CT

AC

tang ATC

Mais

donc

AC =/(a), tang ATC = — tang AT æ' = — /'(a);

pT f i^)

Cette valeur étant égale à celle de h, donnée par la formule (i), il s’ensuit que la méthode de Newton consiste à remj>lticer la courbe par sa tangente, au point dont I abscisse est a.

Cette remarque fait voir que, dans certains cas, la méthode de Newton pourra être complètement fautive. Par exemple, si l’arc AB a la forme indiquée ci-contre , et qu’on mène la tangente au point A , on s’éloignera de la racine, nu lieu de s’en rapprocher.

368. Rectification de la méthode de Newton. — Nous supposerons , dans re qui va suivre , que la séparation des racines a été opérée, en sorte que la racine inconnue a, dont on veut approcher, est comprise entre deux quantités données a, fi, qui ne coin-

prennent aucune autre racine de l’équation f(a:) = o. Nous admettrons , en outre , que ces deux limites ne comprennent aucune racine, soit àef'(jc) = 0 (*), soit de/*(x) = o. Ces diverses hypothèses peuvent être énoncées ainsi :

L’orr AB, dont les extrémités ont pour obéisses a et p, coupe une seule fois l*n.re des x; de plus, il ne contient ni point mnximum (**) ou minimum, ni jmint d'inflexion.

En effet, i” appliquons la correction de Newton à celui des deux points donnés pour lequel la tangt;nte^mbe dans l’ intérieur du triangle formé par la courbe, Vaxe des abscisses et l'ordonnée du jxtint : l’inspection des quatre figures ci-contre montre clairement

FIr. I. Fig. II.

(•) Cette première condition n’est pas absolument indispensable au • succès de la méthode; mais, quand elle est vérifiée, les approximations marchent plus rapidement.

(**) Point maximum, c’est-à-dire point dont l’ordonnée est un maximum. Cette ellipse a été employée par plusieurs bons auteurs.