^, la droite N/n' est la longueur de la normale; p'I^ est la sous-normale
{fi^. 35 y PI. 21)^ L'équation (2) donne
