PL

La projection verticale de la section se confond avec la trace verticale du plan coupant pqp\ Soient o//t, o* m' les projections d'une génératrice quelconque du cône, on trouvera facilement les projections V2, /i' de son intersection avec le plan pqp'» On répétera la

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i^^

«éme construction pour autant de génératrices qu*on voudra , et on obtiendra ainsi la projection horizontale e/g de la section co* nique.

Mais comme le cône représenté dans Tépure est droit et à base circulaire, que son axe est vertical et que les- deux génératrices parallèles au plan vertical sont projetées l'une en (oa, </a') et l'autre en (od, o'if ), on pourra obtenir les points de la courbe e/g en coupant le cône par une suite de plans horizontaux. Soit A' i' la trace horizontale d'ua tel plan : ce plan coupe le cône suivant un cercle dont la projection horizontale est un cercle décrit du centre o sur un diamètre égal à h' /'. Ce même plan coupe le plan pqp' suivant une droite perpendiculaire au plan vertical , et dont on obtient facilement la projection horizontale /i/i| ; or il est clair que les points n^nx, où cette droite rencontre le cercle , appartiennent à la projection horizonUile de la section conique.

D'autres sections horizontales feront trouver d'autres points , et il est à remarquer que les points situés sur la ligne 00"^ perpendiculaire k xf^ peuvent être donnés par cette construction , tandis qu'ils échappent à la première.

Pour avoir la tangente au point n de la courbe e/gy menons à la base du cône la tangente mr, qui est la trace horizontale du plan tangent au point (/i, n*) de la section conique. Le point r, où mr Hpq se rencontrent, iippartient à la tangente qui serait menée à la section conique an point {n^ /i'), et, par conséquent, la droite nr est la projection de cette tangente, ou, ce qui est la même chose, elle esc la tangente à la projection efg de la section conique.

Bétenniner la vraie yiandenr de la oonrbe d'înteneotùm. — On peut rabattre la courbe sur le plan horizontal ou sur le plan vertical , les constructions sont les mêmes que pour le problème précédent. Dans l'exemple que représente la figure, la courbe sera une ellipse dont le grand axe est e'^\ On trouverait le petit axe en cherchant les points de la courbe qui ont leur projection verticale située au milieu de e^A'f ce qui ne peut ofïrir aucune difficulté.

Bêveloppenient.^ Le cône étant droit, supposons qu'on Touvre suivant l'arête correspondante au point a et qu'on le développe sur un plan. Tous les points de la base abc sont à une distance du sommet égale à o' a\ ils doivent donc se placer sur un arc de cercle décrit avec le rayon o' a*j et intercepter entre eux, sur cet arc, des parties de même longueur que sur la circonférence ahc. Soit a^a' un arc décrit avec le rayon a>a = 0' a\ Supposons que la circonférence abc soit divisée en arcs assez petits pour qu'on puisse les considérer comme des lignes droites , portons ces parties sur l'arc a^, nous obtiendrons des arcs ap, Pv^etc, qui seront sensiblement égaux aux arcsa^, bcy etc., et il est évident que les génératrices correspondiautes aux points a, b^e viendront coïncider par l'effet du développement avec oia, «t^, o»^.

Les points de la section conique situés sur ces génératrices ne doivent pas changer de distances par rapport au sommet; mais ces distances sont données sur les génératrices entre le point o' et les parallèles menées à ajr par les projections e\ f\ g' \ en conséquence, si Ton porte ces distances en»)!, «»f » <^X> ^^ déterminera la courbe tfx L la

i^S GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

en latpielle se transforme la section conique après que le côn« est déreloppé.

La tangente s*obtient en remarquant, comme pour le cylindre, que cfaaqueélément de la section conique faittoufours le mémeangleavecla génératrice contiguë avant et après le développement. Supposons que le point V corresponde au point (n, n') de la section conique. La tangente en ce point est Vhypoténuse d*un triangle rectangle dont un côté est mr^ dont l'autre côté qui est projeté en m/i a pour vraie grandeur pv ; donc, si Ton élève à fAv la perpendiculaire fij» égale à mr^ et si Ton joint le point v à p, la droite vp sera tangente à la nouvelle

courbe «'fX*

Si le cône n'était pas droit » pour avoir son développement on pourrait partager la base abc en parties très^petites que Ton pourrait considérer comme des lignes droites, et le cône comme une pyramide. On connaîtrait facilement les trois côtés de chacune des fiicei , et Ton pourrait les construire successivement : leur ensemble serait le développement du cône. Les distances du sommet du cône aux difTénents points de la section conique étant ainsi connues, il serait facile de décrire la courbe produite dans le développement par cette section. Quanta la tangente, on la déterminerait en construisant sur piv un triangle obliquangle dont un côté est pip égal à mr, et dont le troisième côté se conclurait de ses deux projections nr ein'g,

Paoblàhs IV. — Intersection d'un cône et d^mn pian , dans le cas ou la courbe d'intersection a des asymptotes (fig, l8 y PL Kl).

Le plan coupant pqp' étant toujours perpendiculaire au plan ver» tical , si nous supposons le plan mm' o' parallèle au plan coupant et passant par le sommet du cône, ce plan coupera le cône suivant deux génératrices (om, (/m') (oi?, cl m'). Les génératrices très-voisînes de oelles-ci sont encore rencontrées par le plan pqp\ mais elles le sont à des distances très-grandes, de sorte que celles qui sont dans le plan mm' o' doivent être considérées comme rencontrées en des points infiniment éloignés. De là on conclut que la section conique doit avoir des branches infinies. Nous répéterons ici toutes les constructions du problème précédent, et à Tinspection de Tépure on verra que le cône est un cône droit, et que la section est une hvperbole. Mais on n*en a fait le rabattement que sor le plan vertical, et Ton n'a développé cpie la nappe inférieure du cône.

Il s'agît maintenant de déterminer les asymptotes de la courbe, on, ce qni revient au même , tes tangentes aux points infiniment éloignés, lesquels sont situés sur les génératrices parallèles au plan pqp'> Or» si l'on imagine qu'une tangente quelconque ait été menée à la courbe et que le point de contact s'éloigne indéfiniment, cette tangente à la limite deviendra une asymptote. Par conséquent , on peut déterminer une asymptote au moyen des mêmes constructions que toute antre tangente.

La tangente en un point quelconque de la section conique étant rintersèction du plan pqp' avec le plan tangent mené au cône suivant la génératrice qui contient le point de contact , je mène à la base abc les tangentes mr et ns qui seront les traces liorizontales des plans tangents passant par les génératrices sur lesquelles sont les points de la

courbe situés à rinfini , et les points r et ^ où ces traces rencontrent pq^ appartiennent aux asymptotes; donc, pour les obtenir, on doit joindre ces points avec les points de contact , c'est-à-dire qu'il faut mener par les points r et^ des parallèles aux génératrices ( om, o' m!) {oMy c/nt') : par conséquent, en menant les droites /r, et ss^ parallèles à OUI et oA , on a les projections horizontales des asymptotes. On déterminera facilement les asymptotes RRi, SSi à la courbe rabattue en ▼raie grandeur, ainsi que les asymptotes dp , Ga à la courbe qui est produite , dans le développement , par la section conique.

PmOBijàHK V. — Section d'une surface de révolution par un plan. On appliquera les constructions à la surface gauche de révolution

ifig. 19, ^'- ^/)-

Si l'on mène une suite de plans horizontaux aussi rapprochés qu'on voudra, chacun d'eux coupera le plan donné suivant une droite^ et la surface de révolution suivant un cercle. Les points communs à la droite et au cercle appartiendront à l'intersection cherchée.

Prenons une surface gauche de révolution, ainsi que le prescrit l'énoncé. L'axe étant vertical, sa projection horizontale est le point o, et sa projection verticale est la ligne o'o'^ La génératrice, prise dans la position où elle est parallèle au plan vertical, a pour projections ab^ a' b' ou bien ac, a' c'\ enfin, le plan coupant /^^/i' est perpendiculaire an plan vertical. Selon la position de ce plan, la courbe d'intersection peut être une ellipse, une hyperbole ou une parabole : il sera toujours facile de reconnaître laquelle de ces trois courbes on doit avoir. On pourra transporter la génératrice de la sur&ce gauche parallèlement à elle-même en un point de Taxe, au point projeté en a\ par exeoaple ; on supposera alors qu'elle décrit un cône autour de l'axe, et Ton mènera par le sommet un plan parallèle au plan donné, et selon que ce plan parallèle coupe le cône en un point, ou suivant deux droites, ou suivant une seule, on juge que ia section cherchée est une ellipse, une hyperbole ou une parabole; dans l'épure, c'est une ellipse qu'on doit trouver.

