I. II

point/?', où la génératrice perce le plan vertical, les traces du plan langent seront /oc et ap'.

De même, pour ayoir le plan tangent au point (W), on mène i« ligne tp tangente à la courbe au point/, et, si Ton joint le point p au point q 'y où la génératrice perce le plan yertical, les traces du second plan tangent seront /p, Pq\

Problèmb III. — Mener un plan tmngent à un cylindre par un point extérieur (fig. 4, PL III).

Soit EIFK la trace horizontale de la surface cylindrique ; soient AB et ab les projections horizontale et verticale de la droite à laquelle les génératrices doivent toujours être parallèles, C et r les projections du point donné. Par ce point, concevons une parallèle li la génératrice qui sera dans le plan tangent demandé, et les points dans lcst|uels elle coupera les plans de projections seront sur les trace» du plan tangent. Du point C menons donc une ligne CD parallèle à AB, et par le point c la ligne ed parallèle à ah^ et Ton aura ainsi le» deux projections de celte droite. Si Ton prolonge rc^ jusqu'à sa rencontre avec xjr en un point //, et que Ton projette le point ^ en D sur CD, le point D sera la rencontre de cette droite avec le plan horizontaU et par conscqueni il sera un point de la trace du plan tangent. Or la trace horizontale du plan tangent doit être tangente à U courbe ËIFK; menons donc du point D toutes les tangentes possibles DË,DF, etc., et nous aurons les traces horizontales des plans tangents qui peuvent passer par le point donné. Si par les points de contact on mène les lignes FH, EG parallèles à AB, on aura les projections horizontales des génératrices dans lesquelles les plans tangents touchent la surface cylindrique; enfin des points E et F si Ton abaisse des lignes Et et F/" perpendiculaires à xy et que par les points c^/ on mène eg^fh parallèles à nb, on aura les projections verticales r^ vijk de res génératrices ou de ces droites de contact.

Quant aux traces des plans tangents sur le plan vertical, on W*& déterminera en suivant la même marche que dans le problème I.

PaoBi^KME IV. — Mener nn plan tangent h un cône par un point extérieur (fig- 5, PL III).

Tout plan langent h un cône passe par le sommet et a pour trace horizontale une tangente à la hase. En conséquence, on joindra le point donné avec le sommet par une droite, puis du point où cette droite perce le plan horizontal on mènera des tangentes à la base du cône, lesquelles seront les traces horizontales des plans tangents demandés. Pour avoir leurs traces verticales, il faut joindre les points où cette droite perce le plan vertical avec les points où les traces horizontales des plans tangents i^ncontrent la ligne de terre.

Ainsi, sur l'épure, les projections du sommet sont (oyo') ; celles du ))oint donné sont (w m'); celles de la droite qui passe par ces deux points [om^o' m'), et les traces de cette droite sont en t et en »', et enfin les plans tangents sont tctit' eit^n' .

Le problème serait vérifié si Ton retombait sur les mêmes traces en cherchant les traces verticales p' et 7' des génératrices de contact, ainsi que les traces verticales r' et j' des parallèles menées par le point donné aux traces horizontales des deux plans tangents.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i63

PmoBLKMs V. — Mener à un cylindre un plan tangent parallèle à une droite donnée {fig. 6, PL III),

Pour qu'un plan tangent à un cylindre soit en même lem|>s parallèle à une droite donnée, il faut qu'il contienne une génératrice du cylindre et une parallèle k la droite donnée ; donc, si par un point de la droite on mène une parallèle anx génératrices, le plan tangent sera parallèle au plan déterminé par ces deux droites. En conséquence, pour construire les traces de ce dernier plan, on mènera parallèlement à sa trace horizontale des tangentes à la trace horizontale du cylindre, et ces tangentes seront les traces horizontales des plans tangents demandés. Quant aux traces verticales, elles seront faciles à construire, puisque l'on connaît les points où elles coupent la ligne de terre, et une droite à laquelle elles sont parallèles.

Ainsi, dans l'épure, le point (0,0') pris sur la droite donnée est celui par lequel on a mené une parallèle aux génératrices du cyKndre, et les traces du plan passant par ces deux lignes sont 7V et yv'. Parallèlement à la trace horizontale yv, on a mené les tangentes ra et /p; parallèlement à la trace verticale yv', on a mené les droites r'a et ^' p, et les plans r^xr'^ ^ p^' sont les plans tangents cherchés.

Problème VI. — Mener un plan tangent à un cône parallèlement à nne droite [fig^ 7, PL 111),

Le plan tangent, devant passer par le sommet du cône et être parallèle \ une droite, contient la parallèle menée à cette droite par le sommet. En conséquence, il sufBra , après avoir tracé les projections of , o' t' de cette parallèle, de faire absolument les mêmes constructions que dans le problème IV.

DS iulivoi.uTxosr.

Problème VII. — Étant donnés Vaxe et le méridien d*ane surface île révolution, mener le plan tangent à un point de la surface.

Nous supposons Taxe de révolution parallèle an plan vertical [fis- 8, Pi* /^); alors sa projection horizontale est un point unique A, et sa projection verticale est aa' perpendiculaire à xy. Si l'on mène par l'axe un plan parallèle au plan vertical, il coupera la surfacesuivant un méridien qui se projette en vraie grandeur sur le plan vertical : c'est la courbe génératrice donnée BCDEF. La projection horizontale de cette courbe se confond avec la trace horizontale du plan qui la contient, et celte trace est la droite mn parallèle à xy^ et passant par le point A. Sur la figure, la courbe BCOEF est une ellipse, et le cercle décrit du centre A avec le rayon AR est la projection horizontale du parallèle décrit par le petit axe, et soit G la projection horizontale donnée du point de contact.

