Si,dansr = «*, on suppose la constante rr positive et
moindre que l’unité, on pourra la représenter par ~ .Alors, la
fonction y étant l’inverse de cette fonction passera , d’une manière continue , de -l- <» à o, quand on fera varier x entre — « et -i- 00 .
149. On arrive à des résultats complètement différents de ceux
(•) Soient, par exemple, a = io, a = a, J = o,ooi. On pourra
prendre /« = — Par conséquent, 100 '"""'ôio — 100 <0,001. Les
900000 ni»
Tables de luiiarilhincs duniioraienl h — > '‘''leur beaucoup plus
satisfaisante que la precedente.
()t> AUIÈBUK.
qui |)i'écè(lont, si l’on discute l’équation ~ ( — tif, a étant positivi;. Le lecteur recounaitra sans peine *jue i — j-' twt imcfo/ic~
tion complétemint discnnlinuc (*). On peut attribuer à x des valeurs se succédant j)ar degrés très-rap[)rochés, et pour lesquelles, néanmoins, les valeurs corresitondantes de -» sont alternativ('ment pusitivrs, négutivcx et inid^iruiires f ** i.
Séfinition algébrique des logarithmes.
150. Dans ré<piation > = (f, x peut être regardée comme une fonction de ,i' ; on dit alors que x est le logarithme du nombre r, dans le système dont la base est a. .Vutrement dit, le logarithme d’un nombre est l’exposant de la puissance à laquelle on doit êleeer une quantité eonstante, appelée base, pour reproduire le nombre donné. Nous verrons tout à l’heure que cette délinition s’accorde avec celle que l’on donne dans les éléments.
Loi. Supposons, comme on le fait ordinairement, la b.ase plus grande que i. Alors nous conclurons, du tableau ci-dessus (116) :
logo = — 00 , log I = O , log « = I , log (4- 00 ) = + 00 .
Ainsi, dans tout système de logarithmes dont la base surpasse l’unité :
i" Ltt logarithme de l’unité est zéro; a" le logarithme de la base est l’unité; 3“ le logarithme de zéro est l’infini négatif; 4“ le logarithme de l’infini positif est l’infini positif [***).
Divers géoinèlres, se fondant sur une dilficiilte à lutpiclle donne lieu la dcfinilion de ( — u)', ont conleslé cotte proposition.
(**) On verra, dans la Groniélrie analytique , qnc réquation
représente une infnitê de points isolés.
(***) On ne doit pas oublier que ces dononiinatioiis d'infini positif et dVn^n/ negfl/i/' sont employées seulement pour eviterdes périphniscs. Par exemple, la quatrième remarque pourrait être cnoiicee ainsi : on peut toujours trouver un nombre dont le logarithme surpasse une quantité donnée quelconque. On se tromperait étrangement si, de ce que le logarithme de l'infini positif est l'infini positif, on concluait que le logaritlinic tend h devenir égal au nombre. Kn ell'cl , le rapport d'un logarithme, au nombre correspondant diminue indétiniment quand le nombre augmente , et a pour limite zéro.
ALGKBHi;. ()i
lùi outre :
5" Les fravlions inttprcmcitl dites ont pour /of;(i/it/iiiies des ipurntités négatives ; fi" tes f/aantités négatives n'ont pas de logarithmes réels.
tiiâ. Remanpte. — Celte dernière propriété résulte de ce i[ue la fonction rd reste positive quel ijue soit .r. lille subsiste j>oni' toutes les valeurs jwsitives de la base a. Il n'y a pas lieu d’examiner le cas où cette constante serait néi^ative, |»arcc qu'iilors la fonction deviendrait discontinue (IWj.
Propriétés des logarithmes.
lo3. r.es propriétés résultent immédiatement de la définition cidessus , jointe aux réi;les du calcul des exposants ( SG ). Kn eiïet , soient a;, x\ .r", ... les logarithmes des nombres p. p', p", ... dans le système dont la base est a , de sorte que
i". En multipliant membre à membre ces diverses égalités, nous aurons
ry'y... = ■■■'-•• ;
ou log (pT'p'" . . .) — X -t- . . . ,
ou encore
log (p'j'p". . .) logp -r log r'-t- logp^-r
Ainsi, le logarithme d’un produit est égtd à la somme des logarithmes des faeteurs.
‘i". La division de p par p ' donne
ou
H = rt"
log — .r' = log V — log ■» '.
