Soit d’abord l’équation 4- + </ = o. En supposant tou

jours que X représente une longueur, il faut, pour l’homogénéité, que P et y, abstraction faite de leurs signes, soient une longueur a et une aire b^. Nous devons donc , en ayant égard aux différentes combinaisons de signes , considérer les quatre équations suivantes ;

x^ — nx -i- b’ = O,

x^ ax b^ = 0 ,

x^ — nx — Id = O ,

,r’ ax — Id = 0.

Si l’on remplace x par — x, les é(iuations (a) et (4 ) se changent

(*) Cependant, si dans la dernière formule on supposait b = aa.", y. étant conimcnsurable, on aurait x=uei’. Cc résultat particulier n’inlirine en rien les raisonnements qui précèdent, parce que, dans la théorie des radicaux, comme dans celle des fondions, on doit toujours supposer que la quantité dont on s’occupe a été mise sous la forme la plus simple possible.

îf>.

3o(i GÉOMÉTRIE

dans les équations (i) et (3). Donc l’équation générale du second degré peut toujours se ramener à l’une ou à l’autre des équations (i) et (3), lesquelles peuvent être écrites ainsi:

i“. Dans l’équation (5), la somme des facteurs est leur produit est Z»’; par conséquent, la construction des racines de l’équation ( 5 ) revient à la résolution de ce problème connu ;

Construire un rectangle équivalent U un carré donné U', connaissant la somme a des côtés adjacents.

Si les racines de l’équation (5) sont réelles, elles sont positives, et leurs valeurs sont représentées par les deux côtés du rectangle, attendu que l’équation (5) ne change pas quand on y remplace x par « — X.

2”. Dans l’équation (6), le produit des facteurs est et Pexcès du premier sur 1e second est a. Conséquemment, la racine positive de cette équation (6) sera représentée par le plus grand côté du rectangle équivalent nu carré donné l?, et dans lequel la différence des deux côtés adjacents est a [*).

Quant à la racine négative de cette môme équation (6), je dis que sa valeur absolue sera représentée par le plus petit côté du même rectangle. En effet, d’après ce qui précède, cette valeur est donnée par la racine positive de l’équation (4 ), ou, ce qui est la même chose, par la racine positive de

Or, cette équation exprime évidemment qu’un rectangle dont l’un des côtés est y, et dont l’autre est r-\-a, équivaut au carré i’; J est donc le plus petit côté du premier rectangle.

29. Si nous avions résolu l’équation (3), nous aurions trouvé

Prenons , sur une droite indéfinie , AC = CB = ^ ; élevons la

perpendiculaire BD = b, et prenons CE = CF = CD.

Il est évident que la première valeur de x est représentée par

(') Vojcs, pour ces deux problèmes, mes EIcments dr Géométrie.

ANALYTIQUE. 3o;

AE, el que la seconde, prise positivement, est représentée par la

distance kY . En meme temps, à K'opjMsttion de signes des deux valeurs de .r, correspond Vopimsitiomle sens des deux distances AE, AF. Sous ce point de vue, la construction modifiée est préférable à la construction indiquée tout à l'heure.

30. Parmi les équations du quatrième degré , bicarrées , nous prendrons seulement , pour abréger,

X* — (d ad = O.

Posons — Ly\ nous aurons

f-jX+h^=o, ou = b\

Conséquemment, après avoir construit les racines /' et >•" de cette équation du second degré , nous devrons , pour avoir les valeurs de X, chercher les moyennes proportionnelles entre b et chacune de ses racines. De là , résulte la construction suivante : Sur deux droites perpendiculaires entre elles, prenez OA = «, OB = menez BA; et, à son extrémité, élevez la perpendicu-

laire AC. Sur OC comme diamètre, décrivez une demi -circonférence.

Menez , parallèlement à BC, et à une distance b de cette ligne, la droite DE. Abaissez DD' et EE' perpendiculaires sur BC; puis , sur BE' et BD', comme diamètres, décrivez deux circonférences. Soient F, F', G, G', les points où elles coupent la droite OA: les distances OE, OG, OF', OG' représenteront, en grandeur et en signe.

les quatre racines de l’équation proposée.

GÉOMÉTRlli