RÉDUCTION DE L’ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ

Disparition des termes du premier degré.

200. Pour étudier les propriétés des courbes du second ordre, on cherche d’abord à ramener l’équation de ces courbes à la forme la plus simple possible. C’est là le but de la*neV/«cf/o« de Véquation générale du second degré.

Soit A J*-!- Cx’-I- D/ + Ex 4- F = O (i)

l’équation de la courbe donnée. Supposons d’abord que cette courbe soit une ellipse ou une hyperbole. En transportant les axes parallèlement à eux-mêmes , de manière à prendre le centre pour nouvelle origine, nous aurons (196), au lieu de (i),

Ajr^4- B.rj + Cx’4- F'^ o, (a) en posant F' = A 6’ 4- B^é V Ca’ + Dè 4- Er/ + F.

4o2 Géométrie

On peut simplifier cette expression de F'. En effet, les équations du centre étant

2 A^» + Ba -f- D = O, 2Cfl + E = o;

si l’on multiplie la première par b , la secdfade par a, et qu’on ajoute les résultats, on trouve

2 A -H 2 B«i> 4- 2 Ca’ 4- D 6 4- E « = o,

ou Xb^-^-B ab 4- G 4- — 4- — = o ;

donc F' = — 4--- 4-F (*).

Ainsi , le terme indépendant des variables, dans l’équation transformée, se compose du terme indépendant primitif, augmenté de la demi-somme des termes du premier degré, dans lesquelles on aurait remplacé x et y par les coordonnées du centre (** ).

Disparition du rectangle.

201 . Supposons maintenant les axes rectangulaires : s’ils ne l’étaient pas, on commencerait par faire tourner l’axe des/ autour de l’origine, ce qui n’introduirait aucun terme du premier degré dans l’équation (a).

Pour faire disparaître le rectangle des variables , changeons la direction des axes, en les laissant perpendiculaires entre eux.

Les formules de transformation étant :

X =z x' cos a — /' sin st, y = x' sin a 4-/' cos a , la substitution donne

A co s’ oc

/”4-2^ sinacosa

x'y-\-X sin’ a

— Bsinoccosa