A^AC
B'g~ BC’
ou, à cause de A'C'=-AC, B’C'=-BC:
Cette dernière proportion prouve que C 'g est la bissectrice île l’angle A'C'B'. Donc le centre de gravité cherché coïncide avec le centre du cercle inscrit au triangle qui a pour sommets les milieux des côtés du triangle donné (*).
264. Problème II. — Trouver le centre de gravité d’un quadrilatère ABCD.
La diagonale AC partage le quadrilatère en deux triangles dont
les centres de gravité g, g' sont situés sur les médianes DE, BE. Conséquemment, le centre de gravité cherché divise la droite gg' en deux segments g-G, g' G inversement proportionnels aux poids ou aux aires de ces triangles.
On a donc
g G ABC tf'G ADC*
Mais les triangles ABC, ADC ont même base; donc ils sont entre eux comme leurs hauteurs BB', DD'- ou encore comme les segments BF, DF de la diagonale BD ; ou enfin comme les segments g' H, g H de la droite gg'. Donc
(*) Les segments gG, GC sont entre eux comme AB et AC-f-BC, ou comme A' B' et A'C'-bB'C'. Par conséquent: le cercle inscrit à un triangle partage chaque médiane en deux segments proportionnels au côté opposé et à la somme des côtés adjacents. Cet exemple , et ceux du n° 262 suffisent pour faire comprendre que la théorie des centres de gravité peut être avantageusement appliquée à la Géométrie.
MÉCANIQUE. a4i
Cette proportion donne, évidemment, gG = g' H, g' G = g H. Ainsi, / rour obtenir le centre de gravité G du quadrilatère ABCD, menez la diagonale AC , construisez les centres de gravité g, g' des deux triangles ADC, ABC, et prenez , sur la droite gg', g G = g' II.
265. Remarque. — Le point G est situé sur la droite qui joint les centres de gravité des triangles ABD, BCD.
266. Problème III. — Déterminer le centre de gravité d’un polygone quelconque.
Supposons d’abord qu’il s’agisse d’un pentagone ABCDE.
Menons la diagonale AC, de ma-
nière à décomposer le pentagone en un triangle ABC et en un quadrilatère ACDE. Soient g, g' les centres de gravité de ces deux figures, déterminés par les constructions indiquées ci-dessus : la droite gg' contiendra le centre de gravité cher-
ché G.
Une autre décomposition du pentagone donnera une seconde droite sur laquelle se trouve le centre G ; donc ce point sera déterminé.
Si le polygone donné est un hexagone, on le décomposera en triangles et en pentagones, ou bien en quadrilatères; et ainsi de suite.
267. Remarque. — Chaque décomposition donne une droite qui contient le centre de gravité du polygone donné; donc ce centre est le point de concours d’un réseau de droites.
268. Problème IV. — Trouver le centre de gravité G d’un trapèze ABCD.
En opérant comme dans le cas d’un quadrilatère quelconque (264), on obtient une première droite gg\ sur laquelle est situé le point cherché G. D’un autre côté, la médiane EF, divisant en deux
parties égales toutes les cordes parallèles aux bases du trapèze, contient aussi le centre G. Ce point est donc déterminé.
269. Remarque. — On peut se dispenser de construire les points g, g'.
24 a MÉCANIQUE.
En effet, soient gl, g'I' des parallèles aux bases, menées par ces deux points; on aura
/G g-G BCD.
I' G ~ g' G - ABC’
ou , en appelant B , b les bases CD , AB ,
rtr B l'G~b -
Cette proportion donne
'G = "'jdh = 5 EF
l'G = II'
B -hb
Par suite, x et y désignant les segments EG, FG de la médiane,
y b , aè4- B B4 r £ + 1
Ainsi , le centre de gravité du trapèze partage la médiane EF en deux segments EG, FG qui sont entre eux comme la première base AB , augmentée du double de la seconde CD , est à la seconde augmentée du double de la première.
270. Problème V. — Déterminer le centre de gravité G d’un tronc de tétraèdre, à bases parallèles.
Les centres g , g' des bases ABC,
A'B'C', et le sommet S du tétraèdre, sont évidemment situés sur une même droite; donc le point cherché G appartient à cette droite : pour le déterminer complètement, il suffit d’évaluer le rapport des segments g'G, gG.
A cet effet, décomposons le tronc en trois tétraèdres ABCB', A' B' C'A, ACB'C', et prenons les moments par rapport aux deux bases ; nous aurons, en employant les mêmes notations que
dans le problème précédent ,
x B 4 h + b . { h -t- \/Wb.\ h
ou - = •
y B4-36-4-2/BÔ
271 . Problème VI. — Déterminer le centre de gravité G d’un arc de cercle ÀCB.