I^ plan vertical dont Ui trace horizontale est la ligne indéfinie AG qui passe par le centre A et par le point de contact G, coupe la Surface de révolution suivant un méridien qui sera la génératrice passant par le point de contact; si, par le point G, on conçoit une verticale, elle rencontrera la génératrice et, par conséquent, la surface en un ou plusieurs points qui seront autant de points de contact, dont G sera la projection horizontale commune. On trouvera tons ces points

i64 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

de contact considérés dans le plan de la génératrice en |iortant AG sur xy de a en e, et ea menant par le point e une parallèle k aa' \ tous les points E, G dans lesquels cette droite coupera la courbe BCDEF, seront les intersections de la courbe génératrice avec la verticale menée par le point G, et indiqueront les hauteurs d*autant de points de contact au-dessus du plan horizontal.

Pour avoir les projections verticales de ces points de contact, on mènera par tous les points E, G des horizontales indéfinies qui, contiendront ces projections ; mais elles doivent aussi se trouver sur la perpendiculaire à xy menée par le point G : donc les intersections s^^ g' de cette droite avec les horizontales seront les projections des différents points de contact.

Actuellement, proposons-nous de trouver le plan tangent au point G g"'. Il doit contenir les deux tangentes menées en ce point, l*une au parallèle, Faulre au méridien; et par conséquent il est facile à déterminer. La tangente au ■ parallèle est horizontale, elle a pour proje<'tions les droites g^ k' et GK, dont Tune est parallèle à xy et 1 autre |)erpendiculaire à AG, et elle rencontre le plan vertical vn A', De là on conclut que la trace horizontale du plan tan|*entest parallèle à GK et que sa trace verticale passe au point X'.

Pour avoir la tangente au méridien du point de contact, on mène d'abord la tangente GH à la courbe BCDEF. Les droites mn et CH sont les projections de la tangente au point Crdu méridien kcy et cette tangente rencontre le plan horizontal au point 7. Or, quand on revient du méridien Ac au méridien A G, le point q décrit un arc de cercle autour du centre A et vient se placer en /i; donc le point h est le pied de la tangente menée par le point G au méridien de ce point ; donc la trace horizontale du plan tangent passe en A. On a vu plus haut qu^elle doit être parallèle à GK et que la trace verticale doit passer en X*' ; donc, en menant la parallèle  P à GK, et en tirant P /', le plan tangent sera A'P/r.

Si Ton demande le plan tangent au point G^, il y aura à faire des constructions analogues. Après les avoir effectuées, on remarquera que les deux tangentes au méridien AG doivent se couper k la même hauteur que les tangentes aux points Ce de la courbe BCDEF, et que, par suite, les plans tangents eux-mêmes se coupent suivant une horizontale située à cette hauteur.

Problàmb VIII. — Par un point donné hors d'une surface de révo^ lution, mener un plan tangent à cette surface y de manière que le contact ait lieu sur un parallèle donné.

Pour résoudre le problème, il faut remplacer la suiface de révolution par une autre surface qui la touche dans tous les points du parallèle donné, et pour laquelle la solution du problème soit facile; on peut choisir un cône ou une sphère, ce qui donne lieu k deux solutions.

Première mIuUob [fig, 9, PL IF), -« Si Ton imagine une tangente menée à un méridien par un point du parallèle donné, et qu'on fasse tourner cette tangente en même temps que le méridien autour de Taxe de révolution, on voit qu'elle engendre un cône qui contient le parallèle donné : il faut prouver qu'en chaque point de ce parallèle le plan rangent est le même pour le cône que pour la surface donnée.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i65

En effet, pour qu*un plan passant par un point du parallèle soit tangent au cône, il doit contenir la tangente à ce parallèle et une génératrice du cône; et ^ pour être tangent à la surface donnée, il doit contenir la tangente an même parallèle et la tangente au méridien, laquelle nVst autre chose que la génératrice du cône; donc les deux, plans tangents n'en font qu'un seul. Il ne s^agitdonc que de mener an plan tangent au cône par le point donné : c'est le problème II que nous avons résolu plus haut. Mais, pour le résoudre, on se sert de la droite qui passe par le sommet du cône et par le point donné; et comme le sommet peut être fort éloigné de l'axe, il sera bon d'apprendre à s'en passer. Pour cela, on devra remarquer que le plan horizontal mené par le point donné rencontre le cône suivant un cercle, et ses plans tangents suivant des tangentes à ce cercle; de sorte qu'en menant par le point donné deux tangentes à ce cercle et ensuite un plan par chacune de ces tangentes et par la génératrice correspondante du cône, on aura les deux plans tangents cherchés.

Nous allons indiquer les constructions à effectuer.

Soient d^ d\ les projections du point donne, bmc la projection horizontale et b'c' la projection verticale du parallèle donne; menons la tangente b' e' qui est la projection verticale de la génératrice du cône auxiliaire, et l'horizontale d' e' qui est la trace verticale du plan horizontal passant par le point donné ; déterminons les points c «t e' du point où la génératrice rencontre ce plan, et décrivons un cercle avec le rayon ae ; puis menons les tangentes dg^ dh^ ou, ce qui revient au même, sur ad comme diamètre décrivons une circonférence qui coupera la première aux points de contact ^ et A. Ces points sont les projections horizontales de deux points qui appartiennent aux génératrices de contact des plans tangents avec le cône; et, par suite, les projections de ces génératrices sont les droites a^, ah : il est évident alors que les points m et ;?, où ces droites coupent la pro jection horizontale du parallèle donné, sont les projections horizon taies des points de contact de la surface donnée avec les plans tangents demandés. Il est facile ensuite de trouver les projections ///' et«' de ces points.