•a ’ v" ~ fc-
Donc , le logarithme d’un quotient est égal au logarithme du dividende, moins le logarithme du diviseur (*).
3". Elevons à une puissance quelconque «, entière ou fraclion-
(*) Celte [(ropriétô rsi comprise dans la première, aUendii i)nc diviser par ou nombre êquivaul à multi/dirr par son inverse.
nairo, les deux membres de régalité i = (i^ \ nous obtiendrons
d’où log ( i"* ) = n log (i) .
Par conséquent, le logarithme (Vune puissance est égal (ni logarithme (lu nombre, multiplié par V exposant de la puissance ; le logarithme d'une racine est égal au logarithme du nombre, divisé par l’indice de la nu inc.
Concordance des deux définitions des logarithmes.
iri-i. Dans les éléments, on définit les logarithmes : les termes (l’une progression arithmétajue commençant par zéro, corresijondant aux termes d’une progression géométrique commençant par l’unité [B., Alg., 176). Cette définition arithmétique des logarithmes s’accorde avec la définition algébrapte donnée ci-dessus.
Pour le faire voir, considérons d’abord l’équation exponentielle X = (f. ,et donnons à x les valeurs
O, § , iS, 3(î,. . nS,. . . ;
nous aurons , pour les valeurs correspondantes de
ou
Par conséquent, lors(j1tt! les logarithmes sont en progression par différence , les nombres correspondants sont en progression par (piotient.
En second lieu , considérons les deux progressions
et soit N un nombre donné, compris entre deux termes consécutifs de la seconde progression, ou égal à l’un d’eux (*).
Entre deux termes consécutifs de chacune des progressions, in-
(*) Le premier cas étant plus général que le second , nous négligerons celui-ci.
sérons m moyens , ni étant très-grand ; et soient
les raisons des progressions
O, S', 21Î', 3iî',
qui remplacent les premières.
Nous pouvons toujours disposer du nombre entier ///, de manière que l’unité soit un terme de la nouvelle progression par différence; car l’équntion
admet une infinité de solutions entières (*).
Soit r/'* = q^' = fl le terme de la progression par quotient qui correspond k iS' = i : a sera la base du système de logarithmes. Soient, en outre, y" et les deux puissances consécutives de </' comprenant entre elles le nombre donné N : leurs. logarithmes seront IS' et (/-l-i)5'. Mais q' — donc
I log(fl*'^') = log = (/ + i)iî'; etc.
Comment on passe d’un système à un autre.
153. Soient x, x' les logarithmes d’un même nombre jr, dans deux systèmes dont les bases sont a, b. Par définition,
Prenons les logarithmes des deux membres de la seconde égalité, dans le premier système ; nous aurons
log„j= x' log>,
ou X = x' log „ h,
ou encore x = x-, r-
log,,/'
Ceci suppose, bien entendn, que S est conimciisurablc.
y4 Al.GhlJHIi.
Ainsi, pour passer d' un syslèim: dont la hase est a, à tai autre système dont la base est h, on multiplie tous les logarithmes^ calculés dans le premier système, par l’inverse du logarithme de la seconde base , ee logarithme étant pris dans le premier systè-mc.
Oéiuiition du module.
Quand on passe du système népérien, c’est-à-dire du système dont la base est le nombre r, à un autre système a\ant
b pour base, le facteur constant ; — ^ devient ^ i ou, plus
loi;> ^
simplement, Ce facteur constant, égal à rinverse du logarithme népérien de la base b, est le module du système dont la base est h.
lf)7. Hemartjuc. — Le module, égal « est égal aussi à
log.c. Kn elfet, de même que x , — î— , j x = x' — ; donc
'oji „ b log 4 U
et, en particulier.
log
Se» logarithmes vulgaires.
I'i8. Les logarithmes vulgaires , ou logarithmes de Briggs [*) , sont ceux que l'on a obtenus on partant des deux progressions
1 , I O , I oo , I ooo , . . . ,
la base do co système ilo logarithmes est égale à lo. Indépendamment des propi iétés générales , ces logarithmes jvossèdent celles-ci, qu’il suflit d’énoncer ;
i“. Le logarithme (P un nondire entier <pieleon( pie a pour partie
(*) Henri Bripijs calcula les lof'arilhnies des nonihres compris entre I et aoooo, et les logarithmes des nombres compris entre poooo et looooo. St>n ouvrage, intitulé Arithnu tira logarithmica , parut à Londres en lb'2/J.