Menons or parallèle à xjy la droite projetée en or et o'^ divisera la courbe cherchée en deux parties symétriques, et elle est l'axe de la courbe. Nous allons déterminer les points de la courbe qui sont situés sur cette droite et qu'on nomme sommets. Imaginons que ia ligne (or^o'q) engendre un cône droit autour de l'axe de révolution. Chaque sommet décrit un parallèle de la surface gauche et se transporte successivement sur toutes les génératrices de cette surface. Quand il est sur la génératrice [ab^ ^'b*)^ la ligne (or^o'q) doit être dans le plan conduit par cette génératrice et par le point (o,^). Or, en menant le parallèle (oz, o'z') à [abya'b'\ on trouve pour ce plan la trace horizontale bz qui rencontre en « et p le cercle décrit avec le rayon or: d'où l'on conclut que la ligne (or^o'g), en tournant, peut occuper, dans ce plan, deux situations différentes, les* quelles ont pour projections horizontales ou et or. Elle coupe alors la génératrice {ab^ a' b') en des points projetés en ^ et <?; et ces points sont les positions que les sommets cherchés doivent occuper sur cette génératrice. Il n'y a donc plus qu'à faire tourner ou et ov pour ramener les points « et f» en r; et alors deie iront prendre po-

t8o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

sition enf et g^ qui seront les projections horizontales des sommets cherchés, et Ton en conclura les projections verticales f eig\

C*est entre ces deux sommets que doivent être menés les plans horizontaux qui servent à trouver les points de la courbe, et les constructions n'offrent aucune difficulté. Soit, par exemple, Â' l' la trace verticale d'un de ces plans, on aura facilement les projections horizontales hhx et I de ses intersections avec le plan pqp'ei avec la droite (abjo' h') : donc, en décrivant une circonférence du centre o avec le rayon o/, on aura la projection horizontale du cercle suivant lequel le plan auxiliaire coupe la surface gauche. Les points >^,A|, où cette cir* conférence est rencontrée par la ligne AA,, appartiennent à la projec'tion horizontale de la courbe cherchée.

Pour avoir la tangente en un point quelconque [h^h'\ on déter* mine la trace horizontale st du plan tangent à la surface ; le point r, où cette trace coupe 777, appartient à la tangente, et en joignant th^ on a la projection horizontale de cette tangente.

Quant au rabattement, il se trouve comme dans les problèmes précédents; c^est la courbe FHGHf.

Problèmb VI. — Section de la surface gauche de répolntion par un plan dans le cas où celte section est une hyperbole, — Détermination des asymptotes (fig. 20, PL FI),

Nous avons indiqué dans le problème précédent le moyen de reconnaître si la section est une hyperbole; nous allons supposer que ce cas est celui de Tépure 20, et que les données ont la même disposition que dans la précédente. La droite [or^o' q) sera encore an axe de la courbe d'intersection, et nous déterminerons de la même manière les sommets (/,/') et [g^g^). C'est en dehors de ces points qu'on devra mener les plans horizontaux dont on se sert pour trouver des points de la courbe.

Mais nous devons déterminer les asymptotes, c'est-à-dire les tangentes dont le contact est à Tinlini. Un point quelconque de la courbe résulte de Tintersection du plan donné pqp' avec une génératrice de la surface, et Ton obtient la tangente en prenant Tîntersec • lion du plan tangent en ce point avec le phn pqp'. Ces constructions sont donc celles qu'il faut appliquer aux points situés à Tinfini. Or, ces points étant donnés par les génératrices qui sont parallèles au plan pqp', il faut d'abord déterminer ces lignes. La construction employée pour reconnaître que la section est une hyperbole, facilite cette détermination. Supposons que le point projeté en o et a' soit le sommet du cône décrit autour de Taxe par une parallèle à la gênératrice [ab, a b ), et que a' m' m soit le plan mené par le sommet parallèlement h pqp' : c'est parce que ce plan coupe le cône suivant deux droites, qu'on est assuré que le plan donné rencontre la surface gauche suivant une hyperbole.

Traçons la base du cône et déterminons les projections horizontales om et on de ces deux droites. Toutes les génératrices de la surface gauche doivent avoir leurs parallèles sur le cône : donc celles qui sont parallèles au phu pqp\ sont parallèles aux deux droites dont il s'agit; de sorte que, pour avoir leurs projections horizontales, il suffit de mener des tangentes au collier respectivement parallèles à om et on.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i8i

Dès qire l'on connaît sur la surface gauche les génératrices qui sont rencontrées par le plan pqp' en des points infiniment éloignés , il faut , pour avoir les asymptotes , appliquer à ces points les constructions générales qui servent à trouver une tangente quelconque. Les deux génératrices dont les projections sont parallèles à om doivent être con* sidérées comme concourantes à l'infini, et les points h et i où elles percent le plan horisontal déterminent la trace horizontale hi du plan langent au point de concours. La tangente \k l'hyperbole en ce point , ou plutôt l'une des asymptotes cherchées, est l'intersection de ce plan tangent avec le plan/iç'/?'; donc le point s^ où hi rencontre pq^ appartient à cette asymptote. Pour la décrire , il suffira de joindre le point s avec le point de contact , c'est*à-dire qu'il faut mener une parallèle aux génératrices qui contiennent ce point : donc la droite $5xt parallèle à 0J7t 9 est la projection horizontale de l'une de ces asymptotes. Or trouvera semblablement rr, pour celle de l'autre asymptote. Les pro* jecdons verticales de ces lighes sont sur qp' \ leurs rabattements sont SS, et TT,.

Inteneotioni det turfaflet ooarbet entre elles.

Nous adopterons un énoncé général et applicable à deux surfaces quelconques pour le problème dont l'objet est de déterminer les projections des intersections des surfaces courbes; et quoique l'épure qui servira à notre démonstration présente le cas particulier de deux surfaces coniques, à bases circulaires et à axes verticaux , il faut néanmoins toujours concevoir que les surfaces dont il s'agit peuvent être, chacune en particulier, tout autres qu'une surface conique.

PaoBLÀMB oÉm&EAL. — Lcs générations de deux surfaces courbes étant connues, et toutes les données qui fixent ces générations étant déterminées sur les plans de projections^ construire les projections de la courbe à double courbure, suivant laquelle les deux surfaces se coupent {fig. 21 y PI, yil).

Concevons une suite de plans indéfinis horizontaux , la projection verticale de chacun d'eux sera une droite horizontale indéfinie ; et comme on peut en mener autant qu'on voudra, nous supposerons que dans la projection verticale on ait mené tant de droites horizontales ee^f e^e, EE' qu'on ait voulu , et que la suite de ces droites soit la projection verticale de la suite des plans qu'on a imaginés. On fera successivement pour chacun de ces plans, et par rapport à la droite eé qui en est la projection , l'opération que nous allons indiquer pour celui d'entre eux qui est projeté en EE'.

Le plan EE' coupe la première surface suivant une ceruine courbe qu'il sera toujours possible de construire si l'on connaît la génératrice de cette surface ; car cette courbe d'intersection est la suite des points dans lesquels le plan ££' est coupé par la génératrice dans toutes ses positions. Cette courbe, étant plane et horizontale, aura sa projection horizontale égale, semblable à elle-même et placée de la même manière; il sera donc possible de construire cette projection, et nous supposerons que ce soit FGHIK.

Le même plan coupera aussi la seconde surface suivant une autre courbe plane horizontale, dont il sera aussi toujours possible de

ï8a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

construire la projection horizontale y et nous supposerons que cette projection soit la courbe FOGPN.

Il peut arriver que les deux courbes dans lesquelles le même plan lEE/ coupe les deux surfaces, se coupent elles-mêmes ou qu'elles ne se coupent pas : si elles ne se coupent pas , quelque prolongées qu'elles soient , ce sera une preuve qu a la hauteur du plan EE' les deux surfaces n'ont aucun point de commun; mais si ces deux courbes d'in* tersections se coupent , elles le feront en un certain nombre de points qui seront communs aux deux surfaces, et qui seront par conséquent autant de points de l'intersection demandée. En effet, puisque les points d'intersection sont sur les deux courbes à la fois, il est évident qu'ils sont aussi sur les deux surfaces.