Pour déterminer les plans tangents, nous ferons observer que la trace horizontale de la tangente projetée en ^'yw'est/?, et que, pendant que cette tangente engendre le cône, le point/? décrit autour du centre a un cercle qui coupe les droites ag et ah prolongées, en q et en r; d'où je conclus que les points g et r sont les traces horizontales des génératrices suivant lesquelles les plans tangents touchent le cône. Ces plans tangents doivent d'ailleurs contenir les tangentes horizontales projetées en dh et dg ; par conséquent, si nous construisons les traces verticales /', k' de ces tangentes, et que nous menions les lignes qtK et rp respectivement parallèles à ces tangentes, et que nous tirions enfin les droites a/' et p X*', les plani tangents demandés seront qai' et rpA',

Seconde «oluticm {^g, Q, PI, IF). — On peut, comme nous l'avons dît plus haut, se servir d'une sphère qui, en chaque point du parallèle donné, aura même plan tangent que la surface. Pour cela, on mène par un point de ce parallèle la tangente et la normale au raé-

i66 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

rîdien qui passe par ce point ; et la portion de la normale comprise entre Taxe et la surface sera le rayon de la sphère auxiliaire. En effet, si Ton fait tourner en même temps le cercle et le méridien autour de Taxe, le point qui leur est commun décrit le parallèle donné, et en chaque point de ce parallèle ils ont une tangente com-* mune. Or le plan tangent à chaque surface doit contenir cette tangente et en même temps la tangente au parallèle ; donc le plan tangent est le même pour les deux surfaces. La question est donc ramenée à mener par le point donné un plan qui touche la sphère sur le parallèle donné. Supposons que le cercle générateur de la sphère auxiliaire soit tracé dans le méridien. Pour avoir sa projection verticale, il sufEt de mener la normale 6'o', et de décrire un cercle du centre o' avec le rayon o' b'. Le plan vertical élevé par la droite ad contient le point donné dd' et un grand cercle de la sphère ; si de ce point on n^ène deux tangentes à ce cercle, le plan conduit par les deux points de contact perpendiculairement au plan des tangentes est celui qui, par son intersection avec le parallèle donné, détermine les points de contact dont il faut trouver les projections. Pour y parvenir, faisons tourner le plan des tangentes autour de Taxe pour Tamener à éti« parallèle au plan vertical; alors le cercle o' 6' est la projection verticale du grand cercle : on obtient celle du point donné dans sa nouvelle position en décrivant Tare d à et en menant Thorizontale d' i\ puis en menant la perpendiculaire $$' k xy; enfin, les projections des tangentes seront les droites 9'V et ^'V^ tangentes au cercle o' b\

Si le point donné avait réellement pour projections les points 9 et 9\ le plan conduit par la corde VV^ perpendiculaire au plan vertical de projection serait celui dont il faut prendre les intersections avec le parallèle donné; il est clair que ces intersections seraient projetées verticalement à la rencontre s' de VX'' avec b'c\ et horizontalement aux points de rencontre fA et y de la circonférence ab avec la ligne de projection fxc', de sorte que les points cherchés seraient projeté^ Tun en pi et c' et l'autre en v et e'. Il ne s'agit donc plus que de trouver ce que deviennent ces points quand on ramène le plan des tapgentes à sa véritable position : or, dans ce mouvement, la droite qui joint ces points ne cesse pas d*étre dans le parallèle donné, et d'être coupée perpendiculairement en son milieu par le plan des tangentes; donc la projection horizontale de cette droite s'obtient en menant la corde mn perpendiculaire à a</ et à la même distance du centre que p. On a ainsi les. projections horizontales mein des points de contact de la surface avec les plans cherches, et Ton en conclut ensuite les projections verticales m ' et n\

Les points de contact étant détermines, on aura recours au problème Vil pour mener les plans tangents, ou bien, comme ils doivent être aussi tangents à la sphère, on peut encore les obtenir en menant par le point dd^ deux plans respectivement perpendiculaires aux rayons(fl/w,o'w')et(fl/î,o'/î'). Ces constructions sont suffisamment indiquées surPépure.

PaoBLÈME IX. — Par un point donné hort dune sur/ace de répo* lotion f mener un plan qui soit tangent à cette surface sur un méridien donné [fig, lo, PL IT).

GÉOMÉTUIË DËSGRIFriVl!;. 167

Imaginons un cylindre engendré par une droite qui se meut sur le méridien donné, en restant toujoui*s perpendiculaire au plan du méridien : le plan tangent sera le même pour ces deux surfaces en chaque point du méridien. En eflfeti le plan tangent à la surface donnée contient la tangente au méridien et la tangente à un parallèle ; le plan langent au cylindre contient une génératrice au cylindre) et en même temps la tangente au méridien : or la génératrice étant perpendicU'» laire au plan du méridien, n'est autre chose que la tangente au parallèle; donc les deux plans tangents n*en font qu'un : ainsi il ne s'agit que de mener par le point donné des plans tangents au cylindre (problème III).

Soient donc det d' les projections du point donnéi et aq la trace du plan vertical qui renferme le méridien donné. Les gcoératriccs du cylindre auxiliaire devant être perpendiculaires à ce plan, les projec tions de la parallèle menée à ces génératrices par le point donné seront les lignes kg et d' g\ l'une perpendiculaire à aq et Tautre parallèle à xyi Le point g est la projection horizontale du point oCi cette parailèle rencontre le plan du méridien, et par lequel on doit mener des tangentes à ce méridien.

Si Ton fait tourner ce plan autour de l'axe de révolution pour le rendre parallèle au plan vertical, le point g se porte en e^ et comme le point d'où partent les tangentes ne change pas de hauteur, sa projection verticale sera en &' à la rencontre de d'g' avec la^ligne de projection et/. Par suite, les projections verticales des tangentes seront ^ b' et e'c\ et celles des points de contact seront b^ et c' ; d*où Ton conclut les projections horizontales b et c. Actuellement, pour ramener le méridien dans sa position primitive, il faut faire décrire aux points de contact des arcs horizontaux, et Ton obtiendra les pro« jecdons qui répondent à la véritable situation de ces points: celles du point b et b' sont m et m', celles du second c et c/ sont n et /l^ Quant aux plans tangents, leur détermination est facile puisqu'on connaît les points de ccmtact : c'est le problème VII.

