Soit à diviser par Ils'agitde trouver
s'il est possible, un monôme qui, multiplié par le diviseur, reproduise le dividende. D’après la règle de la multiplication des ino-
nômes, le i/Ko/zW/f cherché sera —n'~'‘b* ou 5a’'b-'cd^.
Ainsi, /x)ur diviser l'un par l'autre deux monômes entiers, on divise le coefficient du dividende par le coefficient du diviseur, et on écrit ensuite toutes les lettres qui entrent dans les deux monômes, en donnant à chacune d'elles un exposant égal h V excès de son exposant dans le dividende sur son exposant dans le diviseur.
2. Cette règle est inapplicable dans plusieurs cas (**). On peut la remplacer par celle-ci ;
Pour diviser un monôme par un monôme , on met le quotient som la forme dune fraction ayant /xmr numérateur le dividende et pour dénominateur le diviseur; puis, s'il y a lieu, on simplifie la fraction.
1 5 lè c’ 5 rt’ b^
3 u~ bc' d cd
(*) On trouvera, clans cc chapitre, quelques théories élémentaires que nous n’avons pu développer suflisamment dans notre Manuel du Baccalauréat ès Sciences.
{**) L’emploi do Vexposant zéro et des exposants négatifs la rend générale (foi'r plus loin).
Par exemple , 1 5 V : 3 «’ bà d
t* ALGÈBRt.
Division des polynômes.
[]. Dans la division des polynômes, un se propose de Ooiu'cr un /to/mônic Q (jui, multiplié par un polynôme donné B, reproduise un autre polynôme donné A : A est le dividende, B le diviseur, et 0 le (piotient.
Nous ferons, au sujet de celle définition, les remarques suivantes;
i". Le dividende, le diviseur et le quotient {s’il existe) doivent être composés chacun d’un nombre /^/// de termes;
a'\ Ces polynômes peuvent être fractionnaires, mais ils ne doivent renfermer nueune fraction à dénominateur polynôme ;
3“. De môme qu’il n’cxisle pas toujours de nombre entier qui, multiplié par un nombre entier donné, reproduise un autre nombre entier donné, il peut arriver (pic le ipiotient de deux polynômes A , B. défini comme il vient de l’étre, n'existe pas. En d’autres termes , une division proposée peut être impossible.
Pour justifier la liremiérc remarque, il suffit de faire attention que si le dividende, le diviseur et le quotient pouvaient être composés d’un nombre indé-fini ou infini de termes, ces (piantités ne seraient plus des polynômes i)roprement dits.
Quant à la deuxième rcmanpie, nous nous contenterons de faire observer que, sans la restriction qu’elle exprime, nueune division ne serait impossibk'. En effet, on pourrait toujours adopter, pour
quotient do A par B, la fraction g-
Enfin, la troisième remarque est une conséquence des deux premières.
4. Ces préliminaires entendus, proposons-nous, j)Our fixer les idées, de diviser le polynôme
A = — h (é b'^ -\- \ob^ lia' b — ^&a'‘b'^-\- Srt’’ — 17 r/ô* par le polynôme B = —
Désignons par Q le quotient : la suite des calculs nous apprendra si ce quotient existe. Si les polynômes étaient ordonnés par rapport aux puissances descendantes de «, le premier terme de A serait égal au produit du premier terme de B par le premier terme de Q [B. y Alg.., 40) (*). Il est donc iivantiigeiuc d'ordonner le dividende
(’*) Ce renvoi signifie: Manuel du Baccalauréat , Algèbre, n® 40.
et le diviseur par rapport à une lettre. En onlre , on tlisposo le calcul comme dans la division arilhméÈuiue, de celte manière ;
1 a' a’ h - \ ah^ -b
— 8n* — 1 2 a'h-i-i6a‘b^-i-2oa'b' ab — 2 îi’ = (>
I*’*' reste. R= lO a‘6-t-i j a*4’ — 2Ca’i’ — 17
— I O a'b — 1 5 a’i*-i-20 a*t’+a5 ab*
2* reste. R'— — /fo’b* — Ga’6’-(- 8a4*+»o/)‘
-h l,a*b*-h G 0*6*- 8 ab*— JO b*
3® reste. R"= o
D'après le théorème rappelé tout à l’heure, le jtremier terme
8 rt’’
du quotient égale ^-p; ce premier terme est donc 4 «’ (toujours
en supposant qu’il y ait un quotient).
