D' AD

"~ A -^aB^- 6C~ A»H-B' + C=' et, par suite,

D' D-h Ax'-f-By-f-Cz'

u zzz

PaoBLÂME VI. — Exprimer anafytiquemcnt qu'un plan est donné déposition dans l'espace lorsqu'il est assujetti à être perpendiculaire n une droite donnée de direction et passant par l'origine. Supposons d*abord que M {fi g. 48, PL II), pied de cette porpcndicu-

i56 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

lairc AM, ait pour coordonnées obliques jt, y ^ z, et que, par les extrémités de ces coordonnées, on ait mené des plans perpendiculaires à cette droite; la distance AM -rz p sera évidemment celle des deux plans extrêmes dont il s*agit. Il n'est pas moins évident que, si l'on désigne par a , p, 7 les angles que la droite /? fait avec les axes des x, jK« z, les trois parties AR, RS, SM, interceptées entre les plans que Ton considère, seront respectivement

X cos a , y cos p , 2 cos 7.

Ainsi on aura, pour la longueur de la perpendiculaire AM ,

X cos a -f- y cos P -4- Z cos 'l =: py

équation qui sera en même temps celle d'un plan perpendiculaire à la droite p , et passant par son extrémité M.

Maintenant admettons que les axes AX, AT, AZ soient perpendiculaires entre eux; dans ce cas, les coefficients cos a, cos p, cos 7 seront liés par Téquation

cos' a -+- cos' p -h cos' 7 t= i .

De là il est aisé d'avoir une expression très-simple du cosinus de l'angle foniié par deux plans rapportés à des coordonnées rectangles; car^ soient

X cos OL -\~ y cos p -h z cos 7 = /> ,

X cos a' -h ^ cos p' -f- z cos 7'= //,

les équations des deux plans donnés , les droites p , p* qui leur sont respectivement perpendiculaires) et qui passent par l'origine , formeront un angle égal à l'inclinaison de ces plans. Ainsi, appelant V cet angle, on aura

cos V = cos a cos a' 4- cos p cos P' -|- cos 7 cos 7'.

Si les plans étaient perpendiculaires entre eux , on aurait

V = 100® ou cosV = o, et alors

cos a cos a' -I- cos p cos p' + cos 7 COS7' = o.

Si, au contraire, ils étaient parallèles Tun à l'autre, on aurait

V == o ou cos V = I , et, par suite,

cos a cos a' -f- cos p cos p' -|- cos 7 cos 7' = I .

Dans les applications, le calcul est évidemment plus rapide quand on désigne par une seule lettre le cosinus d'un angle (*}.

(^) Dans notre Manuel à Vusa^e des Conducteurs et des Agents voyers, noui» avons démontré géométriquement les propriétés des courbes du second degré; uous en recommandons Tétudo à nos lecteurs.

GénératioB des turfaoe». — Les surfaces que nous traiterons doivent toujours être connues par leur génération ; c'est ainsi qu'un plan est déterminé par ses deux traces, et une sphère par son centre eUson rayon. Cette génération fournit les éléments qui les déterminent de la manière la plus simple et en même temps la plus commode pour les constructions.

Toute surface peut être considérée comme engendrée par le mouvement d'une ligne. Ainsi, on décrit un plan en faisant glisser une droite parallèlement à elle-même le long d'une seconde droite, ou bien en la faisant tourner perpendiculairement autour d'une droite fixe qu'elle rencontre constamment au même point.

La sphère est engendrée par la révolution d'un grand cercle qiri tourne autour de son diamètre.

Le cylindre est engendré par la révolution d'un rectangle qui tourne autour d'un de ses côtés comme axe.

Le cône est engendré par la révolution d'un triangle rci'tangle qui tourne autour d'un des côtés de l'angle droit comme axe.

La ligne dont le mouvement engendre une surface se nomme directrice; la ligne droite ou courbe qui sert à diriger le mouvement de la génératrice se nomme ligne directrice. Quand on se sert d'un plan pour diriger le mouvement, c'est un plan directeur; quand on emploie une surface, c'est une surface directrice.

Ainsi, la circonférence d'un grand cercle est la génératrice de fa sphère, et son diamètre en est la ligne directrice.

Un des côtés du rectangle générateur est la génératrice du cylindre; le côlé opposé de ce rectangle en est la ligne directrice, et les côtés perpendiculaires à ces deux premières lignes décrivent les bases du cylindre.

Enfin, l'hypoténuse du triangle rectangle est la génératrice de la surface du cône ; un des côtés de l'angle droit en est la directrice; le second côté de l'angle droit décrit la circonférence de la base du cône.