Or les projections horizontales des points dans lesquels se coupent les deux courbes doivent se trouver et sur la projection de la pre> mière et sur la projection de la seconde ; donc les deux points F et G de rencontre des deux courbes FGHIK et'FOGPN seront les projections horizontales d^autant de points de l'intersection demandée de» deux surfaces courbes. Pour avoir les projections verticales des mêmes points, il faut observer qu'ils sont tous compris dans le plan vertical £E^ Donc, si l'on projette les points F et G sur EE' en/, g, etc., on aura les projections verticales des mêmes points.

Si pour toutes les autres horizontales ee'^ ée on fait la même opération que nous venons de faire pour EE', on trouvera pour chacune d'elles dans la projection horizontale une suite de nouveaux point» F, G, etc., et dans la projection verticale une suite de nouveaux points/, ^, etc. Puis si par tous les points F, etc.^ on fait passer une branche de courbe, par tous les points G^ etc., une autre branche de courbe, et ainsi de suite, l'assemblage de toutes ces branches, qui pourront quelquefois rentrer l'une dans l'autre, sera la projection horizontale de l'intersection des deux surfaces ; de même, si par tons les point» /, etc., on fait passer une branche , et par tous les points ^, etc., une autre branche , et ainsi de suite, l'assemblage de toutes ces branches, qui pourront aussi quelquefois rentrer l'une dans l'autre, sera la projection verticale de l'intersection demandée.

La méthode que nous venons d'exposer est générale', même en supposant qu'on ait choisi pour système de plans coupants une suite de plans horizontaux. Nous allons voir que dans certains cas le choi« du système de plans coupants n'est pas indiflérent, qu'on peut quelquefois le faire tel^ qu'il en résulte des constructions plus faciles, et même qu'il peut être avantageux, au lieu d*un système de plans, d'employer une suite de surfaces courbes qui ne dift'èrent entre elle» que par une de leurs dimensions.

Pour construire l'intersection de deux surfaces de révolution doDt les axes sont verticaux, le système de plans le plus avantageux est une suite de plans horizontaux , car chacun des plans coupe les deux surfaces en des circonférences de cercles dont les centres sont sur les axes respectifs , dont les rayons sont égaux aux ordonnées des courbes génératrices prises à la hauteur du plan coupant, et dont les projections horizontales sont des cercles connus de grandeur et de position. Dans ee cas, tous les points de la projection horizontale

GÉOMÉTRIE OËSGAIPTIVE. i83

de riotenéctioQ des deux surfaces se trouvent donc par«des intersections d'arcs de cercle. On comprend que si les surfaces de révolution «valent leurs axes parallèles entre eux , mais non verticaux , il fau-* drait changer de plans de projections et les choisir de manière que Tun d'entre eux fût perpendiculaire aux axe$.

S'il s'agissait de construire Tiittersection de deux surfaces coniques à bases quelconques et dont les traces sur le plan horizontal fussent données ou construites, le système de plans horizontaux entraînerait dans des opérations qui seraient trop longues. Car chacun des plans horizontaux couperait les deux surfaces dans des courbes qui seraient bien, à la vérité» semblables aux traces des surfaces respectives, ipais ces courbes ne seraient point égales aux traces : il faudrait les construire par points, chacune en particulier, tandis que si, après avoir mené une droite par les sommets donnés des deux cônes , on emploie le système de plans qui passent par cette droite, chacun de ces plans coupera les deux surfaces coniques en quatre droites; et ces droites, qui seront dans le même plan , se couperont indépendamment des sommets en quatre points qui seront sur Tintersection des deux surfaces. Dans ce cas , chacun des points de la projection horizontale de rintersection sera donc construit par l'intersection de deux lignes droites.

Pour deux surfaces cylindriques à bases quelconques et dont les génératrices seraient inclinées diversement , le système des plans horizontaux ne serait pas le plus favorable que Ton pourrait choisir. Chacun de ces plans couperait, à la vérité, les deux surfaces dans des courl>es semblables et égales à leurs traces respectives , nqais les courbes qui ne correspondraient pas verticalement aux traces, auraient pour projections des courbes qui seraient distantes des traces elles-mêmes et qu'il faudrait construire par points. Si l'on choisit le système de plans parallèles en même temps aux génératrices des deux surface^, chacun de ces plans coupera les deux surfaces dans des lignes droites, lesquelles se couperont en des points qui appartiendront à l'intersection des deux surfaces. Par là, les points de la projection borij&ontale seront construits par des intersections de lignes droites. Au reste , ceci n'est que la conséquence nécessaire de ce que nous avons dit pour le cas de deux surfaces coniques.

Enfin, pour deux surfaces de révolution dont les axes seraient dans le même plan , mais non parallèles entre eux , ce ne serait plus un système de plans qu'il faudrait choisir, ce serait un système de surfaces sphériques qui auraient leur centre commun au point de rencontre des deux axes : car chacune des surfaces sphériques couperait les deux surfaces de révolution dans les circonférences de deux cercles qui auraient leurs centres sur les axes respectifs, et dont les plans seraient perpendiculaires au plan mené par les deux axes ; et les points d'intersection de ces deux circonférences , qui seraient en même temps et sur la surface sphérique et sur les deux surfaces de révolution, appartiendraient à l'intersection demandée. Ainsi les points de la projection de l'intersection seraient construits par les rencontres de cercles et de lignes droites. Dans ce cas, la position la plus avantageuse des deux plans de projection est que l'un

i84 GÉOMÉtRIE DESCRIPTIVE.

soit perpendiculaire à un des axes , et que l'antre soit parallèle ans deux axes. Ces observation;! , par rapport aux sur&ces courbes qui se rencontrent le plus fréquemment, suflisent pour foire voir la manière dont la méthode générale doit être employée y et comment par la connaissance de la génération des surfaces courbes on peut choisir Tespèce de section qui doit donner des constructious plus faciles.

Second p&OBLiME général. — Par un point pris à volonté sur l'in» tersection de deux surfaces courbes ^ mener la tangente à cette inter^ section.

Solution. — Le point pris à volonté sur Tintersection des deux surfaces courbes se trouve en même temps et sur Tune et sur Vautre de ces surfaces. Si donc par ce point considéré sur la première surface on mène à cette surface un plan tangent, ce plan touchera Fintersection dans le point que Ton considère. Pareillement^ si par le même point considéré sur la seconde surface on mène à cette surface rm plan tangent, ce plan touchera l'intersection dans le point que Ton considère. Les deux plans tangents toucheront donc l'intersection dans le même point qui sera en même temps un de leurs points communs, et par conséquent un de ceux de la droite dans laquelle ils se coupent; donc l'intersection des deux plans tangents sera la tangente demandée.

Ce problème donne lieu à l'observation suivante : La projection dé la tangente d'une courbe à double courbure est elle-même tangente à la projection de la courbe, et son point de contact est la projectionr de celui de la courbe à double courbure.

En effet, si par tous les points de la courbe à double courbure on conçoit des perpendiculaires abaissées sur un des plans de projection, par exemple sur le plan horizontal, toutes ces perpendiculaires seront sur une surface cylindrique verticale qui sera coupée par le plan 'horizontal dans la projection même de la courbe. De même, si par tous les points de la tangente à la courbe à double courbure on conçoit des verticales abaissées, elles seront dans un plan vertical qui sera coupé par le plan horizontal dans la projection même de la tangente. Or la surface cylindrique et le plan vertical se touchent évidemment dans toute l'étendue de la verticale abaissée du point de contact, et qui leur est commune; donc les intersections de la surface cylindrique et du plan par le plan horizontal se toucheront dans un point qui sera l'intersection de la droite du contact de la surface cylindrique et du plan vertical. Donc enfin les projections d'une courbe à double courbure et d'une de ses tangentes se touchent en un point qui est la projection du point de contact de la courbe.

PaOBLiuE III. — Construire l'intersection de deux sur/aces coniques h bases circulaires et dont les axes sont parallèles entre eux {fig> 22, PI. Vil).