Multiplions le diviseur B par et retranchons de A le produit 8 rr' -|- 1 2 — jÇxr^b'^ — loa'^b^ : le reste R sera égal au produit de B par l’ensemble des autres termes du quotient cherché.
On peut, évidemment, raisonner sur R comme on a raisonné sur A; et, en divisant le monôme joa'b, premier terme de R, par premier terme de B, on trouve le deuxième terme du quotient, etc. En continuant ainsi, on arrive à un dernier reste nul; donc A = BQ; donc le polynôme Q est le quotient demandé.
S. 11 peut arriver que, le dividende et le diviseur étant ordonnés par rapport à une lettre «, les coeflicionts des diverses puissances de cette lettre deviennent des jwlynômes, des
autres lettres b, c, d, Cette circonstance no modifie en rien
les raisonnements précédents; seulement la recherche dis divers ternies du quotient exigera des divisions partielles, dans lesquelles le div iseur, constamment égal au coefiieient de la plus haute puissance de a dans le diviseur donné B, pourra être un polynôme. Soient, par exemple,
A— — ibe[b^— bc-\-c^)n^-\-[b-{-c) (//‘ — !dc'-\- e‘ ja’
— be (b’-h } (b- -h be c'^)u -\-lp c) c® ),
B = [Id— ÔC-+- [b 4-c) [Id — be a 4- Id— /y’c’-|-r‘.
^’oici comment on dispose le calcul , après avoir ellectué les produits indiqués:
1 — bc
c»I -6vt = B -f-c* /
H-ic* I ^
fc'c*
-fc'c*
« fc«
— ic‘
-f- 6‘c 4- i‘c* -+• 2 i® c* -+- A*C‘ H- ftc‘ -H <■•
— bc*
ALGÈBKK. 5
Première division fmrtielle.
+ <■’ l)‘ — hc + f’
— Iè~>r b' c — bc'^ b c l)‘ c — bc'^ -f- r’
Deuxième division partielle, lè — h^c c‘ — bc^ + f ‘ b^ — be
Ir c’ — bc -f-
Troisième division partielle.
lè lè c'‘ b'‘ à — bc-\-c'‘
— b’' b^ c — b^ c‘ b^->rb'‘c-\- bà + r’
-^rb^c^
— b^c^-\~ b^ à — bP
6. Divisions impossibles. — Avant d’indiquer les caractères d’im/fossibilité de la division, nous ferons les remarques suivantes: 1°. Dans certains cas, on peut être conduit à écrire au quotient un terme fractionnaire, sans que cependant la division soit impossible.
Par exemple, si l’on essaye de diviser Sxè—yx^— 28^ + 20 par 12.x'— 24 .r’, on trouve , pour les deux premiers termes du quo- 2 3
tient , - et - — ; mais on aurait tort de conclure , de la présence
O i\ PC
de ces fractions, que le calcul ne se terminera pas : en effet, une
troisième division partielle donne — pour quotient , et zéro pour reste.
GC
G ALGEBRE.
a". On peut toujours réduire la division de deux polynômes «jueleonqucs à la division de tieux |)olynômcs ayant chacun leurs termes entiers et premiers entre eux.
Soit à diviser
par
dX
Effectuant la réduction au plus petit dénominateur eoniiuun on aura
1 1 (d Id X
'tdx
® = = îÆ'
Par suite, le quotient cherché Q s’obtiendra en multipliant le 3 abx I
monôme fractionnaire
par le quotient 0' des deux
polynômes A', B’. Et il est visible que chacun de ces ))olynômes a ses termes entiers et premiers entre eux. En terminant le calcul,
* -y II > /'W iax—7.b^ 3 .i' b
on trouve Q — iax — ild\ donc Q = ; — -, =
^ab a %a
7. Quand le dividende et le diviseur sont ordonnés suivant les puissances descendantes ù'm\G lettre, et qu’ils ont été, s’il est nécessaire, modifiés comme on vient de le dire, il est bien facile de juger si la division proposée est impossible, c’est-à-dire si le calcul, prolongé aussi loin qu'on le voudra, ne donnera jamais un reste nul. En effet, tous les caraetères (dimpossibilité sont des corollaires de la proposition suivante, dont nous ne donnons pas 1a démonstration , parce qu’elle suppose des théories qui ne sont pas comprises dans le Programme {**).