Bu plan tangeni et de la normale. — Une courbe peut être considérée comme un polygone dont les côtés sont infiniment petits ; si on les prolonge indéfiniment , on peut les considérer comme des tangentes à la courbe.

De même, une surface courbe peut être considérée comme un polyèdre dont les faces sont infiniment petites; si l'on suppose qu'une de ces faces soit prolongée indéfiniment, cette surface est un plan tangent.

Si, par le point de cont<ict, on trace tant de lignes qu'on voudra Sur

(*) Voir la première partie de la Géométrie descriptive dans le Manuel h Imsage des Canaidats aux emplois de Conducteur des Ponts et Chaussées et d'Agent vojrer, que noas avons publié Tan dernier. (Prix : 7 fr., chez Mallet-Bacukuer y libraire, et chez Paul DrpoNT, éditeur. )

i58 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

la surface, et qu'à partir de ce point on prenne des parties infiniment petites, elles seront toutes situées dans le plan tangent; et si on les considère prolongées indéfiniment, elles seront les tangentes aux différentes lignes courbes tracées sur la surface.

Ainsi, chacune de ces tangentes a une partie infiniment petite de sa directrice contenue dans le plan tangent, donc elle y sera tout entière. CTest-à-dire que le plan tangent à une surface contient les tangentes menées par le point de contact à toutes les lignes courbes qu'on peut tracer par ce point sur la surface.

On appelle normale la perpendiculaire au plan tangent menée par le point de contact.

Bet dilTèrenU genres de surfaoek — Il y a des surfaces qui sont d*un usage fréquent dans les arts de construction, et qu'on peut distribuer en trois classes, savoir: les surfaces développa b les , les surfaces de révolution, et les surfaces gauches,

Surftioe» dèveloppables. — Les surfaces développables sont engendrées par une droite qui se meut de manière que dans chacune de ses positions elle est dans un mêibe plan avec la position infiniment voisine.. On peut encore dire qu'une surface développable est décrite par une droite qui reste constamment tangente à une courbe. Monge donne à cette courbe le nom d'arête de rebroussement. II est bien entendu que la génératrice est toujours infinie. Parmi ces surfaces, nous devons distinguer le cylindre et le cône.

Le cylindre est engendré par une droite qui se meut parallèlement à elle-même en s'appuyant sur une courbe quelconque. Il résulte de cette génération qu'un plan parallèle à une génératrice ne peut couper la surface que suivant une ou plusieurs de ses génératrices.

Le cône est engendré par une droite qui passe constamment par un point fixe ou sommet, et qui se meut autour de ce point suivant une loi quelconque. Les deux parties du cône qui sont séparées par le sommet se nomment nappes, II résulte de cette génération qu'un plan mené par le sommet doit couper le cône suivant une ou plusieurs droites passant au sommet.

Les surfaces développables jouissent de cette propriété, c'est qu'on peut toujours étendre dans un plan, sans déchirure et sans plis, une portion d'une telle surface ; il suffit de faire tourner successivement <^hacun des éléments plans autour de la génératrice qui les sépare de l'élément voisin. De cette manière, on pourra amener un premier élément sur le plan du suivant, ceux-ci sur le plan du troisième, et ^insi de suite.

Dans toute surface développable, le plan tangent doit contenir une génératrice tout entière, et être tangent à la surface en chaque point de cette génératrice ; cette propriété se conçoit facilement par les considérations infinitésimales qui nous avons fait valoir précédemment. En effet, une génératrice donnée est toujours dans un même plan avec la génératrice voisine : or il est évident que ce plan prolongé indéfiniment en tous sens est tangent à la surface en chaque point de la génératrice donnée.

Surfaoet de révolution. — Les Surfaces de révolution sont engendrées par une ligne qui tourne autour d'un axe. On nomme plans méridiens les plans qui passent par l'axe, et méridiens les intersections

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. iSg

de ces plans avec la surface. Tous les méridiens sont égaux et peuvent être divisés chacun en deux parties égales. On appelle cercles parallèles, ou simplement parallèles, des cercles décrits par des lignes perpendiculaires sur Taxe, menées par les différents plans de la génératrice; les plans de ces parallèles sont eux-mêmes perpendiculaires à Taxe.

