AN
d'où
Lorsque A ]> 6, AN et x' sont de mêmes signes, chaque valeur A// de x' détermine deux normales Nm', N/i'; j/ augmentant depuis zéro jusqu'à AB = a , AN augmente aussi depuis zéro jusqu'à
ii6 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
a = A /î ; de sorte que le pied N de la normale se ment de A
en w. Or N est le point commun à la normale m' h et à Taxe Xjc. Quand w' devient le sommet B , la normale «e confond avec BX; la position du point N devrait donc rester indéterminée , et cependant la formule (3) donne une valeur déterminée A/z de AN. Pour lever cette difficulté, que la véritable valeur de AN déduite de l'équation (2) étant
AN = ^ r-7— ^ >
l'hypothèse j' = o donne une valeur indéterminée de AN ; la valeur
a de AN doit être considérée comme une»limite qui exprime
que les points m\ n' (dont Tabscisse est x') approchant indéfiniment du sommet B, le point N des normales m' N, /z'N , approche indéfiniment du point fixe n , de sorte qu'on peut toujours prendre les points m', n' assez près de B pour que la distance
devienne moindre que toute quantité donnée.
Quand a = by l'ellipse devient une circonférence; AN =: o, l'équation (2) de la normale se réduit à >x' = xy-'; toutes les normales à la circonférence passent donc par le centre de cette courbe.
pROBLKMK. — Par un point x\ y" donné y mener une normale à l'ellipse dont V équation est
Si j/ et y désignent les coordonnées du point de l'ellipse où la normale est perpendiculaire à la tangente , Téquation de la normale menée par le point x", y" sera
le point x^y y' étant sur Tellipse et sur la normale, on aura
(3) fl'/»-f-^»x" = fl^*%
Or a, 6 , x"j f* sont des nombres donnés; les équations ( 3) et (4 ) détermineront donc les valeurs des inconnues x', y*. Soient
û' — ^» = r% a» x" 4- fe' j"» — c< = rf.
L'élimination de y entre les équations (3) et (4) donnera (5 ) 0*0?" — 2 fl'c'ar" x'^ -f- da^x^'-^- 2 û* c'x'V — a^x*'^z=z o.
L'équation (5 ) fournira quatre valeurs de x', et la substitution de ces valeurs dans l'équation (4) déterminera les valeurs correspondantes de y.
Pour chaque solution réelle des équations (4)» (S)> l'équation (2) donnera une normale qui passera par le point x"j y" . Le problème peut donc admettre quatre solutions. Le dernier terme de l'équation (5) étant toujours négatif, x' a au moins deux valeurs
réelles. Le problème admet donc toujours deux ou quatre solutions réelles, quand le point af* ^y" est sur l'axe des^, x" est nul; Téquatien (5) donne deux valeurs de x' égales à^zéro; cela détermine deux normales qui passent par le centre , et selon que les deux autres valeurs de af sont réelles ou imaginaires, on peut mener deux ou quatre normales. Lorsque le point xf\ y" est le centre, on a
:r'' = o, /'=:o; l'équation (5) donne
j/=±0, J:'=:±:fl;
les valeurs correspondantes dej^, déduites de Téquation (3), sont
r' = ± ^> 7' = ± o ; ce qui détermine les sommets B, E, D, dfjig. 35, PL II) y de Tellipse; et y en effet, les droites A6, AE, AD, A//, sont respectivement perpendiculaires aux tangentes à Tellipse menée par les points B, £, D, </.
Pour résoudre géométriquement le problème, on construira les courbes représentées par les équations (3), (4) [j%. 36 , PL //].
Les points communs à ces deux courbes seront les points de rencontre de la normale demandée avec Tellipse. Or l'équation (3) déterminera Fellipse (i) ; l'équation (4) étant de la forme
Bj/y-f-D/H-Ej/rrrO,
donnera une hyperbole qui passera par le centre A de l'ellipse. Selon que cette hyperbole coupera Tellipse en deux ou en quatre points , le problème adînettra deux ou quatre solutions.
Vropriètéft de Thyperbole rapportée à des ooordonnéet rectangulaire*.
— De» tangentes et des normales.
