CiiNQUiKHE EXEMPLE : Bésoiulrc l'inégalité
/ioo\" 200or /99\'‘*‘l
\99/^ 3 L Voo) J'
Commençons par calculer, approximativement,
log 99= «,995635 19
i5o log 99 = 299,3452785 + i5o log 100 = 3oo —
log = î, 3452785.
Ce dernier nombre étant un peu supérieur à 1 —
s’ensuit que l’on vérifiera l’inégalité proposée, si l’on satisfait à rclle-ci ;
lüS
On tire, de celle dernière,
^ log '2 ooo 4- log 0,778 55 — log 3 " lug ioo~^og 99
Donc
ou
log 2000 = 3,3oio3oo -H log 0, 778 55= 1,8912865 -flog 3 = o,477iai2 — 2,7151953 4log 100 = 2 log 99= 1,9956352
Résolution des équations exponentielles.
171. On appelle équation cxjjoncntieUe une équation de la forme
X étant l’inconnue. Lorsque, comme on le suppose habituellement, « et è sont des quantités positives, cette équation admet toujours une racine réelle (147 ). Pour la déterminer, il sutBt de prendre les logarithmes des deux membres, dans un système <jueb •conque. En effet , on obtient ainsi
ou
.r log fl = log 6, “ logfl
172. Remarque. — Quand les constantes a ai b sont toutes deux plus grandes ou toutes doux plus petites que l’unité, la valeur de X est positive; elle est négative dans le cas contraire.
(*) Les inégalités proposées dans les il”* 1G9 cl 170 ont été résolue» par ce procédé.
Des iotérêts composés et des annuités.
\T3. Une somme esl placée à intéi'ct comiHisv quand le prêteur, au lieu de recevoir, à la lin de chaque année , Xintêrvt simple lui est dù, le laisse à la disposition de l'emprunteur, de manière à augmenter le capital.
L’intérêt composé , tel qu’il vient d’être délini , donne lieu aux problèmes suivants ;
174. Problème I. — Quelle sera, au bout de a années , la valeur d’un eapital a plaeé à intérêt composé, le taux étant de r ]M)ur franc par an ?
/'étant l'intérêt de i franc, ou, plus exactement, r étant le rapport entre cet intérêt et i franc, il s’ensuit que i franc Aaut, à la fin de l’année, x ( i + / ). Par suite, un capital quelconque a vaut, au bout d’un an. «( i + r) = a'.
Si, à la fin de l’année, l’emprunteur ne paye aucun intérêt au prêteur, il jouit, pendant l’année suivante, de cet intérêt et du capital a ; les choses se passent comme si , au lieu d’avoir reçu primitivement la somme a, l’emprunteur avait reçu la somme «' au commencement de la deuxième année. Conséquemment, et d’apres la formule précédente, le capital a vaut, au bout de deux ans, a'{i + /■) = a[i + rf.
En répétant le même raisonnement , on trouve A = «(i + /•)". (i)
175. Problème II. — jIu Iwut de combien (rannées un capital a, placé à intérêt composé, aura-t-il acfjuis la valeur A?
Il est clair qu’il s’agit de résoudre l’équation (i), par rapport à //. Cette résolution se fait commodément par le moyen des logarithmes; elle donne (171)
log A — log a
log{i + /')
17C. Problème III. — Quelle valeur produira-t-on au bout de n années, si on place , nu commeneement de chacune d’elles , un meme capital a, et (pi’on accumule, avec toutes ces sommes, leurs intérêts comjxisés ?
IVaprès la formule ( i), cette valeur est, évidemment , la somme .v des termes de la progression par quotient ;
al(;i:b w k.
donc .V ^ ^1 4- / ) 0 L. (3 j
17/. PlioiiLKMK 1\ . — Qiit’Ut’ somme b (hnt-ou parer aumiellement, pour amortir, au bout de a années, un eajntal a et ses intérêts composés ?
Cette somme h est ce qu'on appelle une annuité. Pour la déterminer, il siifTit d’exprimer ([ue la \aleiir du capital «, à la fin de la n""" année, est égale a la somme des \aleurs des n annuilés, au bout de ce même temps. On obtient ainsi, en appelant /■ l'inlérét de i franc,
OU ail 4- /■)"— ‘ . j/)
Cotte formule générale donne la solution de diverses questions relatives aux annuités.
Si, par exemple, on veut déterminer combien il faut d’années pour amortir un capital n au moyen d’annuités égales n b, on devra résoudre l’équation ( 4 ) jiar rapport à n. Or, en faisant passer (i -4 rf dans le premier membre, on obtient d’abord
puis, en/prenant les logarithmes des deux membres,
log { I 4- /• I ’
\l%.\Diseussinn. — i”. Si l’on suppose /» > ar, c’est-à-dire si l'annuité surpasse V intérêt simple du capital, la formule (5) donnera pour n une valeur finie et positive. Cette valeur sera très-grande, quand l’excès de b sur ar sera très-petit.
O c- I log/»— logo . ,
2". Si b = ar, n = Oo logo = — oc; donc
« = -f- • Il est facile d’interpréter ce résultat : quand l’emprun-
teur ne paye, à la fin de chaque année, que l’intérêt simple du capital, il ne cesse pas de devoir ce capital; on ne peut donc demander à quelle époque la dette sera éteinte.
Ce cas est celui des rentes perfiétuelles.
ro8 ALGÈBRE.
3". Enfin , si l’on suppose b < «/•, c’osl-à-diro ai Vunnuitê est inférieure à l’intérêt simple du capiud, le second membre de la formule contient le logarithme d'une quantité négative; donc cette formule ne donne aucune valeur rétille pour/? (151, 6°). C.'est ce qu’il est encore facile d’expliquer.
En effet , nous venons de voir que la dette est constante quand l’annuité est égale à l’intérêt simple; donc, quand celte annuité est inférieure à l’intérêt simple, la dette, au lieu de. diminuer, augmente sans eesse. Ce résultat, qui peut paraître étrange, est une conséquence toute naturelle du principe do rinlérêt proportionnel au temp.s.
EXERCICES
I. Pendant combien d’années doitron laisser un capital placé à 4 I pour loo, pour que la valeur en soit décuplée?
Réponse : Pendant un peu plus de 5i ans.
II. Thomas Parr vécut i52 ans(*). Si, à partir de sa vingtcinquième année , il avait placé tous les ans, au taux de G pour loo, une somme de lo livres sterling, combien ses héritiers auraientils dû recevoir à sa mort?
Réponse : 28 900 livres.