Nous ne répéterons pas tout ce que nous avons dit pour la solution de ce problème dans le premier problème général : nous observerons seulement que, dans le cas dont il s'agit, on a mené une suite de plans par la droite qui joint les deux sommets; chacun de ces plans coupe les cônes suivant des droites dout les intei*scctioDS feront con-^

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i85

flâitre des points de la courbe demandée. Supposons que les données soient celles de la fi^. 22^ et convenons de nommer petit cône celui dont la base est moindre, et grand cône celui dont la base est grande. Soit c le point où la droite {ah ^a' h') qui joint les sommets perce le plan horizontal : les traces horissontales des plans auxiliaires passeront toutes par ce point. Menons à la petite base les tangentes cd^ ce qui coupent la grande en /, ^, hy i. Tous les plans auxiliaires dont les traces horizontales sont comprises entre ces tangentes, comme Test m?, rencontrent les deux cônes et déterminent des points communs à ces surfaces; mais les plans dont les traces sont en dehors des deux tan* gentes n'en peuvent pas déterminer. Il suit de là que l'intersection demandée se compose de deux parties distinctes : Tune située sur la portion du grand cône correspondante à ÏKie/fnrgy et l'autre sur la portion correspondante à hi. Dans l'épure on ne s'est occupé que de la première.

Les points aei b étant les projections horizontales des sommets, les droites ari et bfy ae et bg sont celles des génératrices suivant lesquelles les cônes sont coupés par les plans auxiliaires qui ont pour traces cf et cg : par conséquent, les points dé rencontre* r et u appartiennent à la projection horizontale de la courbe d'intersection des deux cônes. De plus, on remarquera que cette courbe, étant limitée sur le grand cône aux génératrices projetées sur bf et bg, doit avoir ces droites pour tangentes, et que, par suite, la projection horizontale de cette courbe a elle-même bfei bg pour tangentes.

Si maintenant on considère un plan auxiliaire quelconque, tel que celui dont la trace cm coupe les bases en X*, /, ///, il détermine dans les cônes les génératrices qui ont pour projections horizontales aky al, bm\ donc les intersections n et o de bm avec aA et al seront des points de la projection horizontale de la courbe cherchée. En répétant ces constructions, on obtient cette projection aussi exactement qu'on veut.

L'antre projection s'obtient en construisant les projections verticales des génératrices déterminées par les plans auxiliaires. Ainsi, en faisant les projections verticales a' d* et b '/\ a' e elb' g', on obtient les points r' et u' qui correspondent à / et 11, et dans lesquels la projection verticale de la courbe a pour tangentes b*f' et b' g'. Ainsi encore les projections a' k\ a'/', b'm' font connaître les points «'et a'.

La tangente à la courbe est facile à trouver. Soit le point (/?»/>') déterminé par l'intersection des génératrices projetées en aq et br : on mènera aux bases les tangentes qs et rs, qui sont les traces des plans tangents aux cônes au point que l'on considère, puis on joindra le point s où elles se coupent avec le point p\ la droite sp sera la projection horizontale de la tangente au point {p^p')' pour en avoir la projection verticale, on abaissera ss' perpendiculaire à ary, et l'on joindra s'p\

Si Ton applique ces consirnctions aux points {t,t^) et (a,a'), on retombe sur les droites (bt,b' t') et (^11,6' a'), ainsi que cela doit être.

Il peut arriver qu'il soit nécessaire de construire sur le dcvclop-

i86 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

pemeot de Tune des surfaces coniques, peut-être même sur celui de chacune d'eUes, TefTet de leur mutuelle inlersectiou : on opérerait alors, pour avoir le développement de chaque cône» comme il a été démontré précédemment.

PaoBLàHV IV. -^ Construire i'intersectioM de deujç surfaces coniques h hases quelconques (fig. 23, PL FU),

Soient k^a les projections du sommet de la première surface, CGDG' sa trace donnée sur le plan horisontal, B , ^ les projections du sommet de la seconde, et EHFH' sa trace sur le plan horizontal. On concevra, comme pour le problème précédent, par les deux sommets une droite dont on aura les projections en menant les droites indéfinies ABa6, et dont on construira facilement la trace I sur le plan horiiontal. Par cette droite» on concevra une série de plans qui couperont chacun les deux surfaces coniques dans le système de plusieurs lignes droites, et celles de ces lignes droites qui seront dans le même plan détermineront par leurs rencontres autant de points de l'intersection dos deux surfaces. Les traces horizontales de tous les plans de cette série passeront nécessairement par le point I, et parce que la position de ces plans est d'ailleurs arbitraire, on pourra donc se donner arbitrairement leurs traces en menant par le point I tant de droites IK qu'on voudra, par chacune desquelles on fera Topération que nous allons décrire pour une seule d'entre elles.

La trace Kl de chacun des plans de la série coupera la trace horizontale de la première surface conique en des points G, G', qui seront aussi les traces horizontales des lignes droites suivant lesquelles le plan coupe la surface conique : ainsi AG, AG' seront les projections horizontales indéfinies de ces droites, et Ton aura les projections verticales en projetant G, G' en ^, ^, et en menant les droites indéfinies ag ^ ag\ Pareillement, la trace Kl du même plan de la série coupera la trace horizontale de la seconde surface conique dans des points H, H', par lesquels, si Ton mène indéâniment BH, BH', on aura les projections horizontales des droites suivant lesquelles le même plan de la série coupe la seconde surface , et l'on aura leurs projections verticales en projetant H , H' en /i , h' et en menant des droites indéfinies bh , bhf.

Pour le même plan dont la trace est Kl , on aura sur la projection horizontale un certain nombre de droites AG , AG', BH , BH^ et les points P, Q, R, S où celles qui appartiennent à l'une des surfaces rencontreront celles qui appartiennent à Tautre, seront les projections horizontales d'autant de points de Tintersection des deux surfaces. Ainsi en opérant successivement de la même manière pour d*autres lignes Kl, on trouvera de nouvelles suites de points P, Q» R, S, et faisant ensuite passer par tous les points P une première branche de courbe, par tous les points Q une seconde, par tous les points R une troisième, etc., on aura la projection horizontale demandée.

On aura pareillement pour la projection verticale un certidn nombre de droites ag^ a^y hhj bh' dont les points de rencontre seront les projections verticales d'autant de points de l'intersection .

Quant aux tangentes à la courbe d'intersection, on les construira

en se conformant à ce qui a élé dit à ce sujet dans le problème précédent.

pROBLKMB V. ^ Construire V intersection de deux surfetces cylindriques à bases quelconques fjig» 24» PI» ^III).

Lorsque dans la recherche qui donne lieu à la question dont il s*agit, on, n'a pas d*autres intersections à considérer que celle des deux surfaces cylindriques, et surtout quand ces surfaces sont à bases circulaires 9 il est avantageux de choisir les plans de projections de manière que Tun d*eux soit parallèle aux génératrices des deux cylindres; par iày Pintersection se construit sans employer d'autres courbes que celles qui sont données. Mais lorsque Ton doit considérer en même temps les intersections de ces surfaces avec d'autres , il n*y a plus d'avantages à changer de plans de projections, et même il est plus facile de se représenter les objets en les rapportant tous aux niémes plans.

Noos allons donc supposer les génératrices des deux surfaces placées d'une manière quelconque par rapport aux plans de projections.

Soient donc TFF'U, XGG' V les traces horizontales données des deux surfaces cylindriques; AB, ah les projections données de la droite à laquelle la génératrice de la première«doit être parallèle; CD, r^ celles de la droite à laquelle doit être parallèle la génératrice de la seconde. On concevra une série de plans parallèles aux deux génératnces. Ces plans couperont les deux surfaces dans des lignes droites, et les rencontres des sections faites dans la première surface par les sections faites dans la seconde détermineront les pointa de l'intersection demandée.

Ainsi, après avoir construit , comme dans la fig. ^4 > '^ trace horizontale AE d'un plan mené par la première droite donnée parallèlement à la seconde, on mènera à cette trace tant de droites parallèle» FG^ qn'on voudra , et l'on regardera ces parallèles comme les trace» des plans de la série. Chaque droite FG^ coupera la trace de la pre^ mière surface en des points F, F^ et celle de la seconde en d'autres points G, G' par lesquels on mènera aux projections des génératrices respectives les parallèles FH, F'H',...^ GJ, G'J^ elles points de rencontre P, Q, R, S de ces droites seront les projections horizontales d'autant de points de l'intersection des deux surfaces. En opérant de même pour la suite des droites FG', on trouvera une suite de systèmes de points Pi , Qi , Ri , S| , et la courbe qui passera par tous les points troavéa de la même manière sera la projection horizontale de l'intersection.