Les coordonnées X ,. y étant rectangulaires, l'équation de l'hyper* bole peut toujours se ramener à la forme
jr^ — /w' jt' = — b^ ;
l'hypothèse j^ = o donne
j? = dt - ; m
prenant donc AB = A B' = - [fig- 20, PLI)^ les points de rencontre de la courbe avec l'axe des x seront B et B'. Or j: = o donne
r = ±b si— I.
Ces valeurs imaginaires de y expriment que l'hyperbole ne rencontre
pas Taxe des y . Soit - = a , d'où /?/ = -, l'équation de la courbe
devient
(1) tf'j' -- ^' *» r= — ir» b\
On en déduit
(a) / = qp-v/ar»— rtS
(3) a: = ±:^v/PTT'-
ii8 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
Lorsque x<^a\ y est imaginaire, x = AB = a donne y = ziZO; X augmentant depuis a positif jusqu'à Tin fini positif, y est réel et augmente depuis zéro jusqu*à Tinfini; chaque valeur de x donne d«ux valeurs de y égales et de signes contraires. Les valeurs positives de x détenninent donc la branche hyperbolique MB m qui s'étend à l'infini dans le sens kx des x positifs. La courbe a la même forme du c6ié des X négatifs, car x ne changeant pas de signe, j^ ne change pas; et comme une droite ne peut pas rencontrer la courbe en plus de deux points , l^hyperbole ( i ) est composée de deux branches MB m , M' B' m qui présentent leur convexité à Taxe des^; ces branches s'étendent à rinfini du côté des x positifs et des x négatifs. L'hypothèse x =r ± a donnant / =c ±o, les parallèles AB^, A'B'^âX^ sont des tan* gentes \ l'hyperbole.
La discussion de l'équation (3) conduirait aux mêmes résultats. En effet, jr = donnant x = db a pour les plus petites valeurs de x, les parallèles à Taxe des j% menées par les points B, B' sont des tangentes à rhy|>erbole, et la droite BB'= ia est la plus petite de toutes les cordes qui passent par le centre A. Chaque valeur réelle de y donne deux valeurs réelles de x égales et de signes contraires; y augmentant depuis zéro jusqu'à l'infini , x augmente depuis =îz a jusqu'à it oo ; les valeurs positives de y déterminent donc les axes hyperboliques MB /n , M' B' m\ La courbe a la même forme du côté des j négatifs , car jr ne changeant pas de signe, x ne change pas; les valeurs négatives àà y donnent donc les arcs hyperboliques MB m, M'B'm^ L'hyperbole a donc la forme indiquée (y?^. 20, PL 1).
Pour conserver de l'analogie entre l'hyperbole et l'ellipse , on prend AC = AC^ = B ; les droites BB' = 2 a , CC' = nbse nomment les axes de l'hyperbole; ces axes sont réels, mais 2 b n'exprime plus la partie de l'axe des y compiîse dans la courbe, et a — b peut être positif, nul ou négatif.
En comparant l'équation a^y^ — b^x*= — a* b^ de l'hyperbole à l'équation a^ y* -h b* x' =z a^ b* de l'ellipse, on voit qu'elles ne diffèrent que par le signe de &^ On découvrira donc les propriétés de l'hyperbole qui correspondent à celles de l'ellipse, en changeant le signe de b^ dans les formules relatives à l'ellipse, ce qui revient à
remplacer b par b ^ — i. On en déduit que l'hyperbole jouit des propriétés suivantes : 1° l'équation (i) représente une hyperbole rapportée à son centre et à ses axes 2a, 2 6 ; 2? chaque valeur de x ou de y donnant deux valeurs correspondantes de j ou de x qui sont égales et de signes contraires, toute corde MN, MW parallèle à un des axes /Y, xX est divisée en deux parties égales par l'autre axe; ces axes sont donc des diamètres ; chacun d'eux divise la courbe en deux parties qui peuvent s'appliquer exactement l'une sur l'autre, et les parallèles e B A, e^ B' h! à l'axe des y sont des tangentes à l'hyperbole : les diamètres j Y, xX se coupent au centre A de la courbe; 3** tous les diamètres de Thyperbole sont des droites qui passent par le centre, et réciproquement toute droite menée par le centre est un diamètre; 4^ la distance MA d'un point quelconque x, j de rhyperbole au centime A est toujours une fonction irrationnelle de x.