A I.iiKBlU'.
cnlicrc ( ' ) un muiihtr forme <C autant tC umtr.s moins une <iuil ■> a (le r/ii(/'rrs dans ce nomhn' entier;
■/’. Pour multiplier un munbre par u>, loo, lOiKt,. il suffit d’ajouter i, ■>., 3,. . unités à la carnctéristapic de son logarithme ;
3”. Si deux nombres décimaiu ne dijflrent (pic par le rang de la targuie , leurs logarithmes lU' dijjèrent (pie par la caractéris-
ütpie.
1.39. ÏAtiiarithmes des fractions. — L'idt'nlitô t'~= i> donne ” ‘ h a
I " Inur .
ou
losi - = O ,
'On lOn
Ainsi, le logmithme (fune jraction projnement dite est égal au logarithme de la fraction rencerséc , pris en signe (ontraire
(iri), 5“). '
Il i'ésulUî do là que les fractions o,r, o,oi, ont pour
logarithmes, respectivement, — i, — v. , —3, I)e màme ,
log
1()0. Réciproquement, le nombre corresjmndant à un logarithme négatif est de la forme . N étant le nombre correspon-
dant au logarithme donné , pris positicement.
Kil. logarithmes à caractéristiipie négative et à partie déci-
male jHisitive. — Les fractions de la forme étant [>eu commodes,
surtout quand le dénominateur N est accompagné de décimales, on fait, surdos logarithmes entièrement négatifs, une transformation q\ii équivaut à la réduction de en décimales.
Soit, pour fixer les idées,
(*) On sait que celte partie entière est appelée caracléristi</ue. la^s ('èoinètres allemands donnent, à ta partie décimate d un lu{’arithine , le nom de mantisse-.
ç)6 ALGÈBRE.
On ti oiive , ckins la Table de C(dlet ( * ) ,
loga37= a, 3747484
log87 852= 4,9437517
Par suite, logo^ = — 2,56goo33
Ajoutons, à loga-, le nombre entier immédiatement supérieur à — log.r, et retranchons ce nombre entier; nous aurons
log j: =3 — 2,5690033 — 3 = 0,4309967 — 3.
Pour abréger, apportons la partie négative — 3 à la place de la caractéristique o, et, pour éviter toute ambiguïté, plaçons le signe — au-dessus du chiffre 3; nous aurons
log JT = 3,4309967.
En comparant ce nouveau logarithme à celui qui est écrit plus haut, nous obtiendrons cette règle générale :
Pour transformer un hgarithnir entièrement négatif en un logarithme a caractéristique négative et à partie décimale positive, placez le signe — au-dessus de la caractéristique , après ravoir augmentée d'une unité, et écrivez, à la suite de cette caractéristique négative, le complément (**) de la partie décimale du logarithme donné.
162. Nous avons dit que cette transformation équivaut à une réduction de fraction ordinaire en fraction décimale. Pour le faire
voir, reprenons la fraction • Si nous la multiplions par une
puissance de 10 qui la rende plus grande que i et plus petite que 10, nous aurons, en divisant en môme temps par cette puissance ,
d’où
logj = log
(*) Pour la disposition des Tables de Gallet, la proportion logarithmique, etc., voj'eslo Manuel du Baccalauréat , Alg., n° 20.
(**) Le complément d'une fraction décimale proprement dite est ce qu’il faut y ajouter pour obtenir runitc.
Mais . loii = log lij + 3 — log 87 85-a
= 3 — (log 87 85a — log a37); donc log j: = 3 — a,56goo33 — 3 = 0,4309967 — 3,
ou logx = 3,4309967,
comme ci-dessus.
163. Remarque. — Le logarithme 3,4309967 correspond à la a37 000 ^7 85*2
fraction décimale — ? laquelle, d’après ce qui précède, est
comprise entre 0,001 et 0,010. Il résulte, de cette observation, que le, nombre corresjiondant à un logarithme dont la earactéristique .seule est négative , est une fraction décimale proprement ilite , dans laquelle le ptemier chijfre significatif occupe , à partir Ile la virgule, un rang marqué par eette caractéristique.
Vtage des Tables de Callet.
16i. Problème I. — Un nombre étant donné, trouver son logarithme.
