RECHERCHE DES RACINES INCOMMENSURABLES
360. On a vu, précédemment, comment on peut déterminer les racines commensnrables d’une équation à coefficients rationnels ,
(*) La lecture de ce chapitre exige des notions sur la théorie des coordonnées rectilignes et sur celle des tangentes. ( F<y'e* la Géométrie analf tique .)
■il O
ALGEBRE.
et comment la résolution d’uno équation qui a des racines égales peut être ramenée à la résolution d’équations plus simples. Nous supposerons donc, dans ce qui \a suivre, que l’équation donnée n’a aucune racine commensurablo, ni aucune racine multiple; les racines do cette équation seront donc, ou incommensurables, ou imaginaires; mais nous ne nous occuperons pas de ces dernières.
I.a recherche des racines incommensurables d’une équation /(.r) = O SC décompose en deux parties: i" la xêparnüon des rriri/ics; 'i." le calcul des racines.
Séparation des racine*.
3()1. Les racines sont dites séparées, quand chacune d'elles est comprise entre deux tpiantités connues , qui n'en comprennent aucune autre.
Pour essayer d’eflectucr cette séparation, on peut d’abord procéder comme il suit ;
Ayant déterminé une limite inférieure et une limite supérieure des racines, on substituera, dans/(.r), les nombres entiers compris entre ces deux limites {*), et l’on comptera le nombre des variations de signes que présente la suite formée par les résultats de ces substitutions. S'il arrive que ce nombre soit égal à la limite supérieure du nombre des racines réelles , donnée par le Théorème de Descartes , les racines seront évidemment séparées.
Soit, par exemple, x‘-|- lo x’ — i5.r -i- i = o. Parla règle des signes, on reconnaît que cette équation n’a aucune racine négative, et qu’c//c peut avoir deux racines positives. D’ailleurs, -|- 2 est une limite supérieure des racines; et, si l’on désigne par r le premier membre , on trouve
pour .r = O, r -b I ;
(*) Quand ces limites sont fort écartées, îe nombre des substitutions inutiles jieut devenir très-considérable. Pour al)ré(;er, on se contente, au
moins dans un premier essai, de substituer les nombres — loo,
— 10, — I, O, I, -(- 10, -t- 100,. . ., après <|uoi l’on resserre les intervalles.
ALGÈBRE. uii
La suite des valeurs de.v présentant (/eit.r variations, les racines sont séparées : l’une est comprise entre o et i , l’autre entre i et a.
3G2. Application du calcul des dijfércuces. — Quand les valeurs attribuées à .r, dans/(.r), sont en progression par difîércnce, on peut employer utilement le calcul des ditlérences pour obtenir les résultats de ces substitutions (3 i9). Soit, par exemple, l’équation
La substitution directe donne
pour .r = — I , f = I ;
D’ailleurs, la différence quatrième de y est constante, et égale à 'Xi\. Nous pouvons donc former le tableau suivant ;
Sy
» Les seules racines positives que l’équation puisse admettre, sont séparées : l’une est comprise entre 1 et 2, l’autre entre 4 et 5. Pour essayer de séparer les deux racines négatives, si elles existent, prolongeons, dans sa partie supérieure, le tableau précédent ; nous obtiendrons celui-ci ;
lO
AS
•il'i
.M.GKBUK.
La séparation est cU'ectuée : l’équation a une racine comprise entre — 3 et — -i, et une autre racine comprise entre — ‘jl et
3G3. Il est très-rare que le procédé dont nous venons de faire deux applications, permette d’effectuer la séparation des racines incommensurables d’une équation donnée, ou même de dvicrmiuer le nombre de ces racines. Dans la plupart des cas, le nombre des variations que présente la suite des valeurs de/{x) est inférieur à la limite du nombre des racines, donnée par la règle des signes. Il est vrai que si l’on attribue à .r des valeurs en progression ,
dont la différence constante soit d’abord puis puis
lO lUO
- ; etc., la probabilité que les racines finiront par se séparer,
augmente à chaque série de substitution. Mais, d’une part, les calculs auxquels on sera conduit ^insi pourront devenir excessivement prolixes; et, d’un autre côté, si l’équation a des racines imaginaires dont l’existence n’ait pas été indiquée par le théorème de Descartes, ces calculs, qu’il n’y aura aucune raison de ne pas continuer indéfiniment , auront été ejfectués en pure perte (*).
