COS P
nii t a sin (a -1-2 S)
PH = 2 f/ sm S — X — ^ T —
^ cos P
La substitution de ces valeurs donne, pour l’équation de la section conique,
, , sin a sin S sin a sin (a -|- 2 S)
Y^='ld 5-^-*' Ta il)
cos P cos’ P ' '
Cette section est donc une ligne du second ordre.
3S6. L’équation (i) est celle d’une courbe rapportée à un axe et à la tangente au sommet; elle représente une ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon que le coefficient de j:’ est négatif, nul ou
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positif. Or, les facteurs sin a et cos’ p sont essentiellement positifs, et a -|- 2 P est inférieur à 36o". Conséquemment , la section conique sera une ellipse , une parabole ou une hyperbole , suivant que la somme des angles ASB, SDE sera inférieure, é^ale ou supérieure à deux droits. En d’autres termes :
1°. Si la trace DE coupe les deux génératrices SA, SB ; c’est-àdire si le plan sécant rencontre, d’un meme côté du sommet, toutes les génératrices, la section est une ellipse;
2“. Si le plan sécant est parallèle à une génératrice, la section est une parabole;
2°. Enfin si le plan sécant rencontre les deux nappes du cône, la section est une hyperbole.
357. Nous avons supposé la distance d différente de zéro. Si cette distance était nulle, c’est-à-dire si le plan sécant passait par le sommet du cône, la section se réduirait, en vertu de l’équation (i), h un point, h une droite ou à deux droites concourantes.
358. En laissant de côté le cas de = o, nous venons de reconnaître que toute section conupie est une courbe du second ordre. Examinons maintenant si toute courbe du second ordre est une section conique, ou, plus généralement, si une courbe tpielconque du second ordre peut être placée sur un cône donné.
Pour cela, rappelons-nous que toutes les courbes du second ordre, rapportées à l’axe focal et à la tangente au sommet, sont données par l’équation
y’‘=ïpx — qx'‘, (2)
dans laquelle 2.p et <7 représentent le paramètre et le carré du rapport du second axe au premier. Il s’agit donc uniquement de savoir si, en identifiant les équations (i) et {2), on obtiendra des valeurs réelles pour d et a. Cette identification donne
^ (3) So ^ = q. (4)
COS S ^ ' cos S
Si l’angle a est réel, l’équation (3) donnera pour d une valeur réelle. Prenons donc l’équation (4), qui renferme seulement l’inconnue a.
Cette équation peut être écrite ainsi :
cos 2 P — cos (2a-+-2|ï) = iq cos’ fi ;
d’où cos ( '2 « + a P ) = cos a P — a q cos’ p.
Le second membre égale
a cos’ P — I — 2q cos’ ^ = a ( I — q) cos’ P — i- L’équation ( 4 ) devient donc
cos(a a 4- ap) = a(i — (/) cos’^ — I. (5)
i“. Dans le cas où la courbe donnée est une ellipse, le rapport h'
7, égala est moindre que l’unité; donc le produit a (i—<jf) cos’p
est compris entre 4- a et o, et le second membre de l’équation ( 5 ) est compris entre 4- i et — i . Cette équation donnera donc une valeur réelle pour l’angle a. Conséquemment, une ellipse donnée peut toujours être appliquée sur un cône de résolution donné.
a°. Si la courbe donnée est une parabole , <7 = o, et l’équation ( 5 ) se réduit à cos ( a a 4- a p ) = acos’ p — \ — cos a p ; celle-ci donne a = oeta = 7r — 2 p. La première valeur est inadmissible ; l’autre indique, comme on devait s’y attendre, que le plan sécant est parallèle à une génératrice : une parabole donnée peut toujours être a]}pliquée sur un cône de réwdution tlonné.
3“. Enfîn, si la courbe donnée est une hyperbole, on devra avoir, en changeant 7 en — 7',
a(i 4- 7') cos’P — I > — I, et 2(1 4- 7') cos’ p — I < I.
La première condition est toujours vérifiée; l’autre se réduit d’abord à ( 1 4- 7' ) cos’ p < i ; puis , si l’on remplace 7' par ^ i et 1 4- 7'
par ^5 elle devient cos’p < Or, - est le cosinus de l’angle 0
que font les asymptotes avec l’axe transverse; donc, p et 0 étant aigus, l’inégalité précédente se réduit à p > 0. Conséquemment, ']X)ur q lé une hyperbole donnée jmisse être ajipliquée sur un cône de résolution donné, il faut que V angle des deux asymptotes soit moindre que l’angle au sommet du cône.
3î>9. Les courbes du second ordre étant identiques avec les sections planes d’un cône de révolution , on les désigne ordinairement sous le nom de sections coniques, ou, plus simplement encore , sous celui de coniques.
GÈOMÉTHIK
Seotion d’un cylindre de révolution.
360. Dans l’équalion (i), supposons r/sin p = R et a = 0 — p ; R représentera le rayon du parallèle passant par le sommet D de la section conique, et 0 l’inclinaison du plan sécant sur l’axe du cône. Nous obtiendrons ainsi
^Rsin(O-p)^ sin(0-P)sin(0 + p) cos P cos’ P
Actuellement, supposons que l’angle p diminue jusqu’à zéro : à la limite , le cône se sera transformé en un cylindre de révolution autour de l’axe CI , et la section conique sera devenue la section cylindrâjuc DME , ayant pour équation
y’ = 2 R X sin 0 — x’ sin’ 0.
Cette section est donc une ellipse.
361. Pour arriver directement à ce résultat, il suffirait d’observer que , M et m étant deux points correspondants de la section oblique DME et do la section dtvite D m D', c’est-à-dire deux points dont les ordonnées MP, nip sont égales , on a , entre leurs abscisses DP, Dp, la relation
DP I Dp ~ sin 0
= const.
En môme temps, les deux axes de l’ellipse DME auront pour valeur 2 R et
sinO
Section anti'parallèle.
362. Les sections faites dans un cône oblique, à base circulaire, par des plans parallèles à cette base , sont évidemment des cercles. Mais, indépendamment de celte direction du plan sécant, il en existe une autre qui donne pareillement des sections circulaires. Proposons-nous de la déterminer.
Du sommet S du cône, abaissons SD perpendiculaire au plan de la base; puis, par SD et par le centre C de la base, faisons passer un plan ASB : ce plan sera un plan de symétrie ou
un plan imncipal. Si dune nous, coupons le cône par un plan quelconque EMF, perpendiculaire à ASB, la section aura pour axe la trace EF du plan sécant sur ce plan princi[)al. Menons l’ordonnée MP, perpendiculaire à EF. Alors, si EMF est une circonférence, l'ordonnée MP devra être moyenne proportionnelle entre les deux segments EP , PF du diamètre; c’est-à-dire que nous devrons avoir