Pour avoir la projection verticale , on projettera sur xy les pointa FF', . . . , GG', . . . , en Jf'y . . . , gg'^ et par ces derniers points on mènera aux projections des génératrices respectives, les parallèles/^, /' ^S g^9 g'i' q«i> par leur» rencontres, détermineront les projection» verticales /7, q ^ r^ s des points de l'intersection. En opérant de même poar toutes les autres droites FGS on aura de nouveaux points pi, 71, Ti , X, ; et la couri^e qui passera par tous ces points sera la projection verticale de l'intersection.

Pour avoir les tangentes de ces courbes aux points P et /i, on construira la trace horizontale F'Z du plan tangent en ce point à la pre-

t88 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

mière surface cylindrique; puis la trace G'Z du plan tangent en ce même point à la seconde ; et la droite menée du point P au point Z de rencontre de ces traces sera la tangente en P. Enfin, projetant Z sur xy en z et menant la droite pzy on aura la tangente au point p de la projection verticale.

Reouniae. — Parmi tous les cas que peut présenter l'intersection des cylindi^es , on distingue principalement la pénétration et Varraehement. Dans le premier, toutes les génératrices de Tun des cylindres entrent dans Tautre, et alors il y a courbe d'entrée et courbe de sortie ; dans le second , une partie seulement des génératrices de chaque cylindre va rencontrer l'autre cylindre. Voici comment on reconnail lequel des deux cas doit avoir lieu.

Supposons qu'on mène à la base de chaque cylindre parallèlement à bc ( fig, 25, PI' ^III)f deux tangentes qui comprennent toute cette base, et supposons d'abord, comme cela arrive dans la figure, que le» tangentes rs et u(> à l'une des bases aillent couper l'autre base. Les plans auxiliaires , dont les traces sont rs et ttf>, renferment entre eux tout le premier cylindre, mais ils ne comprennent sur le second que les portions de surfaces correspondantes aux arcs seu et tdz. Or il est évident que le premier cylindre rencontre ces deux portions de surface et qu'il traverse l'intervalle qui les sépare; donc il y a pénétration du second cylindre par le premier.

Supposons en second lieu, comme cela arrivedans la^g". 26, PI, VIIIj que chaque base soit coupée par une des tangentesà l'autre base. Alors les plans auxiliaires conduits suivant ces tangentes rs et az comprennent sur les cylindres les portions de surface qui s'appuient sur les arcs «/v, szi ; et il est évident que ces portions se rencontrent mutuellement, tandis que les portions extérieures n'ont aucun point de commun ; dans ce cas, on dit qu'il y a arrachement. Les constructions qu'on vient d'indiquer pour juger s'il y a pénétration ou arrachement, déterminent les génératrices de chaque cylindre qui servent de limites à la courbe d'intersection. Ainsi , dans la fig. 25 , la courbe d'entrée est limitée aux génératrices qui passent aux points ^ et c^, et la courbe de sortie l'est à celles qui passent aux points t et z. Dans la fig, 26, la courbe d'intersection a pour limites, sur l'un des cylin-* dres, les génératrices élevées en u et en c, et sur l'autre celles qui passent en s et en t. Au reste , la construction générale donnée plus haut pour trouver une tangente quelconque montre qu'en effet ces génératrices sont tangentes à la courbe d'intersection. Par exemple, si Ton mène les plans tangents aux deux cylindres, l'un par le p<Hnt r, l'autre par le point r, le premier se confond avec le plan auxiliaire dont la trace est rt\ donc il va couper le second suivant la génératrice qui passe en t\ donc cette génératrice est tangente à la courbe d'inter* section. Par suite, les projections de cette génératrice sont aussi tangentes à celles de la courbe, ainsi que l'indique la figure.

Problème VI. — Construire V intersection de deux surfaces de ré90^ lution, dont les axes sont dans un même plan {Jlg, 27, PL IX),

On disposera les plans de projections de manière que Tun d'entre eux soit perpendiculaire à l'axe d'une des surfaces, et que l'autre soit parallèle aux deux axes. Soit donc A la projection horisontale de

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i8g

l'axe de la première surface y aa' sa projection verticale , et cdt la générdtrice donnée de cette sarface. Soit ÂB, parallèle à x/, la projection horizontale de Taxe de la seconde surface , a' 6 sa projection verticale de manière que A et a* soient les projections du point de rencontre des deux axes, et soity^A la génératrice donnée de cette seconde surface. On concevra une série de surfaces sphériques dont le centre commun soit placé au point de concours des deux axes. Pour chacune des surfaces de cette série, on construira les projections iknopq du grand cercle parallèle au plan vertical de projection , et ces projections, qui seront des arcs de cercle décrits du point a' comme centre, et avec des rayons arbitraires, couperont les deux génératrices en des points k et p. Cela posé , chaque surface sphérique coupera la première surface dans la circonférence d*un cercle dont le plan sera perpendiculaire à Taxe aa' , et dont on aura la projection verticale en menant Thorizontale KO, et dont on aura la projection horizontale en décrivant du point A comme centre, et d'un diamètre égal à KO, la cireonférencede cercle KROR^ De même chaque surface sphérique de la série coupera la seconde surface de révolution daps la circonférence d'un cercle dont le plan sera perpendiculaire au plan vertical de projection , et dont on aura la projection verticale en menant par le point p une droite /7/1 perpendiculaire à a' b.

Si le point r, dans lequel se coupent les deux droites Xo, pn^ est plus près des deux axes primitifs que n'en sont les deux points ^, p^ il est évident que les deux circonférences de cercles se couperont en deux points dont le point r sera la projection verticale commune , et la courbe menée par tous les points r construits de la même manière sera la projection verticale de l'intersection des deux surfaces. Projetant le point r sur la circonférence du cercle RROR' en R et R', on aura les projections horizontales des deux points de rencontre des circonférences de cercles qui se trouvent sur la même sphère , et la courbe menée par tous les points R, R' construits de la même manière, sera la projection horizontale de l'intersection demandée.

PaoBLJcMK VII. — Intersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont dans des plans différents {fig. 28, PL IX).

Prenons le plan horizontal perpendiculaire à Taxe de la première surface, et le plan vertical parallèle aux deux axes. Les données auront la même disposition que dans Tépure précédente , avec cette seule différence que la projection horizontale de Taxe de la seconde surface ne passera plus au point a , et aura une position telle que be parallèle à xy.

Puisque les axes sont dans des plans différents , il n*est plus possible de trouver sur les deux surfaces des parallèles qui soient compris dans un même plan ou sur la même sphère , et alors ce qu'il y a de mieux pour trouver des points de l'intersection cherchée, c'est de couper les deux surfaces par des plans horizontaux. Chacun d'eux rencontre la première surface suivant un cercle dont la projection horizontale est un cercle égal , facile à trouver ; mais il détermine dans la seconde une courbe dont il faut construirela projection horizontale parpoints.Quand cette projection est tracée , les points où elle rencontre celle du cercle

appartiennent à la projection horizontale de Tintenection des deux surfaces, et ensuite on obtient facilement les projections verticales correspondantes, en remarquant qu'elles doivent se trouver sur la trace verticale du plan auxiliaire par lequel on a coupé les deux sur* faces. On voit que chaque plan auxiliaire donne lieu à la construction d'une courbe dont le seul usage est de déterminer un certain nombre de points de l'intersection cherchée.

