THÉORIE DE LA LIGNE DROITE
Préliminaire*.
100. Théorème. — Toute équation du premier degré, entre deux coordonnées rectilignes x, y, représente une ligne droite.
Soit l’équation Ax + Bjr4-C = o. (i)
Si A = O, l’équation du lieu se réduit à B j + C = o ; et, B étant
différent de o , on a j = — g >
ou y~ b.
Nous avons vu que cette équation représente une parallèle à l’axe des abscisses, menée à la distance b. De même, si B était nul, l’équation Ax4-C = o représenterait une parallèle à l’axe des ordonnées.
Revenant au cas général , nous aurons r = — ^ .r — ^ ,
ou y — ax b. [1)
Construisons d’abord y' — ax : cette équation est vérifiée par
X = O, y = o\ donc le lieu passe par l’origine. Prenons ensuite
OA = I , AB = a :
le point B appartiendra au lieu demandé. Menons OB : cette droite est ^ le lieu représenté par y = ax. En effet, par les triangles semblables ABO, POM, on a
MP = ^ • OP = ax = /;
OA
donc M est un point du lieu.
Pour passer au lieu de l’équation (2), il faut évidemment augmenter chaque ordonnée MP de MN = b, ce qui donne une parallèle NE à OBM. Elle rencontre l’axe des ordonnées au point E,
distant de l’origine d’une longueur OE = ; c’est pourquoi la constante b est appelée ordonnée à l’origine. Si b est positif, E sera au-dessus de l’origine : ce point serait au-dessous si b était négatif.
401 . Le coefficient angulaire a est égal au rapport des sinus des angles que fait la droite OB avec les parties positives de l’axe des X et de l’axe des y (60). Si donc a est le premier angle et que 6 soit l’angle des axes ,
sina
^ ~ sin(0 — <i)
Quand les axes sont rectangulaires,
a = = tang a.
cos a °
102. Autre forme de l’équation de la ligne droite. — Représentons par P Qi q l’abscisse et l’ordonnée à l’origine ; savoir :
= , = -ji dou A = --. B = -~
En substituant ces valeurs dans l’équation (i), nous trouvons
P fl
ou, en divisant par C, qui est différent de zéro,
103. Construction de quelques équations particulières. — 1°. y~ix—Z. On cherche les points de rencontre de la droite
avec chacun des deux axes : x = o donne j = — 3 = OB ; pour y — o,
X = - — OA. Donc AB est la droite demandée.
On aurait pu construire d’abord j= a j:, ce qui aurait donné OM, et mener, à une distance — 3 de l’origine , une parallèle à cette droite.
ar = O donne ;
X = 4 donne / = — 6 — j-
On prend donc, sur le prolongement de Oj, OB = ^;.on prend ensuite
OP =4, PM = 6-i-^:
BM est la droite cherchée.
104. Équation de la ligne droite en coordonnées polaires. — Abaissons du pôle , sur la droite donnée AB, la perpendiculaire OP = />, et nommons a l’angle de OP avec l’axe polaire O A’. Ces données conviendraient à AB et à la parallèle A' B' : on évitera l’indétermination en supposant positive la distance P et en faisant varier l’angle a de o à 2
Cela posé , OV = p est la projection de OM = a ; l’équation cherchée est donc >
OP = OM cos (a — «>>),
ou
cos (a — w ) 105. Soit, plus généralement,
Bsin w -4- C cosw
Posons C = /B’ -1- C’ cos a , B = \/B’ 4- C’ sin a ;
nous aurons
ou
en prenant
V^B'^ -4- C’ cos ( a — w) ’
cos ( a — w )
Di;^ " '“J by Cii« »^Ie
35o GÉOMÉTRIE
Ainsi, toute équation de la forme (i) représente une ligne droite. On serait arri%'é plus simplement à ce résultat en chassant le dénominateur; car
Bm sin w + C^^cosw = A équivaut à Bj-f-Cx = A.
Problèmes sur la ligne droite.
106. Problème I. — Trouver l’équation d’une droite passant par un point donné. — Cette équation est de la forme
y =. ax b.
Elle doit être vérifiée par les coordonnées x', y du point. Donc
y ■— ax'-\- b
est l’équation de condition entre a et b. Retranchons membre à membre , et nous aurons , pour l’équation demandée ,
107. Remarque. — Le coefficient a reste arbitraire : il faudrait, pour le déterminer, assujettir la droite à une autre condition , par exemple à la condition de passer par un second point.
108. Problème H. — Trouver l’équation d’une droite passant par deux points donnés.
La droite passant par le point (x', j'), son équation sera de la forme
Cette équation doit être vérifiée par les coordonnées x", y du second point; donc
y — y — a{jf — x').
Si l’on divise membre à membre, a est éliminé, et l’on obtient
ou j y=-L^,(:r-x').
109. Problème III. — Étant donnée l’équation d’une droite, trouver les angles que fait cette droite avec les axes.
Soit y = ax -\-b l’équation donnée. On a ( iOl )
sin a
et enfin,
sin(& — a)
Cette équation donne fl ( sin 0 cos a — sin a cos 0) = sina, fl ( sin 0 — tanga cos a) = tanga; asin0
tang a =
I + a cos 0
HO. Remarques. — I. Ainsi qu’on l’a déjà vu, l’angle a est celui que forme la partie positive de l’axe des abscisses avec le segment de droite situé au-dessus de cet axe , passant par l’origine , et parallèle à la droite donnée.
n. La formule (i) n’est pas calculable par logarithmes, mais il est aisé d’en trouver une autre qui le soit.
En effet, de
fl sin a
I sin (0 — a) ’
on conclut , par les propriétés des proportions ,
fl — 1 sina — sin(0 — “) tang(a — -J- 0) fl -4- I ~ sina 4- sin (0 — a) ~ tang-jô ’
puis tang^a-i0^ =^-^tang^0 (*). (a)
111. Si l’on résolvait par rapport à x l’équation j = ax -t- 6,
le coefficient de j deviendrait — Conséquemment, pour déterminer l’angle 0 — a formé par la droite 0.\ et par O j, il suffit de changer fl en - dans la formule (i). On obtient ainsi
fl ^ '
tang ( 0 — a ) =
sin0
fl H- cos 0
(') Cette dernière formule a été déduite de la Talcur de a par le procédé qui sert à résoudre un triangle rectiligne, connaissant deux cotés et l'angle compris. Cette identité de solution tient à ce que, dans le triangle OPA, on peut supposer OP = i, PA = a, et que d’ailleurs OPA = x — 6.
35a GÉOMÉTRIE
m. Problème IV. — Trouver l’angle de deux droites dont les équations sont données.
Par l’origine, et au-dessus de Taxe Ose, menons des parallèles OA, OA' aux deux droites ; l’angle AOA'= V sera égal à deux des quatre angles formés par ces lignes. En conservant les notations précédentes et en - supposant , pour fixer les idées , «' > « , nous aurons
asinO
a'sinO
tang a = , -7, 1 tang a' = — ; — ,
° i+acesO i + ncos9
par conséquent,
tang g' — tang a (^i
tang V =
ou enfin.