36i. Application au troisième déféré. — La méthode précédente , quoique peu satisfaisante en général , peut cependant être appliquée avec quelque avantage à l’équation du troisième degré, non-seulement pour opérer la séparation des racines, mais encore pour approcher indéfiniment de chacune d’elles. Avant de justifier ces propositions par un exemple , nous résoudrons la question suivante ;
(*) Soit l’équation x*-(-3x’ — 2x-(-i = o. On peut prendre, pour
limites de scs racines , o et - • Mais , ainsi qu’on le verra plus loin , cette
équation n’a aucune racine réelle. Si donc on n’était pas prévenu de
cette circonstance, et qu’on voulût essayer de séparer les racines en don-
nant a X les valeurs o, j »
I 000 000 I 000 000 I 000 000 I 000 ooo
on trouverait que les 333 335 substitutions donnent des résultats positifs! Cet exemple suffit pour montrer quelle est la valeur scientifique du procédé auquel les auteurs du Programme ont donné le nom de Méthode des Jiffcrences.
AUiKBRK. ii3
Connaissant les diD’crences successives tic la Jonction •r* -I- /«•’ 4- f/x 4- r = /(x) = r,
cjni corresjxmclent h une certaine différence de x, trouver les différences de la même fonction , corresixmdant a une différence de x, dix fois plus petite (fue la première.
Nous aurons d’abord , par la formule de Taylor ;
ou — ( 3 4“ ’-z px 4“ *i') 4“ ( 3 X 4~ p ) 4~ Id ^
puis, par un calcul facile,
Dans ces diverses formules, remplaçons h par -^i et représentons par la caractéristique <î les nouvelles dilTérenres; nous obtiendrons
^ >■ = ( 3 4- 2 /zr 4- 7 ) — 4- ( 3 X 4- w 1 ~1 — i
' ' lO ' ^ UK) lOOO
lOO
lOOO
lOOO
La dernière formule équivaut à
Pour exprimer lî’ v en fonction de A’ r, éliminons 3x 4-/<; nous aurons
^’j=o,oi.A’r — o,o54./zL (a)
De même, en éliminant 3 x* 4- 2/jx 4- on obtient
Sr ~ 0,1 .A > — {0,1 — 0,01) (3x 4- />)//’ — 0,99.//.
Mais (3x4-/»)/i’ = 3/P;
donc, en réduisant.
oy — o,i.A> (i)|i
•ii4 ALGÈBRE.
36o. Nous appliquerons les formules (i), ( i ), (3), à la séparation des racines positives de l’équation
1^ substitution des nombres entiers donne d’abord
L’inspection de ce tableau, ou mieux encore la construction de la courbe ayant j)‘ pour ordonnée, montre que l’on doit chercher les racines entre les nombres i et i.
Nous supposerons donc, dans les formules ci-dessus,
// = I, G, A’)-= i'jI, Ar =; o;
d’où lî ^ 7' := o,oü6 , = o,oG6, <î.>' = — 0,369.
Ces dernières valeurs, jointes à x = i et r = i, permettent de former le tableau suivant :
o,ooG
— OiO.'lG
(*) La condition </’<o (521, i“) se réduisant à — 28-+-a7<;o,
l’équation a scs trois racines réelles. Pour séparer les deux racines po-
sitives, il suflirait (322, Il ) de remplacer x par o,
ALGEBHK.
ui5
On voit que l’une (les racines est comprise entre i,3 et i,4, et l’autre, entre i,G et 1,7. La séparation étant ell'ectuée , on peut, en appliquant de nouveau les formules du numéro précédent , évaluer cliacune des racines à moins de 0,01; et ainsi de suite, Voici le tableau des calculs relatifs à la racine comprise entre 1, 3 et 1,4:
(?’) = o,oooooG, = 0,000786, Sy= — 0,018909.
0,000 ooG
1 0,000 ooG
1 0,000 ooG
La racine, comprise entre i,35 et i,3G, est beaucoup plus près de ce dernier nombre que du premier.
Calcul â«s racines.
3GC. Méthode de Nc^eton. — Supposons que, par un procédé quelconcpie, on ait trouvé une valeur approchée % d’une racine réelle do l’équation /(-r) = o. Désignons par a cette racine, et par /i la correction, positive ou négative, que l’on doit faire subir à a pour obtenir a. Nous aurons
«7 = a + //, /( ar -P // ) = o,
c’est-à-dire
/(a) + /i/' ( a) -4- ^ /W m étant le degré de l’équation.
Cela posé, la quantité h est suffisamment petite , les termes en h\ A^,. . ., A™ seront ordinairement très-petits par rapport aux deux premiers termes : la méthode de Neivtnn consiste à négliger complètement ces puissances supérieures de A, et à remplacer
ii6 ALGÈBRE,
l’équation i)rcc-cdenle par celle-ci :
d’où l’on conclut h
Telle est la formule de Newton.
367. Interprétation géométrique. — Soit AB un arc de la courbe représentée par Y = /(-r), et soit R le point inconnu où elle coupe l’axe des x ; la distance OR représente la racine inconnue a.
Au point A, qui a pour abscisse la va- ^ leur approchée a = OC , menons la tangente AT. Nous aurons, dans le triangle rectangle ACT,