Commençons par chercher le centre de gravité d’une ligne brisée régulière, d’un nombre pair de côtés, inscrite dans ACB. Ce point étant nécessairement situé sur le rayon OC passant par le milieu
de l’arc, il suffit d’évaluer sa distance .r au centre O. Soit DE un côté quelconque de la ligne brisée. Soit ni le milieu de ce côté. En prenant les moments par rapport à un axe XY parallèle à AB, nous aurons
XDE.wjP = x 1 DE,
ou SDE.wP = Px,
P étant le périmètre du polygone.
Afin de simplifier la sommation indiquée dans le premier membre, transformons DE. /«P. Nous aurons, en menant O ni, puis DF et EF parallèle et perpendiculaire à XY :
DE DF Om ~ /« P’
(*) Les segments x,y sont entre eux comme les distances du point G aux deux plans A'B'C', ABC; donc p représente le rapport des moments du tronc, par rapport à ces plans. De plus, les volumes des trois tétraèdres sont, comme on sait, B • ^ h, b .'-h, y^ÏÏI • ^ h. Enfin , les dis-
tances des centres de gravité de ces trois corps, à la base ABC, ont
pour valeurs \ h, ^ h et -h.
donc DE. /«P = O/w.DF = R.D'F' (*),
et, conséquemment,
x = pïD'F' = pAB:
la distance x est une quatrième proportionnelle au périmètre P, à la corde AB et au rayon R. Par suite , la distance du centre O (Vun arc de cercle , à son centre de gravité G , est une quatrième proportionnelle à l’arc, à ta corde et au rayon.
272. Problème VII. — Trouver le centre de gravité G d’un secteur circulaire ACBO.
Inscrivons, à cette figure, un secteur polygonal régulier. Soit ODE un des triangles isocèles égaux composant ce nouveau secteur. Le centre de gravité m' de ce triangle est situé aux deux tiers
de l’apothème O m et au milieu de la petite corde D'E', homologue à DE.
Conséquemment, le centre de gravité du secteur polygonal coïncide avec le centre de gravité d’une ligne brisée régulière , inscrite dans l’arc
A'C'B' qui a pour rayon -OA. Les
deux lignes brisées ont pour limites respectives les deux arcs; donc le centre de gravité d’un secteur circulaire coïncide avec le centre de gravité d’un arc semblable à celui qui sert de base au secteur, et dont le rayon est les deux tiers du rayon du secteur.
EXERCICES
I. Théorème. — Le centre de gravité d’une zone sphérique est situé au milieu de la hauteur.
II. Théorème. — Le centre de gravité d’un secteur sphérique coïncide avec le centre de gravité d’une zone semblable à celle qui sert de base au secteur, et dont le rayon est les trois quarts du rayon du secteur.
(*) Cette transformation, que l’on emploie pour déterminer l’aire de la sphère, est attribuée à Archimède.
MÉCANIQUE. a45
III. Théorème. — Le centre de gravité d’un segment sphérique à une base partage la hauteur h en deux parties qui sont entre elles comme 8 R — 3 A et 4R— A, R étant le rayon de la sphère.
IV. Trouver le centre de gravité de la surface d’un cône droit.
V. Trouver le centre de gravité d’un triangle dans lequel la densité, en un point quelconque, est proportionnelle à la distance comprise entre ce point et la base du triangle.
VI. Aux sommets d’un triangle rigide sont appliquées trois forces parallèles , proportionnelles aux côtés opposés. Déterminer le centre de ces forces.
VII. Aux sommets B, C, D d’un tétraèdre ABCD sont appliquées trois forces parallèles. Déterminer la distance de leur centre au sommet A.
VIII. Théorème. — Les centres de gravité de l’aire et du contour d’un polygone circonscrit à une circonférence sont situés sur un rayon ; leurs distances au centre de la circonférence sont dans le rapport de 2 à 3. (Brassine.)
IX. Théorème. — Le centre de gravité du volume et de l’aire d’un polygone circonscrit à une sphère sont situés sur un rayon ; leurs distances au centre de la sphère sont dans le rapport de 3 à 4* (Brassine.)
X. Théorème. — Étant donnés dans l’espace « points 1 , a, 3,. . n, on les joint deux à deux dans l’ordre des numéros, de manière à former un polygone ouvert, plan ou gauche. Sur chaque côté ou sur son prolongement on prend un point, que l’on désigne par l’ensemble des numéros des points par où passe la droite sur laquelle il est pris : joignant ces points aux premiers, on forme une deuxième série de droites. Celles de ces droites qui passent par les points dont les indices réunis contiennent les trois mêmes numéros, se rencontrent en de nouveaux points, dont chacun peut être désigné par trois numéros. Joignant ces points aux précédents, on forme une troisième série de droites. Celles de ces droites qui passent par des points dont les indices réunis contiennent les quatre ou les cinq mêmes numéros, se rencontrent en de nouveaux points; etc. (Coriolis.)
ai.