Tiiéobème. — Ia’s termes du dividende étant entiers {“*), et les
(♦) Yoyet la note sur le plus petit multiple ( R., Alg., 70).
(**) Celte démonstration est fondée sur un théorème dont voici l’énoncé : Toute quantité première qui divise un produit de deur quantités entières, divise au moins l’une sVclles.
(**’*) Il ii’csl pas nécessaire que les termes du dividetide soient premiers entre eux.
ALGEBllE. 7
ternies du diviseur élnnl entiers et premiers entre eux, la ilivision sera nhsolument impossible, si le premier terme (Cun dividende partiel queleniupie n’est pas exactement divisible par le premier terme du diviseur.
Voici une application de ce théorème ;
Soit à diviser
par
1 a .r ' -j- I O — 7 4- 8 x' -i- 4 vc’ + 2 — i
r‘4- 3 .c’— S.r 4 t t).c‘4- fl x‘
lO
— lO
— h.iF
.r'-t-ioj.* — 7
4 Jr
Le troisième dividende partiel est — ÿ,5.r‘-l- 23.r‘4-. . . ; son
premier terme, divisé par 7.x', donnerait le (jiiolient //y/c/èw-
nuire division est impossible.
8. Si le dividende et le diviseur sont ordonnés suivant les puissances ascendantes d’une lettre, il peut arriver que l’on obtienne indéfiniment quotients partiels entiers. Mais, dans ce cas, une remarque très-simple permet de reconnaître l’impossibilité de la division. En effet, si le quotient e.viste, .son dernier terme, multiplié par le dernier terme du diviseur, doit reproduire le dernier terme du dividende. Par conséquent :
Le dividende et le diviseur étant ordonnés suivant les puissances ascendantes (Fune lettre, si F on est conduit à écrire au quotient un terme dans lequel Fc.iqiosant de cette lettre surpasse la différence entre les exposants de cette meme lettre dans les derniers termes du dividende et du diviseur, la division est impossible.
Par exemple, i 4-.r’ n’est pas divisible par i 4-.r, parce que le calcul ne se lermine pas à la deuxième division partielle.
9. Quotients entiers. — Lorsqu’un dividende et un diviseur entiers , A et B , ordonnés suivant les puissances descendantes d’une lettre , conduisent à un reste R de degré moindre que le diviseur, le polynôme Q, formé par l’ensemble des quotients partiels, porte le nom de quotient entier, par analogie avec ce qui a lieu dans la division des nombres entiers. On a eu outre, comme dans cette espèce de division,
10. Remarque. — Le quotient entier ainsi obtenu peut être fort différent, suivant que les polynômes donnés sont ordonnés par rapimrt à telle ou telle lettre. Ainsi, en divisant cr*—
par a b, on trouve
Q = 3ni>-l-3i’, R = -4A^
mais si l’on divise ~ id‘b par b a, on obtient Q = — ob — a', R = -2 0^.
divisibilité d'un polynôme par un binôme.
H. T iiÉORÉME. — Le reste de la division (T un polynôme X, entier par rapport h x , par le diviseur x — a, est égal au résultat que l'on obtient en rcmplaeant x par a dans ce polynôme.
Concevons que la division soit continuée jusqu’à ce que l’on arrive à un reste indépendant de x ; désignons par R ce reste , et jmr Q le quotient. Nous aurons
Dans cette relation, qui doit avoir lieu quel que soit x, rem- ])laçons X par a : le produit (x — «)Q s’annulera, car le facteur .r — a devient zéro pour x = a, et l’autre facteur est fini; d’ailleurs, le reste R n’aura pas changé. Donc, en désignant par X^ ce que devient X après la substitution , nous aurons
C’est ce qu’il fallait démontrer.
42. CoBOi,LAiRE. — Pour que le polynôme X , entier par rajqxnt à .r, soit divi.siblc par x — a, il faut et il suffit que ce jiolj nônfb .s'annule quand on y remplace x j)ar a.