Soit d*f\ parallèle à xy^ la trace verticale d'un de ces plans. Son intersection avec la première surface se projette verticalement sur la droite d' d" et horizontalement sur la circonférence dmmx^ décrite du centre a avec un rayon égal à la moitié de d' d'\ Son intersection avec la seconde surface est une courbe qui a pour projection verticale la droite yy^\ et dont il faut avant tout construire la projection horizontale. A cet effet y on imagine perpendiculairement à Taxe do cette surface une suite de plans qui la coupent suivant des circonférences. Supposons queg"'^'' soit la projection verticale d'une telle circonférence. Le point de rencontre h' de/V^' avec g- 'gr" est la projection verticale de deux points de la courbe auxiliaire que nous voulons connaître, et, par conséquent, les projections horizontales de ces deux points doivent se trouver sur la perpendiculaire h' k k xy. Faisons tourner le plan de la circonférence autour de la droite projetée en A' pour amener cette circonférence à être horizontale, et projetons-la sur le plan horizontal. Si Ton suit les constructions, on trouve que cette projection est la circonférence décrite du |>oint k comme centre avec le rayon kl. Or les points projetés en A', et dont on a parlé plus haut, n^ont point dû changer; donc leurs projections horizontales doivent se trouver aux rencontres h et hx de la ligne A' A avec la circonférence kl. En menant d^autres plans perpendiculaires à b' e\ on détermine d'autres points de la section correspondante à /'/''dans la seconde surface, et de cette manière on arrive à la courbe A/Ai. Cette courbe et la circonférence dmm^ sont donc les projections horizontales des sections faites dans les deux surfaces par un même plan auxiliaire , et de là on conclut que les points de ren* contra m et Ml de ces deux lignes appartîennnent à la projection horizontale de l'intersection des deux surfaces. Ces points font ensuite connaître les projections verticales m' elm\.

Si nous coupons maintenant les deux surfaces par d^autres plaas horizontaux , et en répétant pour chacun d'eux toutes les constructions qu^on vient d'expliquer, nous obtiendrons autant de points qu'on voudra des projections de l'intersection des deux sur&ces; c*est ainsi qu'on a construit les deux courbes mnum^y m'n* u! m\^

La tangente à l'intersection des deux surfaces s'obtient ici au moyen des normales. Supposons que le point de contact soit («t, i«') : on trace d'abord les projections verticales des parallèles de chaque surface sur lesquels ce point est placé, et ensuite celles des normales. Au lieu de chercher les traces du plan des normales sur les plans de projections , on a déterminé les intersections de ce plan avec le plan horizontal et avec le plan vertical qui passent au point (o, o'), où la normale à la seconde sur£9u:e rencontre l'axe de cette surface. Con* naissant les projections or ei o' r^y os et o' s^ ik ces deux interscc-

lions, Oh mène nt^n' t' respectivement perpendiculaire koryo's'\ et ces perpendiculaires sont les projections de la tangente.

Propriétés de la turlvoe gmohe de « é^D luti ea.

THiORiMZ I [fig. 29, PL IX). — Les génératrices de la surface gauche de révolution se projettent sur le plan du collier suivant des tangentes au collier.

Concevons, par un point quelconque A du collier, une génératrice AG et une parallèle AD à l'axe OZ. Soit O le centre du collier : le rayon OA, étant perpendiculaire aux lignes OZ et AG^ doitTétre au plan DAG, et, par conséquent, aussi à la trace AR de ce plan sur le plan du collier. Or AR est évidemment la projection de la génératrice AG ; donc cette projection est tangente au collier.

THioRÀMS II {fig, 29). — On peut mener par chaque point de la surface deux droites qui s'appliquent sur cette surface dans toute leur étendue.

Soient OZ Taxe de la surface, OA le rayon du collier, AG la génératrice, et AD une parallèle à Taxe. Le plan DAG^ étant perpendiculaire à OA, Pest aussi au plan méridien ZAD , et la trace AR du plan DAG sur le plan du collier est tangente au collier : c*est ce qu*on vient de voir dans le théorème précédent. Maintenant, dans le plan DAG faisons Tangle DAH = DAG; je dis que la ligne AH, en tournant autour de l'axe, décrira la même surface que AG. Pour le démontrer, menons, perpendiculairement h l'axe, un plan quelconque qui coupe cet axe en L, les lignes AG, AD, AH en G, D, H, et le plan GHA suivant la droite GDH; joignons LG, LD, LH ; les triangles ADG, ADH sont recUingles en D , l'angle DAG = DAH et le côté AD est commun; donc DG = DH. Par suite, les triangles DGL, DHL sont égaux comme ayant DL commun, DG = DH et l'angle droit GDL = HDL; donc LG = LH. De là on conclut que le point H décrira le même cercle que le point G, cVst-à-dire que sur les droites AG et AH les points qui sont à égale distance du collier décrivent le même parallèle; donc ces droites engendrent précisément la même surface: donc, par chaque point de cette surface, on peut tracer deux droites qui s'appliquent sur elle exactement.

Coaox.LAiEE. — Il y a donc deux systèmes de générations à considérer sur la surface : Tun embrasse les différentes positions de la droite AG, et Tautre celles de la droite AH.

Plans tangents à la surface gauche de révolution.

PaofeLii» I. -— Étant dçmnés taxe et la génératrice d'une surface gauche de révolution , mener un plan tangent À un point de cette surface {fig. 3o , P/. IX),

Nous supposerons te plan horizontal perpendiculaire à Taxe de révohition , et la génératrice dans la position où elle est parallèle au plan vertical . Soient a {fig* 3o, PI. IX) la projection horicoatale de l'axe, a' a" sa projection verticale, et 6c, 6V les projections de la génératrice. Il est évident que bc doit être parallèle à la ligne de terre, que la perpendiculaire ab abaissée sur bc est la projection de

la plus courte distance entre la génératrice et l'axe, et qae le cercle hde y décrit du rayon ab , est la projection horizontale du collier de la surface ; sa projection verticale se trouve sur une parallèle à xy menée par l'intersection b' de a! a'* avec 6V.

Le plan horizontal coupe la surface suivant un cercle qui a son centre au point a ; on pourra trouver un point de ce cercle en dé terminant la trace horizontale c de la génératrice ; donc on pourra décrire ce cercle qui a pour rayon ac et qui est cfg. Toutes les génératrices de la surface ont leurs traces sur ce cercle.

Soit m la projection horizontale d'un point de la surface. Toutes les génératrices doivent se projeter sur le plan horizontal tangentiellement au cercle bde\ par conséquent, si Ton mène les tangentes md et me au cercle bde , elles seront les projections horizontales des génératrices qui, sur la surface, passent aux points projetés en m. Pour avoir les projections verticales de ces génératrices, remarquons que les points d et e sont les projections horizontales des points où ces génératrices rencontrent le collier, et que par suite on trouve les projections d' et e^ de ces points en menant dd' et ee^ perpendiculairement à xy. Remarquons, en second lieu, que les traces horizontales des mêmes génératrices doivent être aux intersections y et g du cercle çfg avec les deux tangentes. Toutefois, pour ne pas se tromper sur la vraie position de ces i races > il faut suivre le mouvement de la génératrice pendant qu'elle engendre la surface, et Ton reconnaît que, le con* tact b venant se placer en £^ et en Cy le point c se transporte en^et ^; projetonsy et^ en/' et ^'sur arj, puis tirons les droites y ^', et g'P : elles seront les projections verticales des deux génératrices , et par conséquent si Ton mène du point m une perpendiculaire à x/, les points m' et /w" où elle rencontre /'rf' et g'e^ seront les projections verticales des points de la surface correspondant à la projection hori* zontale m.

Le plan tangent en chacun de ces deux points est facile à détei^ miner, car il doit contenir la génératrice et la tangente au parallèle qui passe au point de contact. La droite mp^ perpendiculaire à am^ est la projection horizontale des tangentes aux deux parallèles ; les droites m'p\ m"p"y parallèles à x/, sont les projections verticales de ces tangentes ; et par suite leurs traces verticales sont y etp** , Mais les traces horizontales des plans tangents doivent passer aux points / et ^ , et être parallèles à ces tangentes; donc, si l'on mène les parallèles fa. et et gr ^ à /if/7, et si Ton tire les droites ap' et p/?^, les plans tangents seront/a/?' etg'P/?".

Kenuirque. — Les traces verticales des deux génératrices doivent être respectivement sur les traces t/,p* et ^p^^et la droite projetée en de^ d'tf étant commune aux deux plans tangents, sa trace verticale o' est aussi commune aux traces verticales de ces plans.

D'autres vérifications résultent de ce que la surface peut être engendrée de dimx manières par une droite. Si Ton prolonge cb jusqu'en A, la droite dont la trace horizontale est h et qui rencontre le collier au point ( 6 , ^' ) est la génératrice du second mode. Alors on voit que la rotation de cette génératrice amène hb en ie , et de là on conclut la projection verticale iV qui doit passer au point m \ et pareillement hb

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. igS

venant en kd^ la projection verticale correspondante est k'd' y dont le prolongement doit passer en m".