PaOBLBHB X. — Mener parallèlement à une droite donnée un plan qui soit tangent à une surface de révolution sur un parallèle donné {fig* 1 1 , PI» If^)'

On pourra remplacer, comme dans les problèmes précédents, la surface de révolution par un cône ou par one sphère qui aient les mêmes plans tangents que cette surface dans tous les points du INuralièle donné»

VMmléffe ioUiUott. — Soit d'f^ la projection verticale du parallèle donné } la tangente d'p' sera la projection verticale de la génératrice d'un cône droit qui a même axe que la surface, et qui a avec elle les mêmes plans tangents dans toute l'étendue du parallèle i/V. Ainsi la question est ramenée à conduire des plans tangents à un cône parallèlement à la droite donnée. Pour cela, on mènera par le sommet une parallèle à la droite donnée, et ensuite par la trace horizontale de cette parallèle on mènera des tangentes à la trace horizontale du cône, ou bien on fera glisser le cône, sans le faire tourner, de façon que son sommet aille se placer en tel point de l'axe qu'on jugera commode. Après ce déplacement, les plans tangents seront encore parallèles à la

i68 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

droite doBDée , et les génératrices de contact ont les mêmes projections horizontales ; il suffit donc de déterminer ces projections pour que le problème soit résolu.

Supposons le sommet du cône au point (aa'), menons les droites af^ a'f respectivement parallèles à â:j et à d' p' : elles seront les projections de la génératrice; construisons la trace horizontaley de cette génératrice, et la base du cône sera le cercle décrit du centre a avec le rayon af. Soient bc et b* c* les projections de la droite donnée et at et a! t!, celles de la parallèle menée par le sommet du cône, et / la trace horizontale de cette parallèle ; menons les tangentes tg et //<, ou, ce qui revient au même, décrivons un cercle sur ta comme diamètre, lequel coupe la base du cône en ^ et A ; tirons les droites n^, ah : elles seront les projections horizontales des génératrices suivant lesquelles le cône est touché par des plans tangents parallèles à la droite donnée. Ces projections contiennent en effet celles des points de con * tact qui sont à déterminer sur le parallèle donné ; or ce parallèle a pour projection horizontale le cercle- ad : donc les intersections m et // sont les projections horizontales des points de contact cherchés, et, par suite, les projections verticales sont m' et /i'.

On déterminera les plans tangents en ces deux points au moyen des constructions indiquées dans le problème VII.

Beuxième lohition [Jig, 1 1, VL IV), — Avec la normale o^ d' on décrit un cercle qui sera la projection d*un cercle situé dans le plan vertical uvy et dont la rotation autour de Taxe produit une sphère tangente à la surface donnée dans toute l'étendue du parallèle d* e' . Supposons qu'on ait mené à cette sphère tous les plans tangents €}ui peuvent être parallèles à la droite donnée : le lieu de tous les points de contact sera un grand cercle perpendiculaire à cette droite, et, par conséquent, les points communs à ce grand cercle et au parallèle donné seront les points de contact de la surface de révolution avec les plans tangents demandes.

Par un point quelconque de Taxe imaginons une parallèle à la droite doimée, et soient at et a' t' les projections de cette parallèle ; faisons- la tourner autour de l'axe pour Famener à être parallèle au plan vertical, de manière que ses projections deviennent aO, a'^'. Alors le grand cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite donnée vient se projeter suivant le diamètre \'\" perpendiculaire à a' d', et les points qui lui sont communs avec le parallèle d^ e' sont projetés verticalement en «'et horizontalement en ft et y. En remettant a ô dans la position at^ la corde p prendra la position /n/i, à la même distance du centre a ; donc les points cherchés, placés dans leur véritable position, ont leurs projections horizontales en m et /t, d'où résultent les projections verticales m' etn'.

Les plans tangents peuvent se déterminer par la condition de passer aux points de contact et d'ctre perpendiculaires aux rayons menés de ces points au centre de la sphère.

Problème XL — Mener à une surface de révolution un plan tan- ^ent qui soit parallèle à une droite donnée^ et dont le contact soit sur un méridien donné (fig. 12, PL IF),

On substituera, comme dans le problème IX, à la surface de révo«

lu don un cylindre perpendiculaire au plan du méridien donné et ayant pour base ce méridien, puis on cherchera les plans tangents à ce cylindre parallèles à la droite donnée, lesquels seront les plans tangents cherchés.

Soient bcy l/c' les projections de la droite donnée; on pourra les remplacer par une droite atju't' qui lui est parallèle et qui passe par un poini de Taxe. Soient t la trace horizontale de cette parallèle, et tdnm perpendiculaire à la trace horizontale aq du plan méridien donné, dans lequel doivent se trouver les points de contact. La droite qui, dans l'espace, joint d au point (â , a'), est celle à laquelle doivent être parallèles les tangentes qu'il faut mener à ce méridien, et, pour cela, nous ferons tourner ce plan autour de l'axe, afin de l'amener à être parallèle au plan vertical : le point d vient alors en ^ et, par suite, la droite dont il s'agit vient se projeter ena' e' ; par conséquent, si l'on mène les tangentes/'/^^ g'r' parallèles à a'e'^ puis les droites/^/, g' g perpendiculaires à arj, les projections des points de contact seront/et/^, S^^s'y ^^ pour ramener ces points dans leur vraie position, il faut porter sur aq les projections horizon taies/* et g au moyen des arcs de cercle^/» et gn^ puis élever sur xy les perpendiculaires mm' et nn\ qu'on termine aux horizontales f* m* et g'n\

Les projections m et m\n et m' des points de contact étant trouvées, les plans tangents qoLÎ' et s^k* se déterminent facilement au moyen des tangentes/'/^' etg' r\ hoirie problème VIL

Phoblâme Xil. — Par une droite donnée ^ mener un plan tangent à la surface dune sphère donnée {fig. i3, PL IF).

