hflfl' 4- bb' =. o

Telle est Téquation de condition qui existe dans cette hypothèse.

Quand même ces droites ne se couperaient pas, les conclusion» précédentes seraient toujours les mêmes, parce que l'on pourrait mener par Porigine des axes deux autres droites respectivement pa* i^llèiesaux proposées, et qui formeraient absolument avec ces axe» les mêmes angles que celles-ci.

Bquatî<m du plan.

Pour trouver une relation entre les coordonnées j:, /, 2 de tous le» points d'une surface plane, supposons qu'un plan soit engendré par le mouvement d'une droite tournant autour d'une autre droite, et faisant constamment avec cette dernière un angle de loo degrés, les équa* feions de la ligne fixe assujettie k passer par un point ^r', y, ^ seront

Celles de la droite mobile menée par le même point seront, en général ,

Mais comme cette droite doit être perpendiculaire à Tautre , on aura réquation de condition , d'après le problème précédent ,

1 -h flfl' -t- ^^' = o, a* et V étant constantes pour une même position de la perpendiculaire, mais variables en passant d'une position à une autre. Mettant ici pour a' et V leurs valeurs déduites des équations (9), on obtiendra

^ ' f ou ar + «^ -h ^a — (•«' -f- «y + bz')-=i o.

C'est là l'équation d'un plan mené d'une manière quelconque dan» l'espaèe, puisque a et ^ qui déterminent la position de la droite fixe, et les coordonnées j/, j', ^ sont tout à fait arbitraires. On peut dire aussi que cette équation est celle d'un plan perpendiculaire à une droite donnée par ses projections (/>) et passant par un point donné

Afin de rendre les calculs plus symétriques, on a coutume de donner à l'équation générale précédente du premier degré à trois indéterminées la forme

(i') Ax-hB/-hC«4-D = o,

auquel cas

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. i5i

Cependant, parmi les quatre constantes A, B, G , D, trois seulement sont nécessaires pour particulariser ce plan.

Dans les applications , on égale à Tunité une de ces constantes, ou bien on la détermine par des conditions particulières.

Il est évident qu*on aura les équations des deux traces du plan (i) sur celui desx^ et des xz, en faisant successivement

« = o et y = o.

Ces équations sont

AxH-B/H-D = o,

Ax-hCz -f-D=o,

et les deux traces se rencontrent sur l'axe des :r, en un point dont l'abscisse est

En effet, à ce point on a nécessairement à la fois

j- = o et 2 = o.

Si le plan ( i ' ) passait par Tongipe des coordonnées , on aurait nécessairement D = o ; car, lorsque x et jr sont nulles en même temps, la coordonnée z correspondante doit être nulle aussi, en vertu de rhypothèse.

Peoblàme I. -— Faire passer un plan par trois points donnés. Représentons par y, y, «', x"^ y', z", r'*, y, s^ les coordonnées des trois points, et soit

Ax-hB^-h C2 = D

l'équation du plan cherché. Pour que ce plan passe par les trois points, il faut que son équation soit satisfaite par les coordonnées de chacun d'eux ; donc on doit avoir

Aar'-f-B/-t-Ca' = D,

Ax"-ï-B/'-4-C2"=D,

Aa:*'4-By"-4-Cz''=D.

En divisant ces équations par D, les inconnues qu'elles contiendront seront les rapports de A, B, C à D, et elles feront connaître les valeurs de ces rapports. Désignons ces valeurs par A', B', C, on aura

et, par suite, Téquation (i) devient, en substituant et simplifiant,

A'j:-hB'j-f-C'z= I.

PRCBLiME II. — Par un point donné, mener un plan parallèle à un plan donné.

Soient

Ai?-f-Bjr-hC«-|-D = o

l'équation d'un plan donné , et

A'x -H Wy -h C'z -+- D'= o

celle d'un plan parallèle.

En général , les intersections de deux plans parallèles par un troisième sont parallèles entre elles ; par conséquent , les traces des deux plans sur le plan de xz doivent être parallèles, cl leurs traces sur le

i52 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

plan de y% doivent aussi être parallèles. Les équations de ces iraces sont

Ax-f-Cf -4- D = o, ii!x -+-C'z4-D'=o

sur le plan de xz ,

Bj -i- Cz H- D = G, B'j -4- Qlz -H D'= o

sur le plan de y%\ et pour que les deux premières soient parallèles entre elles et les deux dernières parallèles entre elles , on doit avoir

ou )>ien

Quand les plans rencontrent Taxe des z, ces conditions suffisent pour qu'ils soient parallèles ; car alors les traces du premier plan se coupent sur l'axe des z et sont parallèles à celles du second plan , lesquelles se coupent aussi sur cet axe. Or, quand deux angles ont leurs côtés parallèles , on sait que leurs plans sont parallèles.

Mais si les deux plans sont parallèles à Taxe des z, ce qui revient & supposer G == o et G' = o, la seule condition à remplir, c*est que les traces sur le plan de xy soient parallèles, ce qui exige

Ainsi , dans tous les cas, pour que deux plans soient parallèles, il fknt et il sufiit que les coefficients des variables x, /, z, dans les équations de CCS plans, soient proportionnels.