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. iif
car
MA = i V(û*-+-^*)jr' — û'i';
lorsque x augmente, MA augmente : or la plas petite abscisse des différents points de l^hyperbole est a ; le minimum de MA est donc BA = /i : de sorte que BB' = 2 a est la plus petite de toutes les cordes qui passent par le centre A ; 5** quand a=: b y l'équation (i) se réduit k y^ — a?* r= — a' et Ton dit que Fhyperbole est équilatère : or l'hypothèse a = b réduit Fellipse à une circonférence ; 6® les carrés des ordonnées sont proportionnels auit produits des segments correspondants.
De* timgen|es et des normales. — L'équ^tion de l'hyperbole étant
l'équation de la tangente M'T' (fig. 87, PL II) au point 4:', y de rhyperbole (i)est
On a
(3) «y -+- A'«"= — a'b'; d'où
D'après les relations (3), Téquation (2) de la tangente peut se mettre sous l'une quelconque des deux formes
(4) a^f/ — 6'xy = — a» ^' , d'où.
La tangente (4) coupe l'axe des x en un point doni l'abscisse est
Ar= -r
Ainsi, pour construire la tangente au point M' de l'hyperbole, on mène la parallèle M' F à j^ Y ; la proportion AP' : AB : : AB : AT' détermine
Ar.
L'équation (2) démontre que Jes tangentes à Thyperbole menées par les extrémités d'un diamètre quelconque sont parallèles. Réciproquement, lorsque deux tangentes à Thyperbole sont parallèles, la droite qui joint les points de tangence passe par le centre de la courbe.
Lorsqije, par un point quelconque j/, y* de i'hypenbole, on mène le rayon AM' et la tangente M'T^, les équations de ces deux droites sont
j = 5x, y=z^'x-^ry on a
^ = ' , r = — ,, ^^' = -,, tang AM'r = " ^
L'abscisse 2' du point de tangence n'étant jamais nulle , Taogle
t20 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
AM' T' n*est droit qu'aux points B , E pour lesquels y = o. Les extrémités B, £ du grand axe 2a sont donc les seuls points de l'hyperbole où la tangente est perpendiculaire au rayon mené par le point de tangence. Ces deux points sont les sommets de Thyperbole. Quand a = ^, l'hyperbole est éqnilatère et les angles M'Aj:» M^V x sont compléments l'un de l'autre; les angles M'A:r, P'M'T' sont donc égaux.
Quand on mène par le centre A une parallèle D'</' à la tangente M' T'y les coordonnées des points de rencontre de cette droite avec l'hyperbole sont imaginaire*:. La droite D'(i' ne rencontre donc jamais l'hyperbole.
L'équation de l'hyperbole étant a^jr^ — ^' j?' = — a^b\ selon qu'un point j?", y est sur l'hyperbole, ou dans l'hyperbole, ou hors de l'hyperbole, la quantité fl'y — è*x'" -H a' b^ est nulle, ou négative, ou positive, et la réciproque est vraie.
Cette propriété se déduirait du même principe qui a été démontré pour l'ellipse en changeant le signe de b^\ mais on peut la démontrer directement. En effet , lorsque le point x", y est sur l'hyperbole , on a
^yi — b^x''' -h û»6» = o.
Quand le point x'\ y" est dans l'hyperbole , en n par exemple , on mène une parallèle M/iP à jY; on a
La quantité «'^"^ — b^x"^ -+- û' ^' est négative, car le point M étant sur l'hyperbole ^
û» X PM' — ^' x'" -h ^' ^' = o et r"^ < PM».
Lorsque le point x", y" est hors de l'hyperbole, a:"* — a* peut être positif, ou nul , ou négatif; si x"'> «% le point x\ y" sera en m , on aura
AP = ar", P/w=:y, et fl»/'' — i»»x"«-f-a»*»
sera positif, car /" > PM ' . Si or"' > a\ a^y"^ h- b^ ( a^ — x"') sera nécessairement positif : ce qui démontre la proposition directe. On en déduit facilement que la réciproque est vraie.
