Soit X =: W "ï| En observant que

af + // = ( fl’ -1- ô’ )’ — a fl’ ô’.

nous aurons

On peut faire c = y/'fl’-t-ô’.

rf = ^ ; ce qui donne

X = y/c’ — arf’.

Or, si l’on construit un triangle rectangle ACB dans lequel les deux

côtés de l’angle droit soient CB = « et CA = ô, on aura AB = c ; puis, en abaissant CD perpendiculaire sur l’hypoténuse, CD = d\ car dans tout triangle, le rectangle de Ut base et de Ut lututeur est constant.

Prenons maintenant DE = DC; menons CE, qui sera égal à f/ et nous n’aurons plus, pour obtenir j-, qu’à construire une moyenne proportionnelle entre AB et CE.

23. Reinarqiw. — On obtient d’autres constructions do la même formule en écrivant

fl “H ^

^4= fl’

Nous laissons au lecteur le soin de les développer.

3o4 GÉOMÉTRIE

24. i“. Pour construire .r = a \/ni, tn étant un nombre, on fait passer a sous le radical , ce qui donne

X = yj ni(^ = ^ ma. a \

et X est une moyenne proportionnelle entre a et ma.

2°. Soit x = as!i — \/ï. Pour construire cette expression, transformons-la d’abord en

X = M a‘‘ (2 — v^) = sla {ia — a /3 j = ^a (2a — ^a.Za). Posons maintenant J = \Z«.3rt, z = ia —y\ et nous aurons

X = ^a[ia — z).

25. Soit X — a\jz. On peut écrire x = sja.a /3 = V^«\/3 a.a\ et on obtiendra x par deux moyennes proportionnelles.

De même , pour x = ^ fcj’ = a‘ Z, on aura

prenant b^=

— 2jr + Z

On obtiendra j et z en résolvant graphiquement les deux propor- «’ h <7’ b

tiens ^ Et si l’on pose t =: a k - —

— aj+z

) on

aura

d’où enfin x = y/TTt-

26. Jusqu’à présent nous n’avons considéré que des expressions rationnelles, ou des expressions irrationnelles renfermant seulement des radicaux carrés, simples ou composés. Ces expressions sont les seules dont nous ayons à nous occuper. En effet, on peut démontrer le théorème suivant :

Toutes les fois qu'un problème de géométrie sera résoluble nu moyen de la règle et du compas, les valeurs des inconnues pourront s'exprimer, soit rationnellement , soit nu moyen d'un nombre limité de rndienux carrés, simples ou composés.

ANALYTIQUE. 3o.'>

Il résulte, de cc théorème, que tout problème qui conduit à une équation invduciihle dont le degré n’est p.is une puissance de i , ne peut être résolu avec la ligne droite et le cercle. Ainsi, ladu- /dicutinn du cube, problème célèbre chez les anciens, et dont la solution dépend évidemment de l’équation ar^ — 2cr'= o, ne peut être résolue par la géométrie élémentaire. 11 en est de mémo, en général, pour la question dos deux moye/incx pmjmrtumncllcs et pour celle de la trisection de Van^lc, A plus forte raison ne peuton, au moyen de la règle et du compas, construire

x = a\jbi X = 5 — x = \J câ g\jc. [*].

Construction des racines des équations.

27. Il n’est pas nécessaire, pour que l’on puisse construire les racines réelles d’une équation , que cette équation soit résolue. Nous verrons plus tard quels sont les procédés que fournit la théorie des courbes pour la résolution graphique des équations quelconques à une seule inconnue. Quant à présent, bornons-nous à considérer l’équation du second degré et l’équation bicarrée.