Deuxième cas. — On connaît les trois angles A, B, C
En appliquant l’équation (22) au triangle supplémentaire de ABC, on aura d’abord
. X /sin J (tt + B — A — C
tang J (, - ») =
C) sin j (tt + C — A — B)
C) sin ^ (tt + A — B — C)
puis, en posant cot
cos j ( A -1- c — B ) cos|(±V4- B — C) - cos A 4- B + C) cos i ( B 4- C — A ) ’
P-B)cos(P-C)
cosP cos(P — A)
48. Troisième cas. — On connaît deux côtés h, c et Pangle compris A.
(*) Les trois dernières formules, analogues à celles qui leur correspondent dans la trigonométrie rectiligne, donnent lieu aux mêmes remarques. Nous engageons le lecteur à retrouver, par leur moyen , les conditions
a < h -k-c, É<cH-a, c<a-f-fe, <i-t-fc-t-c<2^, nécessaires pour que le triangle soit possible.
(**) L’équation (23) donne lieu, comme la fbrmule(22), à une discussion que nous supprimons, pour abréger.
■j.Si TRIGONOMÉTRIE.
Les trois autres éléments du triangle seront déterminés par les équations
cos a = cos b cos c -i- sin i sin c cos A, (i )
cot^> sine = cotB sin A -I- cosecosA, (7)
cote sin A = cote sin A -t- cos i cos A, (10)
qu’il s’agit de transformer, de manière à en tirer des formules calculables par logarithmes.
49. 1°. Si l’on met cos^» en facteur dans le second membre de la relation (i), on aura
cos« = cos è (cos c -t- sinc.tang/; cosA) ;
et, en posant tangy = tang^> cos A, (24) cos b cosfc —
cos a = i ^ '
COSiy
2”. On tire, de l’équation {7),
coté sine — cos c COS A sine — cosctangècosA
cotB =
ou
sin A
cotB = —
sin A tans b
sin ( e — Ÿ ) sin A tang b cos y ’
ou enfin, à cause de tang 6 =
tang <p cos A ’
cotB =
cotA sin(e — ® ) cos y
3". En posant tang = tang e cos A ,
on aurait, pareillement,
^ „ cot A sin ( /; — ®' )
cote =
co s Y
50. Remarque. — Les transformations précédentes équivalent à la décomposition du triangle ABC en deux triangles rectangles. En
(*) En général, pejur transformer en produit une expression delà forme M cosx -t- N sinx, il suflît d’égaler ^ à la langcutc ou à la cotangente d’un arc auxiliaire.
TRIGONOMÉTRIE. vt83
effet, soit CP Tare mené du sommet C, perpendiculairement à AB.
On aura , par la formule de Mauduit ,
cos A = cot b tang AP.
Ainsi , AP = Ÿ ; etc.
51. Remarque. — L’emploi de l are auxiliaire suppose une seconde décomposition du triangle, obtenue en menant, ' du sommet B, un arc perpendiculaire à AC. On peut éviter cette nouvelle décomposition en calculant l’angle H formé par CP avec AC. On a effectivement
tang M
cot A cos
et
tang(C- M )
cot B cos«‘
les angles M et C — M' étant connus, leur somme donnera l’angle C (*).
S2. OuATRiÈME CAS. — O/l coiinait un côté a et les deux angles adjacents B, C.
Ce cas, que l’on ramènerait au précédent par le moyen du triangle supplémentaire, peut aussi être résolu comme il suit :
Le triangle rectangle BPC donne
tang(C — H ) = (-28)
tang { f — ç ) = COS B tang a, { -29 ) cos(C— H ) = cotr/.tangCP;
et, le triangle APC,
tang
cotA cos b ’
tang y = cos A tang b, cos 'f = cot b tang CP.
(*) On conclut, des deux dernières formules, cette relation entre les cinq cléments A, B, C, a, £ :
tangC —
cos a cot A -f- cos b cot B coK n cos b — cot A cot B
Éliminant langCP, on a donc
. , . cos(G — H ) ,
tans b = tane a — ^ , ( 3o )
cos M
puis tangA = , ? (3i)
COSi»
tang = COS A tang b. ( 24 )
L’équation {28) sert à calculer l’angle auxijiaire M‘, après quoi les formules (3o) et (3i) donnent b et A. Enfin, les équations (29) et (24) déterminent c au moyen de ^ et de c — y.
K3. Cl.NQLiÈME CAS. — On connaît deux côtés a, b, et Fannie A opposé h l’un d’eux.
Pour calculer l’angle B, il sulSt d’observer que la première des équations (4) donne
. sin^i . . .
sinB = -^ — smA, (32)
après quoi lesformules(24), (29), (27) et {28) détermineront complètement c et C.
JÎ4. Remarcjuc. — L’angle B étant donné par son sinus, le problème est imjMssible quand le second membre delà formule (82) surpasse, en valeur absolue, l’unité; et quand ce second membre est compris entre + i et — i , le problème peut admettre dcu.z solutions, ou une seule solution, ou enfin il peut être imjjossiblc. La discussion complète des différents cas qui peuvent se présenter est fort prolixe ; mais , quand a, b et A sont donnés en nombres, il est toujours facile de décider si l’on doit admettre ou rejeter l’une ou l’autre des valeurs obtenues pour B. Soient, par exemple,
On trouve
B = 49“38'i2" et B = i3o“2i'48".
Ces deux valeurs sont admissibles, parce qu’elles sont moindres que A, et que d’ailleurs n surpasse b [*).
Soient ensuite
(•) Dans tout triangle sphérique, à un plus grand côté est opposé un plus grand angle.
TlUGONOMÉTUlE.
On trouve encore
Ces deux valeurs , étant moindres que A, sont inadmissibles. Enfin, si l’on prend
rt = 72” 1 8' ao", i = 68"39'3o", A = 49“ > 10",
<l’où l’on conclut
B = 47“ 43' 44" et B= i32"i6'i6*,
on doit admettre seulement la première valeur de B.
35. Sixième cas. — On connaît deux angles A, B, et le côté a opposé à l*un d’eux.
Ce cas se résout comme le précédent. Il donne lieu aux mémos remarques et aux mêmes difficultés.
Analogàes de Bféper. — Formule* de Belambre.
56. Dans les quatre derniers cas , la résolution des triangles «bliquangles peut être simplifiée au moyen de relations remarquables , dues à Néper. Pour trouver ces relations , rappelons-nous la formule
tang|(A — B) a — b
COt Y C Cl — j— b
qui sert h résoudre Tin triangle rectiligne, connaissant deux côtés et Vanglc compris, et cherchons par quoi doit être remplacé le
rapport quand le triangle est sphérique.
En développant tang ^ ( A — nous aurons d’abord
Mais
tang 3- {A — B) __ tang ^ A tang ^ C — tang | B tang -1 C
COt ~ C