Problème IL — Par un point donné hors d'une surface gauche de révolution , mener un plan qui soit tangent à cette surface sur un méridien ou sur une parallèle, dont le plan est donné (Jig, 3i, PL IX), Nous supposerons que le contact doive se faire sur un méridien dont le plan est donné. Les constructions seront fondées sur ce que le plan tangent doit être à la fois perpendiculaire au plan donné et contenir une génératrice de la surface.

Soient ad la trace horizcintale du plan méridien et oo' les projections du point donné. Le plan tangent devant être perpendiculaire au plan méridien, sa trace horizontale sera perpendiculaire à ad^ et par suite, si l'on imagine qu'un plan horizontal soit mené par le point (o, o')^ Tin* tersection de ce plan avec le plan tangent aura pour projections la perpendiculaire oe à ad^ et la parallèle o'e' à xy, La droite (00 , oV) appartient donc au plan tangent , et par conséquent le point ^, où elle perce le plan vertical , est sur la trace verticale de ce plan tangent.

Le même plan horizontal coupe la surface gauche suivant une circonférence dont on détermine facilement la projection horizontale f^hj en cherchant le point {ff')y où il rencontre la génératrice donnée {bcyb' c^)y et cette circonférence est coupée par la droite [oe ,oV ) en deux points [gjg')^^ (^>^'')- Mais le plan tangent doit contenir une génératrice de la surface, et celte génératrice doit rencontrer la circonférence projetée en/gh ; donc, si Ton mène les tangentes gi eihk à la projection du collier, on aura les projections des deux génératrices dont chacune est dans un plan tangent qui doit satisfaire à renoncé. Toutes les génératrices allant rencontrer le plan horizontal sur une circonférence connue cptjy on prolonge gi et hk jusqu'en p et 9, et l'on connaît ainsi un point de la trace horizontale de chaque plan tangent. Alors, on conclut quen menant /? a elq^ parallèles à (M?, et tirant les droites ae', ^e^ les plans tangents cherchés seront poL^ et q^^-

Les points de contact ne sont pas encore déterminés^ mais ils le seront facilement en construisant les génératrices du second mode, qui doivent appartenir respectivement aux deux plans tangents. La tangente hl est la projection horizontale de celle qui appartient au plan poLcf ei doit rencontrer la trace/? a et le cercle cpq au même point r; la tangente gm est la projection horizontale de la génératrice située dans le plan q^e' et doit passer par le point s commun au cercle epq et à la trace q ^ : faisons maintenant les projections verticales /?'/', r'l\q'k\ s' m' ^ correspondantes à/?/, rl^ qky sm\ et il est clair que les points de contact des plans/^a^', q^e' seront déterminés, Tun par la rencontre des droites (pi^p'i') et [rlyr'V)^ et Tautre par la rencontre des droites [qk^q* k') et (sm^s^m'). Les projections du premier point tombent au dehors de la figure, celles du second sont n et n\

Quelques vérifications s'offrent d'elles-mêmes et sont suffisamment indiquées sur Tépure.

Qaand le contact doit avoir lien sur on parallèle donné, la solution du problème est très-simple : elle se réduit à mener un plan tangent à la surface en un point quelconque de ce parallèle, et à faire tourner le méridien de ce point, ainsi que le plan tangent qui lui est perpendiculaire, jusqu^à ce que ce plan tangent vienne passer au point donné. Les constructions ne peuvent offrir aucune difficulté.

Propitété* prinoqMJe* des diven gonrct dliWçoIde.

Un cylindre quelconque étant donné, considérons-le comme ayant pour base une section faite par un plan perpendiculaire à ses gé* néra triées. Si, à partir de ce plan, on porte sur les génératrices des longueurs proportionnelles aux arcs de la base compris entre ces génératrices et une origine fixe prise sur cette base, la conrbe qu'on détermine ainsi sur le cylindre est une hélice.

Cette génération montre que si Ton développe le cylindre sur un plan, la base devient une droite perpendiculaire aux génératrices, et rhélice, par suite, une droite oblique à ces génératrices. Donc toutes les tangentes à rhélîce font le même angle avec les génératrices; donc aussi, lorsqu'on effectue le développement dans un plan tangent mené au cylindre par un point de F hélice, cette courbe doit se développer suivant sa tangente.

Une autre propriété qu'on aperçoit sur-le-champ, c^est qu'en transportant toutes les tangentes de l'hélice parallèlement à ellesmêmes en un point quelconque, elles forment un cône droit dont Taxe est parallèle aux génératrices du cylindre. De là, il suit que les tangentes parallèles à un plan donné doivent être parallèles aux droites qu'on obtient en coupant ce cône par un plan parallèle au point donné : remarque qui suffit pour déterminer ces tangentes.

Paoblkme I. — Construire la projection d'une hélice tracée sur un cylindre vertical ^ et déterminer les tangentes à cette hélice, çui sont parallèles à un pian donné (Jlg. 32, PL X),

Supposons que la base du cylindre soit un cercle abe tracé dans le plan horizontal, que l'origine des arcs ou abscisses circulaires soit au point a, et que le pas de l'hélice, c'est-à-dire l'intervalle compris sur les génératrices entre deux spires, ou révolutions consécutives, soit égal à a^a'\

Divisons en un même nombre de parties égales, en seize parties par exemple, la circonférence abea et la hauteur a'a** ; traçons les projections verticales des génératrices qui passent par les divisions de la circonférence, et terminons ces projections aux horizontales menées dans le plan vertical par les divisions correspondantes de a' a", La courbe a' b'e'a"y qui unit tous les points ainsi déterminés, est la projection verticale de la première spire. On aperçoit facilement comment on aurait les spires suivantes.

Tanfentcf. — Il reste à chercher les tangentes à l'hélice, qui sont parallèles à un plan donné apa', dont je supposerai la trace horizontale perpendiculaire à xjr. Si elle avait toute autre position, la solution ne serait pas plus difficile. Au cercle abe menons la tangente bd

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. igS

égale à Taxe ab rectifié. Le plan vertical élevé suivant ^^est tangent au cylindre sur lequel l'hélice est tracée ; et si Ton développe ce cylindre sur ce plan, il est clair que Thélice se développera sur une droite qui passe au point d^ et qui est la tangente au point [b^b') de rhélice. Donc, si l'on projette le point d en d' sur jsjr et qu'on joigne b'd\ les projections de cette tangente seront bdeib'd'. Une parallèle menée à cette tangente par le point (o^b') rencontre le plan horizontal en e, et si on la fait tourner autour de Taxe du cylindre, elle engendre un cône dont la base est le cercle décrit avec le rayon oe^ et dont les génératrices sont parallèles aux tangentes de l'hélice ; donc le plan byà, qui passe au sommet de ce cône, et qui est parallèle au plan donné a'^a , doit couper ce cône suivant des droites parallèles aux tangentes demandées. Ces droites sont projetées horizontalement en <^SjO^ 9 ^ comme les tangentes à l'hélice ont leurs projections horizontales tangentes au cercle abe^ il s'ensuit qu'en menant les tangentes mr et ns respectivement parallèles à o^ et à oh^ on aura les projections horizontales des tangentes cherchées. Les lignes de projections mm'^ nn' déterminent les projections verticales m\ n' des points de contact, et en menant les parallèles m'r' et n' s' à ^a', on obtient les projections verticales des tangentes.

Bemarque. — Quand on élève les lignes de projection mm\ nn\ il est clair qu^il faut prendre leurs intersections seulement avec les portions de courbes qui répondent à la partie antérieure du cylindre. Mais il est clair aussi qn*on doit prendre leurs intersections avec chaque spire, et qu'on obtient ainsi de nouvelles tangentes tdles que m"r" qui conviennent encore à la question.

De l'épîoyololde.

Si l'on fait rouler un cercle sur un autre qui reste fixe, de manière que leurs circonférences soient toujours tangentes, chaque point de la circonférence mobile décrit une courbe qu'on nomme épicjcloïde, L'épicycloïde est plane quand tous ses points sont dans un plan , et c'est ce qui a lien si le cercle mobile reste dans le plan du cercle fixe. L'épicycloïde est sphérique lorsque tous ses points sont sur une même sphère : c'est ce qui arrive si les deux cercles sont les bases de deux cônes droits ayant sommet commun et apothème commun et qu'on fasse rouler l'un des cônes sur l'autre , de manière qu'il ait toujours même sommet que lui , et qu'il le touche suivant un de ses côtés, lequel varie à chaque instant.