Pour mener une tangente et une normale à l'hyperbole
par un point donné ,«il suffit de changer le signe 6' dans les pro* blêmes analogues résolus pour l'ellipse.
propnétét de la parabole rapportée à det coordonnées reotangulaîret.
— Bet tangentes et des normales.
Les coordonnées x , y étant rectangulaires, l'équation de la parabole peut toujours se ramener à la forme
(i) y^=:^px.
On dit alors que la parabole est rapportée à son grand axe xlL et à son sommet A [Jig, 38 , PL II),
Lorsque x est positif et augmente depuis zéro jusqu'à l'infini , y est réel et augmente de la même manière ; chaque valeur do x détermine deux valeurs de r égales et de signes contraires , et x étant négatif,
y est imagioaire : la courbe a donc la forme indiquée ( PL 11^ fig, 38) .
Chacune des cordes M m , M' m' parallèles à Taxe des y est divisée en deux parties égales par l'axe des x. L*axe des x est donc un diamètre de la courbe , et l'axe des j touche la courbe au sommet A.
Si le plan/ A X tourne autour de Taxe Ajt, à l'instant où ky tombera sur AT la branche AM'M coïncidera avec la branche km' m. Le diamètre Xx diptse donc la parabole en deux parties égales,
La distance MA d'un point quelconque x , / de la parabole à l'origine A y est une fonction rationnelle de x, car MA = ^o:* -h 2/'x. Cette distance augmente avec x depuis zéro jusqu'à l'infini.
L'équation (i ) démontre que les carrés des ordonnées de la parabole sont proportionnels aux abscisses correspondantes. Réciproquement, lorsque les carrés des ordonnées d'une courbe sont proportionnels aux abscisses correspondantes, cette courbe est une parabole, car en nommant x^j-' les coordonnées d'un point donné de la courbe S, et X , j^ les coordonnées d'un point quelconque de cette courbe, on a
or — est un nombre connu a/?, l'équation de la courbe demandée
est donc
/»= ixpx.
Selon qu'un point x^, y est sur la parabole, y^ — 2/>x = o , ou dans la parabole ou hors de cette courbe y y""^ — 7.px" est nul, ou négatif, ou positif. En effet, si par un point quelconque M' de la courbe on tire une parallèle em' à Taxe des y^ on aura
P^''=2/7X AP'; donc
Fi<2/?XAP' et ?>'>2^XAF.
Mais quand le point donné est dans l'un des angles /AX, TAX, x" est négatif, y""^ — ^px" est donc positif. Ce qui démontre le principe énoncé. On en déduit que la réciproque est vraie.
PaoBLEME. — Déterminer la tangente au point x', y' de la para^ bole.
Pour déterminer la tangente au point x', y' de la parabole, on tire par ce point une sécante M' S qui rencontre la courbe en un point n'\ dont les coordonnées sont x'' et y'% l'équation de cette sécante est
/— 7' = û(x — x'); on a
d'où
A mesure que n'' approche de M', l'ordonnée jr'^ de y% la sécante approche de la tangente en M', et quand n" tombe en M', y" = y\ la sécante devient la tangente M'T' au point x'^ j' de la parabole ,
a se réduit à ^, \ réquation de cette tangente est donc
La relation/'* = 2px' réduit Téquation (2) à
(3) xy' = p(x-hx') oui» tangM'rx = -,-
Lorsque /' est positif et augmente depuis jséix) jusqu'à Finfini , la valeur de tangente M' T'x est positive et diminue depuis Tinfini jusqu'à o ; Taugle M' Vx diminue donc depuis 1 00 degrés jusqu'à zéro. La tangente au sommet A est donc une perpendiculaire jT à l*axe des x. Quand x' est négatif, la tangente prend la position m^V B > «t 1a ingénie BVx est négative ; Tangle BTx est donc obtus, et û longueur de jr^ augmentant depuis zéro jusqu'à l'infini , l'angle BT' x augmente depuis 1 00 degrés jusqu'à 200. On peut en conclure que la parabole MA/n présente sa concavité à Taxe Ax.
Lorsqu'on fait / = o , Téquation ( 3 ) donne
a? = — x'j donc