Première •olntîon. — Soient [aa* ) les projections du centre de la sphère, bcd la projection horizontale du grand cercle, efei e'f les deux projections indéfinies de la droite donnée. Concevons, par le centre de la sphère, un plan perpendiculaire à la droite, et cherchons les projections g et g' du point de rencontre de la droite avec le plan. D'abord, il est évident que par la droite donnée on peut mener à la sphère deux plans tangents dont le premier la touchera d'un côté, le second la touchera de l'autre, ce qui déterminera deux points de contact différents dont il faut construire les projections.

Pour cela, si du centre de la sphère on conçoit une perpendiculaire abaissée sur chacun des deux plans tangents, chacune d'elles aboutira au point de contact de la surface de la sphère avec le plan correspondant, et elles seront toutes deux dans le plan perpendiculaire à la droite donnée; donc les deux points de contact seront dans la section de la sphère par le plan perpendiculaire, section qui sera la circonférence d'un des grands cercles de la sphère, et à laquelle seront tangentes les deux sections faites dans les plans tangents par le même plan. Si dans le plan perpendiculaire et par le centre de la sphère on conçoit une horizontale, dont on aura la projection verticale en menant l'horizontale a' h' y et dont on aura l'autre projection en abaissant sur e/ia. perpendiculaire a/<, et si l'on conçoit que le plan perpendiculaire tourne autour de cette horizontale comme charnière jusqu'à ce qu'il devienne lui-même horizontal, il est évident que sa section avec la surface de la sphère viendra se confondre avec la circonférence bcd, que les deux points de contact

seront alors sur cette circonféi'encey et que si Ton construisait le point f où la rencontre du plan perpendiculaire avec la droite donnée vient s'appliquer par ce mouvement, les tangentes /Vr, itl menées au cercle 6c£f détermineraient ces deux points de contact dans la |)osition où on les considère alors. Or il est facile de construire le point /, ou, ce qui revient au même, de trouver sa distance au point // ; car la projection horizontale de cette distance est gh^ et la différence des hauteurs verticales de ses extrémités est ^'^'^ ; donc, si Ton porte gh sur Thorizontale a' h' de g" en h\ Thypoténuse h' g' sera la grandeur de cette distance ; donc, portant g' h^ sur ^de h en 1, et menant les deux tangentes ir, id, les deux points de contact c et léseront détermi«nés dans la position qu'ils ont prise, lorsque le plan perpendiculaire a été rabattu sur le plan horizontal.

Actuellement, pour trouver leurs projections dans leur position primitive, il faut concevoir que le plan perpendiculaire retourne à s«t première position en tournant encore autour de Phorizontale ah C4>mme charnière, et qu*il entraîne avec lui le point /, les deux tan-» gentes ic^id prolongées jusqu'à ce qu'elles coupent ah en deux points k etk"^ et la corde cd qui coupera aussi la même droite ah en un |)oint n. II est évident que dans ce moment les points ky k" ^ n qui sont sur la charnière seront fixes et que les deux points de contact c et d décriront des arcs de cercle qui seront des plans perpendiculaires à la charnière, et dont on aura les projections horizontales «n abaissant des points c et c/ sur ah. les perpendiculaires indéfinies r/7, dq. Donc les projections horizontales des deux points de contact se trouveront sur les deux droites cp^ dq. Mais dans le mouvement rétrograde du plan perpendiculaire les deux tangentes ick" ^ ikd ne cessent pas de passer par les points de contact respectifs, et lorsque ce plan est parvenu dans sa position primitive, le point I se trouve de nouveau projeté en g^ et les deux tangentes sont projetées suivant les droites gk" ^ gk. Donc ces deux dernières droites doivent aussi contenir chacune la projection horizontale d* un des deux points de contact ; donc enfin les intersections de ces deux droites avec les droites respectives cp, dq détermineront les projections horizontales r et 1 des àeux points de contact qui se prouveront avoc le point n sur une mcme ligne droite.

Pour trouver les projections verticales dis mêmes points, on mènera d^abord sur xj- les perpendiculaires indéfinies rr\ ss^; puis, si l'on projette les points, ky k" en /'/"', et si par le point g' on mène les droites j^ k\ g^ k'"^ on aura les projections verticales des deux mêmes tangentes. Ces droites contiendront donc les projections des points de contact respectifs; donc les points r' et s' de leurs intersections avec les verticales rr' et ss ' seront les projections demandées.

Les projections horizontales et verticales des deux points de contact étant trouvées, pour construire sur le plan horizontal les traces des deux plans tangents, on concevra par chacun des points de contact une parallèle à la droite donnée. Ces droites seront dans les plans tangents, et Ton aura leur projection horizontale et verticale en me» nant ra, sv parallèles à efy et r' /i' et s' v' parallèles à e'f^. On construira sur le plan horizontal la trace t de la droite donnée, et les

GÉOMÉTEIR DESCRIPTIVE. 171

traces isy v des deux dernières droites, et les droites tu^ tç seront les traces des deux plans tangents.

Au lieu de concevoir par les points de contact de nouvelles lignes droites, on pourrait trouver les traces des deux tangentes gr^ gs qui rempliraient le même but.

M. Lefébure de Fourcy a rendu cette solution beaucoup plus élé* gante en faisant passer les deux plans de projection par le centre même de la sphère. Par là les deux projections de la sphère se sont confondues dans le même cercle, et les prolongements des lignes droites sont moins longs. Ptous n*avons séparé les deux projections que pour mettre plus de clarté dans Texposition.

Deunène folution. — Soient tf et a' (Jig, i/^, Pi. V) les deux pro* jections du centre de la sphère, {ah^ a' b') son rayon, 6eJla projection de son grand cercle horizontal, et ef^ e'f les projections de la droite donnée. Si Ton conçoit le plan du grand cercle horizontal prolongé jusqu'à ce qu'il cxiupe la droite donnée en uti certain point, on aura la projection verticale de ce plan en menant par le point a! rhorizontale indéfinie h* a! ^% le point g^ où cette horizontale coupera éf\ sera la projection verticale du point de rencontre du plan avec la droite donnée, et Ton aura la projection horizontale ^ de ce point en projetant g' sur ef. Gela posé, si, en prenant ce même point pour sommet, on conçoit une surface conique qui enveloppe la sphère et dont toutes les droites génératrices la touchent en un certain point, on aura les projections des deux droites génératrices horizontales de cette surface conique en menant par le point g les deux droites gCy ^//tangentes au cercle hcd^ et qui le toucheront en deux points c, d qu'il sera facile de déterminer. La surface conique touchera celle de la sphère dans la circonférence d'un cercle dont la droite cd sera le diamètre, dont le plan sera perpendiculaire à Taxe du cône et par conséquent vertical, et dont la projection horizontale sera la droite cd.

