C cos’ a

— 2Csin«cosrt

(*) Si l’on remplace a et b par leurs valeurs ( 196) , on obtient

„ AE’-i-CD*— BDE ^ h*- 4AC .

(**) Cette simpliGcation, analogue à la réduction de l’équation de la tangente (156), est fondée, comme celle-ci, sur le théorème des fonctions homogènes (15i>).

ANALVTIQÜE. 4o3

L’angle x, que fait le nouvel axe des abscisses avec l’ancien, sera déterminé par l’équation

(A — C) 2Sin a cos a -|- B (cos’ a — sin’a) = o (*), (3 ) ou (A — C ) sin a a H- B cos a a = o ;

d’où tangaa = — Q- (4)

iùi. Cette formule donne toujours pour a a une valeur réelle, attendu que la tangente peut passer par tous les états de grandeur; donc la réduction proposée est possible.

11 n’y a qu’une manière de l’effectuer (** ). En effet, soit a a' le plus

petit angle positif de a a seront

ayant pour tangente

les valeurs

aa = aa', aa=aa'-4-7r, a a = a a'-f- a tt, aa^aa'-J-37r

On aura donc

a = a', a = a'-l — j a = a'-f-îr, a

Ces valeurs de a répondent à deux droites perpendiculaires et aux prolongements de ces droites; elles déterminent donc un seul sys* tème d’axes.

Équation dei courbe* à centre.

203. Au moyen de la transformation précédente, et en p<mnt, pour abréger,

M = A cos’ a — B sin a cos a + C sin’ a, ( 5 )

N = A sin’a + B sina cosa -I- C COS’a, (6)

(') Si l'on divise tous les termes par cos’ a, on obtient

tang’ a — 2 — 5 — tang a — i = o ,

équation qui no difTère pas de iw’ — 2 — - — m — i — o. (182) Ce résul-

tat était évident à priori.

(’**) Excepté quand on a en même temps, A = C, B = o. Mais alors la courbe donnée est un cercle.

4o4 GÉOMÉTRIE

on change l’équation (2) en

M/’+Nx'’ + F'= o:.

la courbe est actuellement rapportée à son centre et h ses axes. 204. Calcul des coefficients M, N.— Lesformules (5) et (6)donnent

2®. M — N = ( A — C ) cos 2 a — B sin 2 a.

Mais, par la formule (4)^

sm 2 a =: ■ ■ > cos 2 a = ■ ■ ■ ■•

Au moyen de ces valeurs, on obtient

M-N = v/(A-C)’+B’; (8) puis M = i [a + C - /(A - C)’+ B* j,

N = i[A + C + v/(A-Cr-+-B’].

On peut observer que ces deux quantités, sont les racines de l’équation