AC B
donc
Ainsi , les pressions exercées en A , B , C sont proportionnelles aux aires des triangles BOC, CO A, AOB.
■xpi * MÉCANIQUE.
324. Quand le nombre « des points d’appui A, B, C, D,... surpasse trois , les valeurs des pressions exercées en ces points deviennent indéterminées ; car le poids P peut , d'une infinité de manières, être décomposé en forces appliquées aux points A, B, C, D,..*. (*). Ce résultat paradoxal tient à ce que, contrairement à la réalité , nous avons supposé les corps parfaitement rigides : si l’on avait égard aux actions moléculaires, on trouverait que les pressions sont parfaitement déterminées.
Du plan incliné.
325. Soit un prisme droit ABCA' B’C' ayant pour base un triangle rectangle ABC. Si ce prisme repose, par sa face ABB'A', sur un
j plan horizontal, la face BCB'C' sera verticale, et la troisième face ACA'C' formera ce qu’on appelle un plan incliné (**).
Les droites AB, BC, AC sont, respectivement, la base, la hauteur et la longueur du plan incliné ; cette dernière droite, perpendiculaire à la trace horizontale AA', est la ligne de plus grande pente du plan. Il en est de môme pour toutes les droites EF, E'F', parallèles à CA.
320. Equilibre d'un corps reposant sur un plan incliné. — Considérons un corps M retenu en équilibre sur un plan incliné ABC, ou animé d’une vitesse constante, dirigée parallèlement à la ligne
(*) Cette proposition, qui parait assez évidente, résulte aussi delà considération des équations
P H-p' -hp n = P,
px -i-p'x'-t-p"x" =Px lt ■
données par la théorie des moments. Relativement aux limites entre lesquelles il est permis de faire varier les inconnues p, p', p" , . . . , le lecteur pourra consulter la Statique de M. Gerono, remarquable ouvrage, auquel nous avons fait de nombreux emprunts.
(**) C’est-à-dire incliné à l’horizon.
de plus grande pente ; et cherchons les relations qui existent entre la puissance F, le poids P et la réaction R du plan.
Que le corps soit en repos ou qu’il ait un mouvement uniforme, les trois forces F, P, R devront se faire équilibre; ce qui
exige qu’elles soient dans un même plan. Or, la réaction R est située dans le plan normal passant par la direction de la vitesse (303), c’est-à-dire dans le plan vertical passant par la ligne de plus grande pente ; le poids P est évidemment situé dans ce même plan ; donc , pour l’cquilibre, la direction de la puissance F doit être située dans le plan vertical pas-
sant par la ligne de plus grande pente du plan incliné (*). Pour plus de simplicité, on peut supposer celte force F appliquée au centre de gravité G.
Cela posé, désignons par 1 l’inclinaison du plan , et par a l'angle de la puissance avec la ligne de plus grande pente. Si le mouvement est ascendant (**), nous aurons
ou
sin ( P, R ) sin (F, R ) ~ sin ( F, P ) ’
sin(i-f-<p)
ou enfin -.— 4- = - — J*
sin(/-f-ÿ) cos (« — <p) COS(a-f-i')
327. Remarques. — I. L’équilibre sur le plan incliné est un cas particulier de l’équilibre d’un corps reposant sur un plan.
II. Pour faire monter le poids P le long du plan incliné, on doit
( ) Si le mouvement, toujours supposé rectiligne et uniforme, n’avait plus lieu parallèlement à la ligne de plus grande pente, la puissance F devrait être dirigée dans le plan z>ertical parallèle à la direction du mouvement.
(**) Dans le cas où le corps descendrait le long du plan incliné, il suffirait de changer <f en — p dans les relations suivantes.
y appliquer une force F, égale à P Cette force atteint
son minimum lorsque cos ( a — y ) == i , auquel cas a = <p. Ainsi , la puissance F, capable de faire monter uniformément un corps le long d’un plan incliné, est la plus petite possible lorsqu’elle fait, avec le plan, un angle égal h l'angle de frottement.
328. Supposons que le corps solide , en repos ou animé d’une vitesse constante , ne soit sollicité par aucune puissance. Les forces P, R, devant se faire équilibre, seront égales et directement opposées; par conséquent, les angles NGR, N 'GP, opposés au sommet, et formés par des lignes droites, sont égaux; et comme N'GP = i, on aura NGR = i. Donc,
Pour qu’un corps, sollicité seulement par son poids, descende uniformément le long d’un plan incliné, parallèlement à la ligne de plus grande pente, il faut et il suffit que l’inclinaison du plan soit égale à l’angle de frottement. , " .
329. Si l’on fait abstraction du frottement, c’est-à-dire si l’on suppose <f> = o, les relations (3) se réduisent à
J = __JL = JL. (4)
sin i ~ cos (j a) " cos a '
On a donc , dans ce cas ,
F=pSmi. (
COS a
Ainsi :
i°. La force F, nécessaire pour faire mouvoir uniformément le poids P sur un plan incliné, est proportionnelle au sinus de l’inclinaison du plan, et inversement proportionnelle au cosinus de l’angle formé par la direction de F avec la ligne de plus grande pente du plan. '*
2 °. La force F est la plus petite possible quand elle agit parallèlement h la ligne de plus grande pente.
330. Remarquons à présent que le triangle rectangle ABC donne
