Soit l’équation px ->r q

d’où

Pour rendre cette formule calculable par logarithmes, nous écrirons d’abord

Cela posé , trois cas sont à distinguer ;

1°. Si les racines sont réelles et que q soit positif, la quantité

— sera positive et inférieure à l’unité. Nous pourrons donc poser sin^ = ^V^-, (A)

d’où

î66 TRIGÜNOMfiTRIK.

puis, en séparant les deux racines,

X = — P sur - y,

• P cos -

2°, Si 7 est négatif, auquel cas les racines sont nécessairement réelles, la quantité — ^ étant positive, on posera

tangO=^y/^, (C)

cll-onaura x = - i T c’est-à-dire

sin’ ^ G

cos^

cos 0 ' ~ cos G

3“. Enfin, quand les racines seront imaginaires, on écrira

et, pour calculer le coefficient de v/— i, on pourra le mettre sous la forme sin w, en prenant

cos w =

26. Rrmarqiu-. — Dans ce dernier cas , les deux racines peuvent être représentées par

X = P (cos w ± ^/— I sin w) ,

P étant le module. Cette forme remarquable, à laquelle on peut ramener toutes les expressions imaginaires, en facilite beaucoup la théorie.

équation du troisième degré.

27. On a vu dans \ Algèbre (chap. XXI), i“. Que toute équation du troisième degré, à une seule inconnue, peut être réduite à la forme

X? A- px A- q — (i)

2°. Que la condition de réalité des trois racines est

Quand celte dernière condition (qui suppose p négatif) est vérifiée , on réduit très-aisément la résolution de l’équation proposée à la résolution de l’équation qui donne le sinus du tiers d’un arc a dont le sinus est donné (18). En effet, posons

d’où f pld y qld = O. (3)

Pour identifier cette équation avec l’équation citée, il suffit de prendre

Cette dernière formule donne une valeur réelle pour l’arc auxiliaire a (*).

En effet, la condition (2) équivaut à “““

ainsi , la valeur de l est comprise entre -1- i et — i ; etc. L’arc a étant connu , on aura , pour valeurs des trois racines ,