Soient

les équations de deux courbes. Si l’on combine ces équations par voie d’addition ou de soustraction, ou plus généralement, si on les ajoute après avoir multiplié l’une d’elles par un facteur numérique A, l’équation résultante,

+ = Oi (3)

représentera un lieu géométrique qui passera par les points d’intersection des deux premières lignes.

En effet , tout système de valeurs de x et de j satisfaisant aux équations (i) et (2) satisfait évidemment à l’équation (3).

(*) U est bon d’observer que, si l’on multiplie membre à membre les deux équations A = A', B = B', l’équation résultante AA'=BB' ne pourra pas tenir lieu des proposées : seulement, elle représente un lieu géométrique qui passe par les points communs aux lignes représentées par ces dernières. Par exemple, si l’on multiplie membre à membre les équations x = y-\-\, x z= — j' h- a , qui représentent des droites, on obtient

x*-hy*—y — 2 = 0,

équation d’un cercle.

Il y a plus; comme l’équation (3), quand on y considère x et jr comme des inconnues , peut tenir lieu de l’une ou de l’autre des équations (i), (2), il s’ensuit que deux quelconques des lignes représentées par les équations (i), {2), (3) ont les mêmes points d’intersection.

97. La première proposition subsistera généralement encore lorsque 1 sera une fonction de x et de j, mais la seconde n’aura plus lieu.

Ainsi, soient x’ + — 2 .r +y -1- 1 = o, x -\-y —1=0, les

équations de deux lignes qui se coupent aux points représentés

par(x= I, o), binaison suivante :

ou 3xjr — 3/ + X— 1 = 0,

on aura un lieu qui passe par les points d’intersection des deux autres lignes, mais qui, de plus, coupe le premier lieu aux points ayant pour équations

98. Théorème. — Une courbe de degré m ne peut être rencontrée en plus de m points par une droite.

Dans l’équation F(x, j) = o, faisons o; nous obtiendrons une équation /(x) = O dont les racines réelles nous donneront les points de rencontre de la courbe avec l’axe des x. Or, l’équation/(x) = o, dont le degré ne surpasse pas m, a, au plus, m racines réelles ; donc la courbe ne peut rencontrer l’axe des abscisses en plus de m points; et comme on peut prendre pour cet axe une droite quelconque, sans que le degré de l’équation de la courbe change (94), la proposition est générale.