Si par la droite donnée on conçoit deux plans tangents à la surface conique, chacun d'eux la touchera suivant une de ces droites génératrices qui sera en même temps sur la surface conique et sur le plan; et, parce que cette droite génératrice touche aussi la surface de la sphère en un de ses points qui se trouve sur la circonférence du cercle projeté en cd^ il s'ensuit que ce point est en même temps sur la surface conique, sur le plan qui la touche, sur la surface de la sphère et sur la circonférence du cercle projeté en cd^ et qu'il est un point de contact commun à tous ces objets. D'où les deux plans tangents à la surface conique sont aussi tangents à la surface de la sphère, et sont ceux dont il faut déterminer la position. En second lieu , les points de contact avec la sphère, étant dans la circonférence du cercle projeté en cd^ seront eux-mêmes projetés quelque part sur cette droite; enfin, la droite qui passe par les deux points de contact, étant compiise dans le plan du même cercle, sera projetée elle même indéfiniment sur cd.

Actuellement, faisons pour le plan du grand cercle parallèle à celui de la projection verticale la même opération que nous venons de faire pour le plan du grand cercle horizontal. La projection horizontale de ce plan sera la droite bah indéfiniment parallèle à .r> ; le

|K>iat où il rencontre la droite donnée sera projeté horizon tatemenf à rintersection h des deux droites e/, bah^ et Ton aura sa projection verticale en projetant le point h sur e^f^ en h\ Si Ton conçoit une nouvelle surface conique dont le sommet soit en ce point de rencontre, et qui enveloppe la sphère comme la première, on aura les projections verticales des deux droites génératrices extrêmes de cette sur&ce en menant par le point A' au cercle ^' A- ' i* les tangentes h' /-% Â'/' qui la toucheront en des points A',/' que Ton déterminera. Cette seconde surface conique touchera celle de la sphère dans la circonférence d'un nouveau cercle dont k' i' sera le diamètre, et dont le plan qui sera perpendiculaire à celui de la projection verti* cale sera par conséquent projeté indéfiniment sur k' i*. La circonférence ae ce cercle passera aussi par les deux points de contact de la sphère avec les plans tangents demandés ; donc les projections verticales de ces deux points de contact seront quelque part sur k' i''^ donc aussi la droite qui joint ces deux points sera projetée sur la même droite k* i\

Ainsi la droite menée par les deux points de contact est projetée horizontalement sur cd et verticalement sur k' i' ; elle rencontre le plan du grand cercle horizontal en un point dont la projection verticale est à l'intersection n' de k' i' avec b' a* g^^t dont on aura la projection horizontale n en projetant le point n ' sur cd.

Concevons ensuite que le cercle du plan vertical projeté en ctl tourne autour de son diamètre horizontal comme charnière pour devenir lui-même horizontal, et qu'il entraîne avec lui dans son mouvement les deux points de contact par lesquels passe sa circonférence et la droite qui joint ces deux points. On construira ce cercle dans cette nouvelle position en décrivant sur cd comme diamètre le cercle cpdq ; et si Ton construisait la position que prend la droite des deux points de contact, elle couperait la circonférence cpdq en deux points qui les détermineraient sur cette circonférence considérée dans sa l>o8ition horizontale.- Or le point n de la droite des deux contacts, étant sur la charnière cd^ ne change pas de position dans le mouvement. Cette droite doit donc encore passer par ce point, lorsqu'elle est devenue horizontale. De plus, le point où elle rencontre le plan du grand cercle parallèle à la projection verticale, point dont la projection horizontale est à la rencontre o des deux droites cdy bah, et dont on aura la projection verticale t en projetant le point o sur k' i ', ce point, dans son mouvement autour de la charnière cdy décrit un quart de cercle vertical perpendiculaire à cd, et dont le rayon est la verticale o' t'-, donc, si l'on mène par le point o une perpendicnlaire à cd, et si sur cette fierpendiculaire on porte o^ t^ de o en /, le point / sera un de ceux de la droite des contacts, lorsqu'elle est devenue horizontale. Donc, si par les points n et t on mène une droite, ses deux points de rencontre/? et 7 avet^ la circonférence cpdq seront les deux points de contact considérés dans le plan vertical rabattu.

Pour avoir les projections horizontales des deux mêmes points dans leurs positions naturelles, il faut concevoir que le cercle cpdq retourne dans sa position primitive on tournant sur la même charnière, rr/. Dans ce mouvement, les deux points />, 7 décriront des

quarts de cercle dans des plans verticaux, perpendiculaires à cd^ et dont les projections horizontales seront les perpendiculaires pr et qs abaissées sur cd. Donc les projections horizontales des deux points de contact seront respectivement sur les droites pr et qs : or nous avons vu qu'elles doivent être aussi sur cd'j donc elles seront aux deux points de rencontre r et s. On aura les projections verticales r\ s' des deux mêmes points , en projetant les points r et ^ sur k' î\ ou, ce qui revient au même, en portant sur les verticales rr\ ss' à partir de l'horizontale b'a' g'^ r'' r' égale à pr et s" s* égale à qs.

Les projections horizontales et verticales des deux points de contact étant construites, on déterminera les traces des deux plans tangents, comme dans la première solution.

Cette seconde solution pourrait être aussi rendue plus concise en faisant passer les plans de projection par le centre de la sphère, ee qui réduit les deux projections à une même figure.

