COMPOSITION ET ÉQUILIBRE DE FORCES QUELCONQUES

273. Théorème I. — "Tant de forces que l'on voudra, F, F', F", . . . , appliquées à un corps solide M, peuvent toujours se réduire à deux forces S, T, dont l’une passe par un point A, pfis arbitrairement dans le corps. ? , -

Indépendamment du point A, prenons deux points B, C dans l’intérieur du corps, et joignons A, B, C aux points d’application - j- de toutes les forces données.

Soit, pour fixer les idées, m le point d’application de la force F.

Nous pouvons toujours décomposer F en trois forces dirigées suivant mk , mB, MC (143). Si nous opérons de même pour F', F\ . . . , nous obtiendrons trois groupes de forces concourantes; et, sans rien changer à l’état du corps, nous pourrons remplacer ces trois groupes par trois résultantes partielles P, Q, R , respectivement appliquées en A, B, C (*). Ainsi déjà, toutes les forces données peuvent être réduites à trois forces passant par trois points pris arbitrairement

dans le corps.

Pour opérer une nouvelle réduction , imaginons l’intersection AD des plans ABQ, ACR; ou, si ces plans se confondent, menons la droite AD de manière qu’elle rencontre les directions des forces Q et R. Dans les deux cas, tirons les droites DB, DC. La force Q, située dans le plan ABD, peut être décomposée en deux forces

(*) S’il arrivait que les forces du premier groupe se fissent équilibre, on aurait à considérer seulement les forces qui concourent soit en B, soit en C; et ainsi de suite.

<7, q\ dirigées, l’une suivant BA, l’autre suivant BD. De même, la force R peut être remplacée par une force r dirigée suivant CA et par une force r' dirigée suivant CD.

Actuellement, les trois forces concourantes P, <7, r ont, en général, une résultante unique S passant en A; les deux forces concourantes <7', r' ont, pareillement, une résultante unique T passant en D. Ces deux forces S , T, dont la première est appliquée au point A pris arbitrairement dans le corps solide, peuvent donc tenir lieu de toutes les forces F, F', F", . . . . C'est ce qu’il fallait démontrer.

274. Remarque. — La somme (les travaux élémentaires des forces F, F', F", . . . est égale à la somme des travaux des deux résultantes S , T.

En effet, i° le travail élémentaire de la force F est égal à la somme de ses composantes suivant m A, /«B, m C (167);

2 0 . Par suite, la somme des travaux élémentaires de toutes les forces données est égale, soit à la somme des travaux élémentaires des trois résultantes P, Q, R, soit à la somme des travaux élémentaires des résultantes S, T.

275. Lemme. — Pour que les forces F, F', F”, . . . se fessent équilibre , il faut et il suffit que les forces S, T soient égales et directement opposées.

276. Théorème II. — Pour que des forces F, F', F", . . . r appliquées à un corps solide, se fassent équilibre , il faut et il suffit que la somme de leurs travaux élémentaires soit constamment nulle.

i°. S’il y a équilibre entre les forces données, les résultantes S, T sont égales et directement opposées (96); donc leurs travaux élémentaires sont égaux et de signes contraires; et, conséquemment , la somme des travaux élémentaires des jorces F, F', F", . . . est nulle.

a”. Si cette somme est nulle , les travaux élémentaires des résultantes S, T sont égaux et de signes contraires (274); d’où il résulte que ces deux forces sont égales et directement opposées.

Pour le faire voir, supposons que A, B soient leurs points d’application. Si l’on fait tourner le corps solide autour du point A, le travail de la force S sera constamment nul. Donc l’équation

GS-t-GT = o

66 réduit à GT = o. Par conséquent, la direction de la force T est normale à l’élément décrit par le point B (157), c’est-à-dire

qu’elle passe par le centre A de la sphère sur laquelle est situé ce point : en d’autres termes , la force T est dirigée suivant le prolongement de AB. On en peut dire autant de la force S; donc les résultantes S , T sont directement opposées.

La somme de leurs travaux étant nulle, par hypothèse, il faut évidemment que ces forces soient égales. Ainsi , lorsque la somme des travaux élémentaires des forces données est nulle, il y a équilibre.

Le théorème est donc démontré.

277. Corollaire. — La condition générale de l’équilibre d’un système quelconque de forces appliquées à un corps solide entièrement libre , est exprimée par l’équation

Équation» de l’équilibre.