On distingue parmi les surfaces de révolution la sphère^ qui est engendrée par la révolution d'un grand cercle qui tourne autour de son diamètre, et la surface gauche, qui est décrite par une droite qui tourne autour d'un axe qui n^est pas situé avec elle dans un même plan. La plus courte distance de la génératrice à Taxe est la perpendiculaire menée à ces deux lignes dans Tespace, et cette perpendiculaire décrit par conséquent autour de Taxe le parallèle du moindre rayon. Ce parallèle porte le nom de gorge ou de collier.

Principe. — Dans toute surface de révolution y le plan tangent est perpendiculaire au méridien gui passe au point de contact.

En effet, d'après les considérations infinitésimales, le plan tangent contient la tangente au parallèle qui passe au point de contact ; or le plan de ce parallèle est perpendiculaire an plan méridien, et la tangente à ce parallèle est perpendiculaire au rayon qui est Tintersection des deux plans : donc cette tangente est perpendiculaire au plan méridien, et par suite le plan tangent Test aussi.

Bartmef ffauflhes. — Les surfaces gauches sont engendrées, comme nous Tavons dit, par une droite qui tourne autour d'un axe qui n'est pas situé avec elle dans un même plan. Ces surfaces ne sont pas développables.

On appelle en général surfaces réglées toutes les surfaces, soit gauches, soit développables, qui sont décrites par une droite.

Pour faire décrire une surface gauche à une droite, il faut l'assujettir à rencontrer constamment trois directrices données, et la surface se trouve ainsi déterminée. En effet, prenons le point M sur la première directrice A (^g. i , PI. ///), et considérons-le comme le sommet d'un cône engendré par une droite qui s'appuie sur la seconde B ; ce c6ne ira couper la troisième directrice C en un point P, et la droite MP étant tont entière sur ce cône devra rencontrer la ligne B en quelque point N, ce qui démontre qu'elle s'appuie sur les trois directrices aux points M, N, P. Si l'on conçoit que tous les points de la première directrice A soient pris pour sommets de différents cônes, la droite MNP, qui rencontrera toujours les trois directrices, changera continuellement de position, et décrira une surface qui, par ce moyen, est complètement déterminée.

Nous distinguerons quatre sortes principales de surfaces gauches :

I**. Uhyperboloïde à une nappe ^ engendré par une droite qui se meut sur trois droites non parallèles à un même plan ;

2®. Le paraboloïde hyperbolique ou plan gauche^ engendré par une droite qui se meut sur deux droites en restant toujours parallèle à un plan directeur;

3**. Le cylindre gauche^ engendré par une droite assujettie à demeurer parallèle à un plan directeur, et à s'appuyer sur deux courbes quelconques;

4**. Le conoïdcj engendré par une droite qui reste parallèle à u» plan directeur, et qui glisse sur une droite et sur une courbe.

i6o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

PROBliaKBS M& I.8S PI.AII8 TAWOBHTS AVZ SOHF Afltf

Problàmb I. '— Connaissant la trace horizontale d'un cylindre et la direction des génératrices, trouver le plan tangent en un point donné sur ce cylindre [fig» 2, P/. ///).

Soit EPD la trace horiau)nta1e d*un cylindre, c'est-à-dire la courbe sur laquelle la génératrice doit constamment s*appuyer. Puisque la direction des génératrices est donnée, on peut mener à la courbe EPD les tangentes MN, mn parallèles à la projection horizontale des génératrices, lesquelles sont la limite de la projection horizontale du cylindre , car il est évident que toutes les génératrices doivent se pro^ jeter entre ces génératrices. Menons les tangentes QR, ffr perpendiculaires à Xj^, et les droites RS, rs parallèles à la projection verticale des génératrices; elles seront aussi les limites de la projection verti- C4ile du cylindre. Enfin, soit G la projection horizontale donnée du point pris sur la surface du cylindre et par lequel doive être mené le plan tangent.

Si Ton conçoit la génératrice dans la position qu'elle doit avoir lorsqu'elle passe par le point C, comme cette génératrice est une ligne droite, elle sera tangente à la surface du cylindre, et par conséquent elle sera une des droites qui détermineront la position du plan tangent, et comme ses projections doivent être respectivement parallèles à MN ou à sa parallèle AB, et à RS ou à sa parallèle ab^ si par le point G on mène à AB une parallèle indéfinie £F, on aura la projection horizontale de la génératrice.