Bans ce cas le cercle fixe est situé sur une sphère décrite du sommet commun comme centre avec un rayon égal à l'apothème commun , et le cercle mobile reste toujours sur cette sphère. Il est clair aussi que le plan de ce cercle mobile coupe toujours le plan de la base fixe suivant une tangente cGî&imune aux deux cercles, et que rin« clinaison des deux plans demeure constante et égale à l'angle formé par les axes des deux cônes.

La tangente en un point de l'épicycloïde sphérique doit être dans le plan langent à la sphère dont on vient de parler. Pour achever de

clétennioer cette tangente , je vais démontrer qu'elle est aussi dans le plan tangent à une sphère qui aurait pour centre le point où le cercle mobile, considéré dans sa position actuelle, touche le cercle fixe. Pour le démontrer, au lieu de deux cercles, je considère deux polygones quelconques ABC, A'B'C^ roulant Tun sur l'autre (^^. 33, PL >r) (ils se sont pas tracés sur la figure) , et je suppose tous leurs côtés égaux entre eux, savoir : AB = BC = A'B' = B'C On peut prendre ces côtés en tel nombre et sons telles inclinaisons qu'on voudra. Gela posé , supposons que le point A' coïncide avec A , et que le polygone ABC étant fixe, A'B'C tourne autour du point A de manière que B' vienne coïncider avec B. Alors faisons Icurner A'B' C. . . autour de B de manière que C vienne sur C, et ainsi de suite. Examinons la nature de la ligne que décrit un point quelconque IM du polygone mobile. Pendant la rotation qui s'effectue autour du sommet A , il est clair que le point M reste sur une sphère décrite du point A comme centre avec le rayon AM : pendant la rotation autour du sommet B , il reste sur une sphère décrite du point B comme centre avec le rayon BM , ainsi de suite; donc la tangente en un point quelconque de la ligne engendrée par le point M, doit être dans le plan tangent à une sphère dont le centre est situé an sommet autour duquel s'est effec> tuée la rotation qui a amené le point M dans la position actuelle. Cette conclusion étant indépendante de la grandeur des côtés des polygones doit également convenir au cas de deux courbes roulant Tune sur Tautre; c'est-à-dire que la courbe mobile étant dans une quelconque de ses positions, si Ton désigne par H son point de contact avec la courbe fixe et par N la situation correspondante du point décrivant M , la tangente au point N de la courbe engendrée par le point M sera toujours contenue dans le plan tangent au point N de la sphère décrite du centre H avec le rayon HN.

PKOBLiME. — Construire la projection d'une épicycloïde sphérique^ et déterminer la tangente en un point quelconque de cette courbe (fig. 33,P/. JT).

La projection de rcpicycloïde doit être faite sur le plan de la base du cône fixe. Soit le cercle abbxOy cette base décrite dans un plan horizontal avec le rayon oa ; supposons que le point générateur de l'épîcycloïde ait été primitivement en a et que le contact des deux cercles soit actuellement en b : cherchons quelle est la position correspond dante du point générateur. Prenons pour second plan de projection le plan vertical élevé sur ob. Il doit contenir le sommet o' commun aux deux cônes , et couper le cône mobile suivant un triangle isocèle o^bc* qui fait partie des données du problème. Ce cône a sa base dans le plan qui a pour trace horizontale la tangente bc^ et pour trace verticale la ligne bc^ , laquelle peut aussi être considérée comme la projection verticale de cette base. Faisons le rabattement ^MC de cette base sur le plan horizontal. Pour avoir dans ce rabattement la position M du point générateur, il faut prendre l'arc 6 M égal à Tare ba , car le point M ayant été primitivement en a , et les différents éléments des deux arcs bfUet ba ayant été successivement appliques les uns sur les autres, ces deux arcs doivent être égaux. Connaissant le

rabattement M du point générateur, il est facile d'avoir sa projection verticale m', et ensuite sa projection horizontale m . Si Ton place le con tact des deux cercles en tout autre point 6| , on imaginera un plan vertical par le rayon o^, , et des constructions semblables aux précédentes détermineront un nouveau point n de projection horizontale de répicycloîde. £n continuant ainsi on trouve la courbe amnox.

Pour simplifier, on peut exécuter au point b toutes les constructions qu'on devrait faire en bx , c'est-à-dire qu'on prendra l'arc ^M| = ^i/r et qu'on trouvera la projection horizontale m , , de la même manière qu'on a trouvé le point m. Mais alors il faut remettre le point /t?! à sa vraie position , et c'est ce qu'on fera «n prenant le point n dans la même situation à l'égard de 06, , que celle du point m, à l'égard de bo\ or pour cela il sufHt de décrire du centre o la circonférence /ti, de et de prendre l'arc en = dmi ; on voit par là qu'on peut obtenir tous les points de la projection amnox, en se servant toujours du même plan vertical.

Be la tangente. — L'épicycloïde , ainsi qu'il a été dit plus haut, est située sur la sphère qui a pour centre le sommet o' et pour rayon l'apothème (/b'y et par conséquent la tangente au point (///, m') de cette courbe est dans le plan tangent à cette sphère. On a vu aussi qu'elle doit être dans le plan tangent à la sphère dont le centre serait en ^ , et le rayon égal à oM; donc elle est l'intersection des deux plans tan^ gents. ,

Le cercle rabattu en b MC appartient à la première sphère ; donc si l'on mène à ce cercle la tangente M/*, elle sera le rabattement d'une droite située dans le plan tangent à cette sphère , et par conséquent le point/* où M/ rencontre bc, est sur la trace horizontale de ce plan ; donc cette trace est la perpendiculaire et/ abaissée du point/* sur la projection om du rayon qui passe au point de contact.

Le cercle décrit du rayon 6 M est le rabattement d'un cercle de la seconde sphère : par conséquent, si on lui mène la tangente M g" qui rencontre bc eng y et si l'on abaisse g" ^ pei*pendiculaire à ^m> la ligne gp sera la trace horizontale du plan tangent à la seconde sphère.

Les traces a/ et ^gse coupant en un point r qui doit appartenir à l'intersection des deux plans tangents, on tirera la droite mr, et ce sera la projection horizontale de la tangente à l'épicycloïde , ou , ce qui est la même chose , la tangente à la projection amn de cette courbe.

On obtient des vérifications en construisant les traces verticales desdeux plans tangents. Il est clair que celle du premier est la perpendiculaire a/' menée sur la projection o' m' du rayon de la pi'emièrc sphèi^e; et je vais prouver que relie de l'autre plan est la perpendiculaire e' p' élevée sur b</. En effet , la tangente M^ étant perpendiculaire à la corde ^M doit passer au point C, et par suite, en relevant le cercle 6MG dans sa vraie position, cette tangente doit rencontrer le plan vertical enc': d'ailleurs la projection verticale du rayon bM. tombe sur bc*^ et de là il suit que la trace verticale du plan tangent à la seconde sphère est la perpendiculaire c' p' élevée sur b(/. Cette trace doit donc rencontrer xy au même |>oint que la trace horizontale ^g.

igS GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

ce qui présente déjà uoe Térificadon. De pins» les traces verticales a/% p'c' des deux plans tangents se coupant en /, la droite m' t^ doit être la projection verticale de la tangente à Tépicydoide ; par conséquent, si l'on cherche , au moyen des projections mr^ m! /, en quels points cette tangente perce les deux plans de projection , on doit retrouver les poiats r et /, ce qui donne de nouvelles vérifications.

On a aussi construit la tangente au moyen des normales. Ces lignes ne sont ici autre chose que les rayons des deux sphères , et il est évident que la trace verticale de leur plan se confond avec l'apothème o' b . Quant à la trace horizontale de ce plan , elle passe déjà au point b ; et on en obtient un second en menant, par le point de contact , et parallèlement à la trace bo'^ une droite (nfi 9 m'i) dont on détermine l'intersection ravec le plan horizontal. Ainsi la droite bi sera la trace horizontale du plan des deux rayons, et les projections de la tangente à répicycloîde devront être respectivement perpendiculaires aux traces bi et bo.