Exemple I. 7^ = i ± x \Zx + i

Une discussion préliminaire montre que la courbe , qui est coupée en deux parties symétriques par l’axe des abscisses (**), se

compose d’un seul arc continu FBEDCBA... F', présentant deux nœuds ou deux points doubles B, B', et deux branches infinies BF, B' F'. Les points doubles ont pour coordonnées

x = o, jr=±i; les points-limites D, D' sont déterminés par x = — i , 7^ = ± I . Le point A où la

(*) Les exemples suivants sont destinés & étendre les notions contenues dans les chapitres VI et XIII. Une théorie complète de la discussion des courbes exigerait la connaissance du calcul düTérentiel , et dépasserait non-seulement l’étendue d’un simple chapitre , mais même celle d’un volume ordinaire.

(**) Dans tout ce chapitre, les coordonnées rectilignes sont supposées rectangulaires.

ANALYTIQUE. 4gi

courbe coupe l’axe des abscisses, point quQ l’on peut regarder comme un sommet, est déterminé par la racine positive de l’équation 0=1 — X yjx + I . Cette racine a pour valeur approchée 0,76.

392. L’équation (i) donne, pour le coefficient angulaire de la tangente ,

L’ordonnée étant supposée positive , le signe supérieur se rapporte à l’arc ABCD , et le signe inférieur , à l’arc DEBF.

On voit immédiatement, à l’inspection de la formule (2), 1“ qu’aux points A, D, D', la tangente est parallèle à l’axe des ordonnées; 2° que les points maximum ou minimum C, E, C', E'

ont pour abscisse commune î 3° que les tangentes aux

points doubles sont les côtés du losange SBS'B', dans lequel

393. Pour étudier plus aisément la marche de la tangente le long de la branche infinie BF, formons le carré de j', en rempla-

çant par I 4- X (x

i)^ ; nous aurons ( 3 X -+- 2 )’

La fraction contenue dans le second membre est du degré 5

donc elle s’annule pour x = -t- 00 .

Nous venons de voir qu’elle s’annule aussi pour x = — - ; donc

elle croît d’abord avec x pour décroître ensuite. Par conséquent , la branche BF a un point (^inflexion I dont nous obtiendrons l’abscisse en cherchant la racine positive de l’équation j'= 0.

Cette équation est

6 [(x-i-i)-i-x(x-l-i)’] — (3x-t- 2)[i-t-(x4-i)’-|- ^ X (x4-i)^] = O, ou, en simplifiant,

gx^4- 33x'4- 64x’-f- 36x* — 48-*' — 48 = 0. (4)

La méthode des racines incommensurables (^/g'., Chap. XXIV) donne x = o,86.... Telle est l’abscisse du point d’inflexion. Les valeurs correspondantes de j et de y, tirées des formules ( i ) et (2), sont