Dans l’équation exponentielle supposons d’abord

la constante a plus grande que i; faisons varier x de — oo à -I- <» , et cherchons comment variera y.

i". En donnant à x les valeurs entières o, i, 2,3,. . ., nous pourrons former le tableau suivant ;

.r = O, X = 1, X = 2, x = 3,..., X = -4- <» , y — 1 , r = y — u’, V = r = 4- ao .

En effet, «"= i (81), et les puissances successives d’un nombre supérieur à l'unité peuvent dépenser toute limite.

2°. A toute valeur de x correspond une valeur de Y. Il Suffit

(le considérer le cas ou x est de la forme È. Or a~i = Va'' a une

valeur réelle et jMsitive (61 ): cette valeur est ce que nous appelons y.

3". Quand x augmente, y augmente. Soient a , x-\-h deux valeurs attribuées à x, a et h étant des quantités positives; on aura

En effet, cette inégalité équivaut à o*> i, relation évidente en vertu de ce principe : les puissances et les racines d'un nombre plus grand que i sont plus grandes que i .

4“. La fonction «f est continue. Pour le faire voir, il suffit, en conservant les notations précédentes , d'assigner une valeur de h vérifiant l’inégalité

L’accroissement h étant nécessairement fort petit, si, comme

on le suppose, J est une fraction , on peut lo représenter par ^ y

n étant un nombre entier inconnu. Db cette manière, l’inégalilé(i) deviendra, successivement.

[fja — i) < J,

fl/— O

ALGÈBKK.

Or, pour satisfaire à ccttc dernière relation, il suffit -tlg; i(>9) de prendre

d’ou

5". Il résulte, de cette discussion, que j- vuriant iVunc manière continue, de o « + 00 , y ^ a* varie d'une manière continue, de I a -f- 00 .

146. Donnons maintenant à x des valeurs négatives , et soit , à cet effet, x ~ ~ x', la nouvelle variable x' étant positive. Nous

aurons D’après ce qui précède, celle fraction varie

d’une manière continue entre o et -hi, quand x' varie d’une manière continue entre + <» et o. D’ailleurs, les valeurs de x correspondant aux valeurs extrêmes de x' sont — qo et o. Nous pouvons donc former ce nouveau tableau , contenant les valeurs principales de x et de r :

x = — 00, a: = o, j:=l, x = + co, r = o, j= I, r = rt, r = + <»-

147. En résumé, la constante a étant plus grande que 1, la fonction ef croit, d’une manière continue, de o à <x> ^ quand la variable x croit, d’une manière continue, de — 00 « -f- 00 .