I -f- tang Ÿ A tang -j B
tang ^ ^ )
/sin [p — b) s,in{p — c) / sin /V sin ( /y — a) '
tang i B = * 2 t
/sin (p — c) sin {p — a ) y sinj» sin(/> — /!») ’
/sin [p — c/) sin (/J — /y) / sinyysin(yy — r) ’
donc tang - A tang - B = — j
2 2 sin />
, In. If, sin(o — «)
° 2 2 sin/>
. I . , 1 „ sin ( O — /.I )
tang - A tang - G = — ;
° 2 ® 2 sm /P
et, conséquemment,
tang|( A — B) __ sin(/; — i) — sin {p — «) sin|(<i — ^»)cos|c cot^G ~~ sin/2 + sin(/ï — c) ~sin-j(/7 + ^>)cos|c’
ou tang^(A - B) ^ sini(a-
cot^G sin|(«4-6) Sans nouveau calcul, on peut écrire
ou
tangÿ ( A 4- B) sin (/? — b) sin{p — a) cot^G ~ sin/j — sin(/; — c) '
Umg^(A + B)cosi(fl — />) ,,,,
cot^G ~cos{(a + b)'
Enfin , la considération du triangle supplémentaire donne
tangJ-(/z — sin4(A— B)
tangjc sin-î(A+B)’ ' '
tang^(« + 6) cosj(A- B) .
tangue “cos^(A4-B)’ ^ ’
Les équations ( 33 ) , ( 34 ) , ( 35 ) , { 36 ) sont les proportions ou analogies de Néper.
57. Application à la résolution des triangles, — Si, par exemple, on connaît deux côtés a, b, avec l’angle compris G, les deux premières analogies donneront la demi-différence et la demi-somme des angles A, B, c’est-à-dire ces angles eux-mêmes ; après quoi l’on obtiendra le côté c au moyen de la troisième analogie ou de la quatrième. De même pour le quatrième cas.
En effet, si l’on connaît trois des quatre éléments «, A, B, on obtiendra le quatrième par la proportion des sinus (34), et l’on se servira ensuite de deux des analogies pour déterminer G et c.