278. La condition précédente, appliquée successivement à tous les petits déplacements que l’on peut imprimer au corps solide, conduirait à une infinité d’équations différentes (du moins en apparence), vérifiées si les forces proposées se font équilibre. Nous allons montrer que toutes ces équations sont comprises dans six équations principales, nécessaires et suffisantes, appelées, pour cette raison , les six équations de F équilibre.

279. Soit F, l’une des forces qui agissent sur le corps solide; soient x v y t , z, les coordonnées rectangulaires de son point d’application jh ( , et a , f>,, y, les angles formés, avec les trois axes, par la direction m, F,.

Si nous imprimons au corps un petit mouvement de translation , parallèle à l’axe des x, le travail élémentaire de la force F, sera *F,cosa„ t représentant le chemin parcouru par chacun des points corps. Les travaux des autres forces seront, semblablement,

MÉCANIQUE. a4g

tF,cosa„ iF 3 cosa 3 ,...; en sorte que P équation du travail (277) deviendra s 1 F cosa = o,

ou xFcos« = o. (i)

Des translations parallèles à l’axe des y ou à l’axe des z donnent, de la même manière ,

lFcos|3 = o, ( 2 )

2 F COS 7 = o. (3)

Ainsi, quand il y a équilibre, les sommes des composantes des forces donnée s , parallèles à trois axes rectangulaires quelconques , sont séparément /tulles.

280. Donnons maintenant au corps uu petit mouvement de rotation autour de l’axe Ox; et, pour évaluer plus commodément le travail de la force F,, décomposons cette force en deux autres : l’une, Q, , parallèle à Ox, et l’autre, P,, parallèle au plan des/z. La composante Q,, normale au petit arc décrit par le point /«,, a un travail nul. Par conséquent, le travail de la force F, se réduit à celui de la composante P,.

La seconde figure, qui représente une projection sur le plan des yz ou sur un plan parallèle, passant par le point /«,, montre que le travail élémentaire de P, a pour valeur P,. »i, m\. cos 9. Mais, « étant l’angle de rotation, »?,/«',= O m l . w. De plus, si nous appelons p, la plus courte distance OD entre P axe Ox et la

direction de la force F., cos 9 = Donc 1 O/w,

GP, == GF, = P,/>,w = F,/>, sina, . «.

a5o MÉCANIQUE. •

Les autres forces F,, F s , . . . , donnant lieu à des décompositions semblables, on voit que l’équation générale J

devient «2F yjsin a = o,

ou plutôt ZF/>sina = o. ^4)

Sans nouveau calcul , nous pouvons écrire les deux dernières équations de V équilibre :

1 Fq sin p = o, ( 5 )

2 Frsin 7 = o. (6)

Les équations (4), (5), (6) prouvent que: s’il y a équilibre , les sommes des moments des forces données, par rapport à trois axes rectangulaires quelconques , sont séparément nulles (*).

281. On vient de voir que si les forces F„ F„ F 3 ,..., se font équilibre, par l’intermédiaire du corps solide, elles satisfont aux équations (i), (a), (3), (4), (5), (6) ; ces équations sont donc nécessaires. Il reste à démontrer qu’elles sont suffisantes. A cet effet, remplaçons les forces données par deux forces S, T (273). Nous aurons , en prenant pour otigine le point (F application de S :

S cos). -4- T cos)' =

Scosp + Tcosp'=

S cosv + T cosv' =

T / sin)' =

T m sin f =

Trtsinv' =

On déduit, des trois premières équations, S 5 = T J ; puis,

S = T, cos) = — cos)', cosp. =- fe cèsp', cosv = — cosv'.

Ainsi, les forces S, T sont égales, parallèles et de sens contraires.

(*) Fl csl bon de remarquer, en passant, que le travail élémentaire d'une force , pour une rotation autour dam axe , est égal au produit du moment de cette force , par rapport à l’axé, par l'an§le de rotation.

(**) /, m, n sont les plus courtes distancc$enlre la direction de la forceT et les trois axes; A, p, v représentent les angles qui déterminent la direction de S ; etc.

MÉCANIQUE. a5i

D’un autre côté , les équations (4'), (5'), (6') donnent /=o, m = o,. n == o (* ); donc la direction de la force T passe par le point d’application de la force S ; par suite , les forces S, T sont directement opposées. Il y a donc équilibre.

282. Remarques. — I. Si l’on imprime au corps solide une translation ou une rotation quelconque, l’équation à laquelle on parviendra , en exprimant que la somme des travaux élémentaires est nulle , sera une conséquence des six équations de P équilibre (** ).