Pour avoir sa projection verticale, prolongeons la génératrice sur la surface cylindrique jusqu'à ce qu'elle rencontre le plan horizontal. Ge point de rencontre devra se trouver sur un des points de EF et sur un des points de la courbe EPD; donc, pour avoir la projection horizontale de ce point, il faut prolonger EF jusqu'à la rencontre avec la courbe EPD. On voit sur la figure que EF coupe EPD aux deux points D et E, qui seront les traces de deux génératrices. Si l'on pro-<^ jette ces deux points sur le plan vertical au moyen des perpendiculaires Eff, D^, et si, par les points d et <?, on mène les lignes ef^ df parallèles à RS ou à ab^ on aura les projections verticales de ces deux génératrices. Gomme, par chacune d'elles on peut faire passer un plan tangent, il est aisé de voir qu'il y aura autant de points de contact qu'il y aura de points d'intersection entre la droite EF et la rourbe EPD. Ainsi, pour chaque point de contact, on connaît les deux projections d'une des droites par lesquelles doit passer le plan tangent demandé. De plus, la projection verticale du point de contact au point G doit se trouver sur la droite Gc', menée du point € perpendiculaire sur X^ ; elle doit aussi se trouver sur df\ donc elle est au point c d'intersection de ces deux lignes, ou au point é intersection des deux droites ef et Gc'. Actuellement, pour chacun des deux points de contact, il faut trouver la deuxième droite qui détermine la position du plan tangent. On doit remarquer que le plan tangent au point Q,e touche la surface dans toute l'étendue de la génératrice qui passe par ce point ; il la touche donc en D, (jui est un point de cette génératrice, et, par conséquent, il doit passer par la

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i6i

tangente à la trace au point D. Par un raisonnement semblable, on trouvera que le plan tangent en Ce' doit passer par la tangente à la trace en E. Donc si par les deux points D et Ë on mène à la trace horizontale du cylindi*e les deux tangentes DK, £G prolongées jusqu à la rencontre de la ligne de terre X^ en deux points K et G., on aura sur le plan horizontal les traces des deux plans tangents.

Mais les points K et G sont en même temps des points des traces yerticales de ces mêmes plans, il ne reste donc plus à déterminer qu'un point de chacune d'elles.

Pour cela, concevons que le point à construire pour le premier des deux plans tangents soit celui dans lequel une horizontale dans le plan par le point de contact rencontre le plan vertical, on aura la projection horizontale de cette droite en menant par le point C une parallèle k la trace DK, qu'on prolongera jusqu'à la rencontre avec la ligne de terre, et Ton aura sa projection verticale en menant par le point c une horizontale indéfinie. Le point de rencontre du plan vertical avec l'horizontale se trouvera donc en même temps et sur la verticale If et sur l'horizontale ci : il sera au point i de leur intersection ; donc, si par les points / et K on mène une droite,. on aura la trace du premier plan tangent sur le plan vertical. Raisonnant de même pour le second plan tangent, on trouvera sa trace sur le plan vertical, en menant par le point C une droite CH parallèle à EG et prolongée jusqu'à la ligne Xy en un point H; on élèvera la verticale H h ; par le point </ on mènera une horizontale (/h qui coupera la verticale El h en un point h, et, joignant /iG, on aura la trace demandée.

PaoBLiMB II. — Connaissant la trace horizontale d'un cône et les projections du sommet, trouver le plan tangent en un point donné sur ia surface [fig 3, PL Ut),

Soient <7c^ la trace horizontale du cône, o et o' les projections du sommet, et /it , ira' les projections du point par où doit passer le plan tangent : les lignes oa^ ob déterminent les limites entre lesquelles se projettent toutes les génératrices de la surface dans le plan horizontal; de même, après avoir mené les tangentes dd\ ce' perpendicu- Isâres à xy^ si l'on mène les droites o'c% o' d'^ elles seront dans le plan vertical les limites des mêmes génératrices.

Pour déterminer les points de la surface qui correspondent à la projection verticale m', menons la droite a'/»' prolongée jusqu'à la rencontre de xj^ en ^ ', élevons e' e perpendiculaire à r/dans le plan horizontal; les droites oV, e^e sont les traces d'un plan perpendiculaire au plan vertical qui contient les points cherchés et qui passe par le sommet du cône. Ce plan ne peut rencontrer le cône que suivant des génératrices, et comme sa trace horizontale e' e rencontre la base acd du cône aux points e tlfy il est évident que les projections •horizontales de ces génératrices sont oe et o/*, et les points où ces deux lignes rencontrent la droite mm' sont les projections horizon^ taies met n des points cherchés.

Supposons qu'on veuille avoir le plan tangent au point (m, m'). On sait que ce plan doit contenir la génératrice (oe^ o' e') et être tangent au cône dans toute l'étendue de cette ligne; donc, si on mène laligne / a -tangente à la courbe au point e, et si l'on joint le point a au