Supposons ces conditions remplies , et posons

on aura

puis, en mettant ces valeurs dans Téquation (2}, divisant par k et posant

D' it = D", il vient

Gette équation représente tous les plans parallèles à celui de Téqualion (i)t et elle ne dilTère de celle-ci que par Iç seul terme cqnstant D'\ Jusqu'ici D'' est resté indéterminé; mais, si l'on veut que le plan parallèle passe par un point donné dont les coordonnées soient x', y'^ z', on doit avoir

Ax'-hB/-4-Gz'-hP"=o,

et en retranchant cette équation de la précédente, on a pour le plan cherché

3i If point donné est l'origine , il faut faire

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. i53

et l'on a pour le plan parallèle ,

Ax -H Br -t- Cz = o.

PROBubiB m. — Faire passer un plan par un point et par une droite donnés.

Soient ^^f'^ z' les coordonnées du point ; soient

les équations de la droite donnée , et soit

(2) Ax-h B/-f- Cz -f- D = o

Téquation du plan cherché.

La condition de passer par le point donné est exprimée par

(3) Ax'-hB/-4-Cz'H-D = o.

Celle de contenir la droite exige qu^en mettant dans Téqualion du plan les valeurs de x et de 7 tirées des équations de cette droite y l'équation résultante soit vérifiée quelle que soit la coordonnée z. Or, par la substitution de ces valeurs , il vient

(Aa-4- B ^ -h C) a -F A a -*- B p -f- D = o,

et pour que cette égalité ait lieu sans aucune détermination particulière de 2, il faut poser

(4) Aa-f-BA-+-C = o,

(5) Aa-|-Bp-l-D=ro.

Toutes les conditions du problème sont donc renfermées dans les équations (3), (4) et (5).

En éliminant D entre (3) et (5) il vient

A(y— a)-t-B(/— p)-hC«'=o,

et en combinant cette équation avec (4) on trouve

*-*(x'-«)-a(/-p) -6(x'-«)-«(jr'-p)' Uais récjnation (2), si l'on en retranche l'équation (3), devient A(x — y) + B (^ — /) + C (a — «') = 0,

eten j substituant les valeurs de A. et B, on obtient, toutes réductions faites,

Telle est Téquation du plan cherché.

Problàmk IV. — Déterminer les projections de Vintcrsection de deux plans donnés*

Les équations de ces plans étant .. |Ax + Bj-+-Cz-f-D = o,

^'^ I A'x-f-B>H-C'z-HD'=o,

la question est réduite à attribuer aux indéterminées x , j, z les mêmes valeurs dans ces deux équations, vu que les coordonnées des points de l'intersection de deux plans sont communes aux équations de ces plans.

Ainsi» en éliminant, par exemple, z entre les rquations (i) on aura

i54 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

pour résultante Téqualion de la projection sur le plan xy de l'intersection proposée.

Pour trouver Tangle des deux plans (i), concevons par l'origine des coordonnées deux autres plans parallèles à ceux-ci, et deux droites perpendiculaires à chacun d'eux; ces nouveaux plans , qui auront pour équations

Ax + B^-t-Ca = o, h! x-\- B'j4-C'z = o,

et ces deux droites dont les projections seront données par les équations

jr=zax I y'=za!x |

z =2 bx ] z = b'x )

feront le même angle que les plans proposés; or on a aussi les relations

Si donc V désigne l'angle de ces deux plans , on aura

AA'+BB'-t-CC

cos V = , •

^i | A» 4- B* Vi -h A"4- B'»

Lorsque V = i oo degrés , les plans dont il s^agit sont perpendiculaires entre eux , et l'on a simplement

AA'-hBB'+CC'=o,

puisque dans ce cas cos Y = o.

Si les deux plans (i) devaient être parallèles, leurs traces sur chacun des plans coordonnés seraient aussi respectivement parallèles entre elles ; alors les traces du premier plan étant

Aj7-i-Bj-hD = o,

A^-h Cz-4-D==o,

et celles du second plan étant de même

il faut absolument, pour qu'elles soient parallèles deux à deux, que Ton ait

B"~B'' C'~'C' Ces relations donnent

La seconde équation (i) deviendra

(Aor-hBjH-Cs) -- -hD' = o,

ot sera celle d'un plan parallèle au premier. Si ce plan cherché devait en outre passer par un point dont les coordonnées fussent x',y\ z'f

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. i55

on aurait

(Ao/^- B/-+- Cz')^' 4- D'= o,

cl retranchaot ce résultat de Téquation précédente, il viendra, après

avoir divisé par —?

A(jr — x')-f-B(j-/)-|.C(z— «') = o.

PaoBLiiiB V. — Chercher ia plus courte distance d'un point j^f j\ z' àun plan tlonné.

L'expression de la plus courte distance d^un point y, j^, zf à un plan donné s'obtient par un procédé analogue à celui du problème précédent. En effet, les équations de la perpendiculaire cherchée sont

L*équation du plan donné est

IAx -f- B/ -h Cz H- D = o, ou A (x — x')4- B (r — rO-+- c (t - z') ■+- 1>' = o,

en Élisant

D' = D-f-Aj:'-+-B/ + C«';

et la plus courte distance u demandée a pour expression

« = \i{x — xj -*- (r — y y -4- (ï - zr)\

Substituant dans cette expression pour j — ^', 2 — z\ les valeurs (i), on aura

u = x' — X ^i-f- fl' -h b^.

Mais les conditions qui expriment que la droite (1) est perpendiculaire au plan (2) sont

par conséquent,

Il ne s*agit plus que dVliminer x' — x de ce résultat : or, de Téquation 1^2), on tire, au moyen de celles (i) ,