Premier cas. — Le nombre est entier, et plus petit que 108000. Le logarithme est inscrit dans la Table, sauf la caractéristique, qui est connue à l’avance (1S8, i").
Deuxième cas. — Le nombre est entier, et plus grand que 108 000. Soit le nombre x=i 647 853. Séparons assez de chiffres , sur la droite de ce nombre, pour que la partie restant à gauche soit comprise entre 10000 et 108000; nous aurons
et la partie décimale du logarithme de ce dernier nombre sera égale à celle du logarithme de x. Or on trouve dans la Table,
logA6 478 = 4,422885a.
Il ne s’agit donc plus que de calculer la différence 9 entre ce dernier logarithme eteeluido a6478,53. Pour cela, posons la proportion 26 479 — 26 478 log a6 479 — los 26 478 26478,53 — 26478 log 26 478,53 — log 26 478’
I diff. tab.
yfi
Kilo (lomie
AUiKHU t:.
'1 — (iitî. tal). X o,.’>3 ^ i()4 X 0,53.
Pour épariîncr au calculatour la peine d’effectuer la petite multiplication que nous rencontrons ici, on a inscrit, dans la Table, les produits do i(î4 par o, i, 0,2, etc., rrx pj-nduits étant toujours r.rpriinés en unités du septième ordre déeimnl. D’après cela , nous aurons
Puis, on ajoutant celte différence au logarithme do 26 478, log2fi 748,53 =r 414228939, et enfin log2(374853 = 6,4228939.
Voici la disposition du calcul :
log 26 478 — 6,422.8852 (* ) jM)ur 0,5 ... 82
pour 0|03 ... 5
Troisième cas. — Le nombiv contient des décimales.
On fait abstraction de la virgule, et l’on retombe sur les cas précédents.
Quatrième cas. — Le nombre donné est une fraction.
On a vu ci-dessus comment le logarithme d’une fraction se déduit des logarithmes de ses deux termes.
I60. Problème II. — Un logarithme étant donné, trouver le nombre correspondant .
Premier cas. — Le logarithme se trouve dans la Table.
Nous supposons que le lecteur connaît la disposition des Tables : ce premier cas n'exige donc aucune e;iplication.
Deuxième ciis. — Le logarithme donné tombe entre deu-x logarithmes consécutifs de la Table.
Soit log.c = 3,6774237.
(*) Il n’est pas nécessaire de modifier ta caractéristique : on écrit tout de suite sa valeur définitive.
ALT. i: HR K. 99
En clicrchant dans la Table, on trouve (luo le logarithme qui approche le plus du log.r, jxir lU-faiu, est H 774 1 5'î ( * 1 ; le nombre correspondant à ce dernier logarithme est 47^79; donc
S étant inférieur à Tuiiité.
Pour évaluer 0, on suppose encore les dilfércnces entre les nombres proportionnelles aux diflérences entre les logarithmes, c’est-à-dire que l’on écrit
1 dilT. tab.
ou
Ëi.
Si Ton réduisait cette fraction en décimales, on trouverait ^ = 0,92 ; mais les Tables de Callet permettent encore d’éviter ce calcul. En effet, en parcourant la petite colonne des différences, on lit 9 en regard de 82; donc <î se compose d’abord de 0,9. Ensuite, si l’on place un zéro à la droite de 84 — 82 = 2, on a 20 pour produit. Or, dans la môme petite Table, 18 répond à 2 dixièmes; donc 20 correspond, à fort peu près, à 2 centièmes. La seconde partie de S est donc cette dernière fraction , en sorte que lî = 0,92, comme ci -dessus.
En revenant à la recherche qui nous occupe, nous aurons a; = 47579,92. Mais la caractéristique donnée était 3; donc enfin,
.r = 4757,992, à moins de 0,001.
Voici le type du calcul ;
log .r = :
pour
pour
■(*) Dans la recherche du nombre correspondant à un logarithme donne, on ne fait attention .à la caractéristiiiiic que pour déterminer, en dernier lieu, la place de la virgule.
loo ALGÈBRE.
Troisième ras. — Le to^^urUhnic donné est entièrement négatif. Soitlog.r = — 4i7‘^48374.
Posons logN = 4i7‘^48374; nous trouverons N = 53 068, 57; donc (160)
Ouatrième cas. — La caractéristique seule est négatice.
On a vu ci-dessus (163) ce qu’il faut faire pour obtenir le nombre.
EXERCICES