II. Pour abréger, on représente souvent par X, Y, Z les sommes des composantes des forces F„ F 2 , F 3 ,..., et par L, M, N les sommes de leurs moments. Les équations de l’équilibre prennent alors la forme symbolique :

III. Soient x n y x , z, les coordonnées du point m„ ou plutôt les coordonnées d un point quelconque de la droite suivant laquelle agit la force F,. On trouve aisément ( D . D.,\ 16)

7, cos Y, — z.cosft, sina,

z, COS a, — x { cosy, sinfJ, ’

-g, COS P, -7, COS «, .

1 siny, ’

donc L = 2 F(/cos 7 — zcos|5),

M = 2F(zcosa — xcosy),

N = lF(.rC0S[3 — jCOSa).

IV. Les six équntions de l’équilibre renferment, comme cas particulier, les conditions de l’équilibre de forces concourantes , de

(*) T est différent de zéro , et les trois sinus no sont pas nuis à la fois. Si l’on avait sin X’=o, les équations (5'), (6') donneraient

la force T serait dirigée suivant l’axe des x; etc.

(**) Nous engageons le lecteur à vérifier, par un calcul direct, ce corollaire évident des principes ci-dessus démontrés.

*5a MÉCANIQUE.

forces parallèles , de forces situées dans un plan, de forces parallèles à un plan, etc. Elles donnent également les conditions de l’équilibre d’un corps solide qui , au lieu d’être entièrement libre , renferme un jwint fixe ou un axe fixe (*).

Cas où les forces ont une résultante unique.

283. Soit R cette résultante; soient a, b, c les coordonnées de son point d’application , et \ p, v les angles formés, avec les axes, par sa direction. Si l’on joint, aux forces proposées, une force égale et contraire à R, il y aura équilibre. On aura donc, en conservant les notations précédentes :

— Rcosa+X = o, — Rcos/*-4-Y = o, — Rcosv-+-Z = o,

— R (b cos v — c cos p. ) — 1— L = o,

— R(ccosi — acosv)-f-M = o,

— R(ocosp — b cosa )-(-N = o.

Au moyen des trois premières équations , on transforme ainsi les dernières :

bZ — cY-|-L = o, cX — «Z-f-M = o, «Y — &Z-(-N = o. ( 1 ).

284. Ces nouvelles équations , dans lesquelles a , b , c sont les coordonnées d’un point quelconque de la droite suivant laquelle agit la résultante, représentent les trois projections de cette ligne : puisqu’elles coexistent, les quantités L, M, N, X, Y, Z doivent satisfaire à l’ équation de condition

LX 4- MY -t-NZ = o,

que l’on obtient en ajoutant membre à membre les équations (i), après les avoir multipliées, respectivement, par a, b , c. Cette équation exprime la relation à laquelle doivent satisfaire les forces proposées, pour qu’elles aient une résultante unique.

(*) La recherche de ces conditions particulières constitue d'intéressants problèmes, sur lesquels le lecteur pourra s’exercer.

EXERCICES

I. Théorème. — Lorsque des forces sont en équilibre dans l’espace, si l’on décompose chacune d’elles en deux autres, de manièro que les premières composantes agissent dans un môme plan , et que les secondes soient parallèles à une droite donnée : chacun de ces deux systèmes de composantes sera séparément en équilibre.

II. Théorème. — Si l’on projette sur un plan , des forces en équilibre dans l’espace , les projections représentent des forces qui se font équilibre.

III. Théorème. — Si l’on réduit un système quelconque de forces, d’une infinité de manières, à deux forces S, T, le tétraèdre construit avec les droites qui représentent ces deux résultantes, prises comme arêtes opposées, a un volume constant. (Chasles.)

IV. Théorème. — Si l’on réduit un système de forces , d’abord à deux forces S, T, ensuite à deux autres forces S', T', les directions de ces quatre résultantes sont situées sur un hyperboloïde à une nappe. (Chasles.)

V. Théorème.. — Pour que quatre forces, P, Q, S, T, situées ou non situées dans un même plan , mais non appliquées en un même point, se fassent équilibre, il faut et il suffit :

i°. Que deux de ces forces, par exemple les forces P, Q, soient représentées, en grandeur et en direction, par les deux côtés opposés AB, CB d’un quadrilatère ;

2 0 . Que les deux autres forces, S, T, soient représentées par des droites égales et parallèles aux deux autres côtés AD, BC du quadrilatère;

3°. Que les directions de ces deux dernières forces rencontrent les côtés BC, AD en des points E, F tels, que l’on ait