IMTERSSCnOM B^UIV CnrUHIlIiEi nW OOKB BT BlUfB SURFACB BB aAvOIilITIOlI PA& UlV PIiAlff. — TAMOBMTB A Uk OOimaE mODITBRSECTIOJr.

OonûdératloM généralet. •— La question à résoudre sera généralement comprise dans cet énoncé : Deux surfaces étant données, trou* ver les projections de la courbe d'intersection, et celles de la tangente en un point quelconque de cette courbe. Quand l'une des surfaces sera plane, il faudra en outre construire l'intersection dans ses vraies dimensions ; et quand l'une des surfaces sera développable, on cherchera le développement de cette surface.

Supposons, pour le premier cas, qu'il s'agisse de l'intersection d'une surface courbe et d'un plan. La génération de la surface étant connue , on considérera la ligne génératrice dans diverses positions successives, et pour chaque position on déterminera sa rencontre avec le plan ; on aura ainsi les projections d'autant de points qu'on voudra de l'intersection cherchée, et pour avoir les deux projections de cette intersection il n'y aura plus qu'à joindre par un trait continu les points trouvés sur chaque plan de projection.

Be la tangente. — Le plan tangent en un point d'une surface doit contenir les tangentes menées à ce point à toutes les courbes qu'on peut tracer par ce même point sur la surface. Il suit de là que, si une courbe est l'intersection d'une surface courbe avec un plan donné, il faudra, pour avoir la tangente en un point de cette courbe, construire le plan tangent à la surface au point dont il s'agit, et déterminer l'intersection de ce plan avec le plan donné. JEx en général, si la courbe est l'intersection de deux surfaces quelconques, on mènera par le point que l'on considère sur cette courbe, les plans tangents aux deux surfaces, et l'intersection de ces plans sera la tangente demandée.

On peut encore déterminer cette tangente par une autre considération. En effet, les normales menées aux deux surfaces par un point de leur intersection sont respectivement perpendiculaires aux deux plans qui seraient conduits par ce même point tangentielle^ ment à ces surfaces; donc la tangente cherchée, qui est l'intersection des plans tangents, est perpendiculaire au plan des deux nor-

maies; donc cette tangente s'obtiendra en menant par le point de contact une perpendiculaire an plan des normales.

Il est bon de remarquer, en outre, que les projections de la tangente à une courbe sont tangentes aux projections de cette courbe.

Phoblâmb I. — Intersection d'un cylindre perpendiculaire an plan horizontal par un plan peq>endiculaire au plan vertical [fig* 1 5, PL K) .

La résolution de ce problème comprend trois parties : i** déterminer les projections de la courbe d'intersection et celles d'une quelconque de ses tangentes; 2® construire cetle courbe en vraie grandeur ainsi que sa tangente; 3^ développer le cylindre sur nn plan , chercher ce que devient alors la courbe d'intersection et quelle est la tangente à cette nouvelle courbe.

lo, BètenBÎBier let projeotîoos de la courbe dlnteneetion et oéUet ^une «foeloonque de lea teageotet. — D'après Ténoncé, la trace hortaontale du cylindre peut être telle courbe que Ton voudra abc, . . et ses gêné* ratrices sont verticales ; la trace verticale du plan coupant est une droite quelconque qp\ et sa trace horizontale qp est une perpendiculaire à xf. Toute ligne tracée sur le cylindre a pour projection horizontale la courbe abc , et toute ligne située dans le plan pqp' a pour projection verticale la droite 9//. Gela posé, il est facile de déterminer les projections de la courbe d'intersection. En effet , prenons un point m à volonté sur abcj et menons mm" m' qui coupe p^q en m'y et qui soit perpendiculaire à xy. Il est clair que m' m'' est la pro* jection verticale de la génératrice qui passe en m , et que le point 011 cette génératrice rencontre le plan pqp^ a pour projections m et m\ cVst-à-dire que m et m' sout les projections d'un point de la courbe d'intersection. On peut répéter cette construction autant de fois qu'on voudra, et Ton obtiendra les projections d'autant de points,

La tangente en un quelconque de ces points est facile à déterminer ; cherchons la Ungente au point {m , m'). Le plan tangent au cylindre doit être vertical, et doit avoir pour trace horizontale la tangente mn à la base abc. Or la tangente cherchée est l'intersection de ce plan langent avec le plan donné ; donc les projections de cette tangente sont situées sur mn et sur qp\

2^. Mtemûncr U vraie grandeur de la oourbe. — Pour cela rabattons le pian pqp' sur un des plans de projection. Si on le fait tourner autour de qp\ on remarquera que le point [m^m') est situé dans l'espace à une distance de m' égale à mm" sur une perpendiculaire à qp\ de sorte qu'en élevant sur qp' une perpendiculaire m' M égale à mm'\ le point M appartiendra à la courbe cherchée. La même construction fera connaître autant de points qu'on voudra , et l'on aura ainsi la courbe ABG. Pour avoir la tangente à cette oourbe au point M , il sufQt d'observer que dans le rabattement la ligne qn se place sur 9N sans changer de grandeur et que le point n tombe sur N, de sorte que, si l'on joint NM, on a la tangente au point M.

Si l'on veut faire tourner le plan pqp' autour de sa trace horizon taie pq y on mène mr perpendiculaire à pq ; puis on imagine dans l'espace une droite entre r et le point (m , m' ) : cette droite est perpendiculaire à pq y et' elle est projetée en vraie grandeur sur qm'. Donc on prolongera mr d'une quantité rM' égale à qm' et le point

GÉOMÉTRIE DESCRIFTIVE. 17$

M' sera un point de ia courbe raliaUue sur le plan horiaontal. Nous répéterons la même construction pour tous les points. Quant à la tangente 9 il est clair qu'elle ne cesse pas de passer au point n y et par conséquent on l'obtient en tirant la droite /iM'.

