Il résulte de là que si l'équation de la ne •change

pas quand on remplace x et j par — x et — ^qrigig^^t un centre. En particulier, si la courbe est algéhriq^‘ et qua^st^n équation ne renferme que des termes de même jfànté, l’ét;t^tnc est un centre. '

190. La réciproque n'est pas nécessairement vraie; c’est-à-dire

qu'une courbe dont l'équation contient des termes de parités différentes, peut avoir pour centre l'origine. ^

Considérons, par exemple, l’équation x‘-|-j^* — i = o, qui re--^présente une courbe rapportée à son centre comme origine ; et supposons que l’on multiplie le premier membrë par

L’équation ré^ltapf^y^ ' ■

qui , développée ,*^^ient des termes de degré pair et des termes de degré impair, équivaut à l’équation primitive; car le facteur (x -1- égalàà zéro, ne représente aucun lieu géométrique. ^ «

Dans CO qui suit, nous supposerons, pour plus do simplicité, que l’équation proposée soit irrédùct'Mc. En même temps, nous admettrons la proposition suivante :

Si une courbe algébrique , dont' l’équation est irréductible , a pour centre l'origine des coordonnées , tous les termes de cette équation seront de meme parité.

I9I. Théorème I. — Si une courbe a deux centres, elle en a une infinité distribués uniformément sur une droite.

Soient 0, 0' deux centres d’une courbe à laquelle appartient le [loint A. Si nous menons les droites AO, AO', et que nous prolongions chacune d’elles d’une longueur égale, les points A', B appartiendront à la courbe.

Menons A'O'B' et prenons B'0'= A'O': B' sera sur la courbe. Enfin, si nous menons encore BB' et OO'O", nous obti^drons ainsi un parallélogramme AA'BB', dans lequel 0"B = OH“B', êl O'O’^: 00'. Par suite, le point 0", dont la position est indépoadante de la direction attribuée à AA', partage en deux parties éghles toutes les cordes telles que BB' ; ce point est done^ çentrë. En réjiétant la construction , on voit que la courbe a une infiiütéÿlc centres distribués uniformément sur le prolongement’ de 00',

f95. 'Théorème II. — Si une courbe a trois centres A, B, C«o« situés en ligne droite , elle en. admet une infinité distribués uniformément dans son plan.

Sur la droite indéfinie .\B, prenons BD = AB, DE = AB, etc.

Par les points A, D, E,. . ., menons des parallèles à BC. Coupons ces parallèles par les droites CH, FI, GK,..., parallèles à AB et éiiuid^tantes. Les points do rencontre de ces dOW^ystèmes de droites seront autant'^ ^nt^s.'^ ,

En eflet, M étant un point de la courb^Koqstruiiigns les points M', M" syVnétriques de M relativement aux'çcjifés A7 B ; construisons, ensuite le point M'* symétrique de M" p^r. rapport au centre C. Il est facile de voir que les points M', M" seront symétriquement placés relativement au quatrième sommet 0 du parallélogramme ABCO. Le point 0 est danc un centre; etc.

193. Théoiikhe ly. — Une courbe algébrique ne peut avoir plus d’un centre.

Il résulte, en clTot, de la construction ci-dessus (191), que si une courbe a pour centre les points 0 , 0', la droite A' B rencontrera cette courbe en une infinité de points; ce qui ne peut avoir lieu pour une courbe algébrique (98).

3>étermination du centre.

194. Pour savoir si une courbe dont l’équation est/(jr, j) = o a un centre, on trans[)orte les axes parallèlement à eux-mômes , do manière que l’origine soit le centre inconnu. Si « et 6 sont les coordonnées de la nouvelle origine, il faudra que 'chacune des deux équations

représente la courbe. Par suite, en éliminant x' ou y entre ces dernières équations, on devra parvenir à une équation qui serait identique, si la nouvelle origine était effectivement un centre.

On exprimera donc que cette même équation est vérifiée par une valeur arbitraire de >' ou de x\ et l’on obtiendra ainsi des équations entre « et b. Si l’on y peut satisfaire par un système de valeurs réelles et finies de a èt de b, la courbe aura un centre unique. Dans les autres cas, elle n’aura aucun centre ou elle en aura une infinité.

195. Soit, par exemple , la sinusoïde, représentée par y = sin.r. L’élimination de y\ entre

6 = sin (x'-f- rt) et — y-l- ^ = sin ( — x'-i- «), donne = sin« cos.r.

Pour que cette équation soit identique , il faut que l’on ait b = o, a = kit.

Par conséquent, la sinusoïde a une infinité de centres y^tués à

l’intersection de la courbe avec l'axe des x. a-

Application an second ordre.. '