%^. OéveloppeiiisQt — En considérant un cylindre comme un prisme d'une infinité de faces, on voit que si Ton développe cette surface sur un plan, toute section perpendiculaire aux arêtes devient une ligne droite qui reste perpendiculaire aux arêtes, et les longueurs comprises- &ur CCS arêtes entre la section perpendiculaire et la section oblique ne doivent pas changer. Par conséquent après avoir divisé la courbe abc en un certain nombre d'arcs ab^ bcy cd^ on prend sur une ligne droite les distances successives a^ , ^7 9 7^ > ^^ respectivement égales à ces arcs , et on élève par les points de division les perpendiculaires aa% ^^\ 77', 9^ égales aux portions d'arêtes dont les véritables longueurs sur le plan vertical sont en a" a! y b*'b'f d* n^^ la courbe ainsi produite par le développement du cylindre sera al ^' 7'^. . • Supposons que le point {m y m') soit devenu fi^ et remar«quons que dans le développement les éléments de la courbe et par conséquent les tangentes ne changent pas d'inclinaison à l'égard des arêtes. La tangente au point (//?, m') passe en n et l'angle de cette tangente avec l'arête du cylindre fait partie d'un triangle rectangle dont mn est la base et m" m' la hauteur ; donc si on prend pv = mm et si on joint |x' v , on aura la tangente à la nouvelle courbe a' p'7^

On peut remarquer que, quelle que soit la courbe abc , qu'elle soit un cercle ou toute autre courbe, il devra toujours arriver que les tangentes en m et M' aux courbes abc et A'fi'C coupent la trace pq au point /i. De là ce théorème général : Si l*on coupe un cjUndr€ quelconque par plusieurs plans passant par une droite perpendicu^ laire aux génératrices, et qu'on rabatte toutes (es sections sur un seul plan en les faisant tourner autour de cette droite, les tangentes à ces différentes courbes y aux points situés sur une perpendiculaire à la droite commune, iront rencontrer cette droite au même point.

PaoBLKME II. — Intersection d'un cylindre quelconque par un plan perpendiculaire à ses génératrices {fig* i6, PU ^).

Projection de la courbe d'iotertection. — Soit abc la trace horizon*

taie du cylindre. Déterminons les limites des projections horizontales et verticales de ce cylindre. Puisque le plan coupant est perpendiculaire aux génératrices , ses traces sont perpendiculaires aux projections do ces lignes. Soient donc qp et qp' ces traces. Pour trouver les projections de la courbe d'intersection , il faut d'abord déterminer les intersections des génératrices du cyhndre avec le plan pqp^> Imaginons un plan vertical passant par la génératrice {ae, a' e' ). La pro« jection horizontale de l'intersection de ce plan avec pqp^ est ae , et l'on aura un point de la projection verticale en élevant hh^ perpendiculaire ixxy-y pour avoir un second point, menons par un point quelconque (2,2') de la trace qp' une parallèle [zo,z'o') à pq , il est évident que le point de rencontre o de zo avec ae est la projection horizontale d'un point commun aux deux plans : sa projection verticale sera donc o', ei h' o' sera celle de la droite suivant laquelle se coupent les deux plans. La rencontre de a' e' avec h' o' fera con-

naître la projection verticale ^ d'un point de la section droite, et par saite la projection horizontale e. En menant comme ci -dessus une suite de plans verticaux par différentes génétratrices , ils couperont le plan pqp' suivant des droites parallèles entres elles et dont les projections seront parallèles k h'o\ Les intersections de ces parallèles avec les projections verticales des génératrices détermineront des points aussi rapprochés qu^on voudra qui appartiendront aux projections de la courbe cherchée.

Pour déterminer la tangente à la section droite au point (m, m'\ menons par le pied k de la génératrice qui contient le point de tangence la ligne /r tangente à la base abc\ cette droite sera la trace horizontale du plan tangent au cylindre. Or la tnngente demandée est située à la fois dans ce plan et dans le plan pqj/ ; donc le point r où kr rencontre qp appartient à cette tangente; donc mr est la projection horizontale de la tangente : pour avoir In projection verticale , il suffira d'abaisser r/ perpendiculaire à xy et de tirer la droite wV.

Dètennmer la vraie grandeur de la courbe d'interteotion. — Faisons

tourner le plan pqp' autour de pq pour le rabattre sur le plan horizontal ; puisque mn est perpendiculaire à /d^, la droite qui dans l'espace joint le point (mm') au point n est aussi perpendiculaire à pqy elle le sera donc encore après le rabattement ; donc si Ton construit la vraie grandeur de cette droite et qu'on la porte sur /zM, prolongement de mn , le point M appartiendra à la courbe rabattue. On répétera cette construction tant qu'on voudra et l'on déterminera ainsi la courbe EFG. Quant à la tangente, il est clair qu'elle passe toujours au point r, et que par conséquent elle sera la droite rM après le rabattement.

SéYeloppement. — Il est évident que si l'on développe le cylindre sur un plan , la section droite EFG devient une ligne droite , et les distances comprises sur les génératrices entre cette courbe et la base abc ne changent pas. Or il est facile de trouver ces distances puisqu'on connaît leurs projections; donc après avoir pris sur une droite quelconque des intervalles ctp , ^, etc., respectivement égaux aux arcs EF, FG, on élèvera les perpendiculaires c A, epB, 7 C, etc., égales à ces distances, et l'on déterminera ainsi la courbe ABCK qui provient de abc par l'effet du développement.

Supposons que l'ordonnée tilL corresponde à la projection mk et qu'on demande la tangente au point K de la courbe ABC ; on remarquera qu'il y a dans l'espace un triangle rectangle dont la projection est kmr^ dont l'hypoténuse est kr et dont un cAté est égal à r M et un autre égal à (x K. Or la tangente demandée doit faire avec |itK le même angle que kr fait avec la génératrice du cylindre : c'est pourquoi l'on prendra fi p = M r, et pK sera la tangente demandée. pBOBLixE III. — Section d'un cône par un plan vertical [fig* 17,