Mouvement varié d’un corps sur un plan incliné. — Pour
nous borner au cas le plus intéressant, supposons que le corps ait été lancé, avec une vitesse initiale a , dans une direction parallèle à AC : il s’élèvera le long du plan incliné, après quoi il redescendra (pourvu que le frottement ne soit pas trop considérable). Le mouvement complet du corps se compose donc d’un mouvement ascendant, suivi d’un mouvement descendant . Examinons ces deux phases du phénomène.
332. Mouvement ascendant. — La force X qui sollicite le corps est dirigée suivant le prolongement de GG' ; elle est égale à la somme des composantes de P et de R, parallèles à CA; donc
X = P sin/ -f-R sin?. ( 6 )
D’un autre côté, comme il n’y a aucun mouvement dans le sens de la normale NN', les composantes parallèles à cette direction doivent se faire équilibre; en sorte que
P cos/ = R cos?. ( 7 )
L’élimination de R, entre les équations (G) et ( 7 ), donne
x=p 8 in ( ,+ v) . ( 8 )
La force X étant constante, le corps a un mouvement unijormément retardé, dont les équations sont, en conservant les notations habituelles ,
sin (/-h?) cos? ’
sin 1
cos®
at
1 sin(i' + ?)
COS v
333. Le temps au bout duquel le mobile s’arrêtera , et l’espace e qu’il aura parcouru , sont donnés par les formules
a cos ? i a 1 cos® , .
t — — - , - ' r) e : — 7-7-7 r- (io)
^ sin — I— <p) ' 2 g sin ( / -4- ? )
334. Mouvement descendant. — La force X, qui produit le mouvement est encore dirigée suivant le prolongement de GG' ; mais elle est égale à la différence des composantes de P et de F, parce que la réaction R a changé de sens. Conséquemment
X, = P sini — R sin <p (*),
ou , à cause de l’équation (7),
x i=P ïïfci!. („|
1 cos?
Par suite , les formules qui déterminent le mouvement uniformément accéléré du mobile sont
sin (i — ?) \
0 cos ? J
sin(i — ?) # ( . .
• '' = * cos/ '" 1 •
, Sin/- T ) \
1 2 0 sin ? /
33o. En comparant le mouvement descendant au mouvement ascendant, nous pouvons chercher le temps t { qu’emploie le mobile jxtur revenir h sa position initiale. Supposant x x = e (333), nous obtenons
a cos?
ë v/sin(j + ?) sin(/ — ?) Nous avons trouvé ci-dessus
cos?
g sin ( i + ? ) ’
(*) Les calculs suivants supposent la force X, positive. Si elle était négative, c’est-à-dire si le frottement au départ, représenté par R sin?, l’emportait sur la composante P sinf du poids P, le corps ne redescendrait pas. Cette circonstance se présente lorsque l’angle de frottement surpasse l 'inclinaison du plan.
donc f, > / : le corps descend plus lentement qu'il n'est monté. On pouvait prévoir ce résultat; car, dans le mouvement ascendant, les deux forces Psinz, Rsintp tendent à diminuer la vitesse; et, dans le mouvement descendant, l’accroissement de vitesse est dû à la différence de ces deux forces. Du reste , quand le mobile revient au point de départ, la vitesse V qu’il possède est moindre que la vitesse initiale a. En effet ,
Y sm(z + <p)
336 . Equation du travail et des forces vives. — La relation générale entre ces deux sortes de grandeurs, démontrée ci-dessus ( 174 ), peut aisément être vérifiée dans les divers cas dont nous venons de nous occuper : pour abréger, reprenons seulement les deux derniers.
i°. Si le corps s’élève le long du plan incliné , la demi-variation de sa force vive , au bout du temps t , est
1 ,, ,, i sin(z-t-w)r sin(i-4-<j>n
- m (v 7 — a 7 ) = met — 2 a — Pt — — I •
2 v ' 2 ° COS(p L b COS «P J
D’un autre côté , le travail de la force X , qui est négatif, a pour valeur
~ v Y sin(t +?) f .
" COS q L
donc - m(v 7 — a 7 ) = 6.X.
2 b COS ® J ’
2°. Si le mobile , après avoir parcouru l’espace c en montant , est revenu au point de départ, il a perdu une quantité de force vivo représentée par
sin (i — <j>)~
( a 7 — V J ) = ma‘ i
sin(z 4- <p).
En même temps , le travail total des forces X , X, , qui ont successivement sollicité le corps, est
(X 1 -X)c = ^-[sin(z- ? )-sin(i + Ÿ)]i"
COS<p
2 g sin (/ -+- Ÿ )
donc
1 , T sin ( i — ® ) '1
= - ma 7 -t— p — i .
2 Lsm / + <p J
337. Portion du travail absorbée par le frottement. — Le travail résistant T, dû au frottement du mobile sur le plan incliné, a pour valeur absolue R.r sin<j>, x étant l’espace parcouru. Par suite, dans le cas du mouvement ascendant,
cos 9
sin(/ -t-y)
• R sin (f
i , sin œ cos i -, ma . ■- /. , — r ; 4 sin (*-+-<?)
et, si le mobile revient à sa position initiale,
1 , sin cos i , i , sin » cos i
T = - ma' - t -. - V - — r + - ma' r
2 sm(t-h^) 2 sin(i— ç)
i , sin 2 o cos 2 1
= - ma 7 -r —r. ; ;•
4 sm(/ 4 -<p) cos(j — <?)
Stabilité des corps pesants.
338. Supposons, comme dans le n° 321 , qu’un corps pesant s’appuie sur un plan horizontal , par une base polygonale *\BC
Pour l’équilibre, il suffit que le point O, où la verticale passant par le centre de gravité du corps rencontre le plan , soit intérieur au polygone d’appui. Si les surfaces en contact ont un degré de poli suffisant, une force horizontale F, appliquée au corps, le fera
simplement glisser sur le plan. Mais si les deux surfaces frottent l’un contre l’autre, ou plutôt si la base ABC... a légèrement pénétré dans la matière qui constitue le plan, les choses ne se passent plus de la môme manière : la force F tend à renverser le corps. Admettons , en effet, pour plus de simplicité, que cette force F soit appliquée au centre de gravité du corps et qu’elle soit perpendiculaire à un côté du polygone d’appui , au côté AB, par exemple. D’après les hypothèses précédentes , le corps tournera autour de AB, et se renversera sur le plan , si la résultante du poids P et de la force F rencontre le plan en un point extérieur au polygone d’appui; ou, ce qui est équivalent, si le moment de F, par rapport à AB, l’emporte sur le moment de P. Représentant par h l’ordonnée verti-
cale du centre de gravité , et par p la distance du point O à l’aréte AB, nous aurons, pour valeurs de ces deux moments, FA et P p. La condition exprimant la stabilité de Péquilibre est donc
339 . Remarques. — I. Le produit Vp, qui exprime, en quelque sorte , l’énergie avec laquelle le poids P s’oppose à la rotation autour de AB , est appelé , pour cette raison , moment de stabilité par rapport à AB.
IL Soient EA le côté du polygone d’appui , le plus voisin de la projection horizontale O, et P/> ,v le moment de stabilité relatif à ce côté. Si ce moment minimum surpasse F h , la force F ne peut faire tourner le corps autour d’aucun des côtés du polygone d’appui , et la stabilité est assurée.
III. Plus généralement, si le corps P a une base curviligne ABC, et si TT' est la tangente la plus voisine du point O, projection horizontale du centre de gravité de P, la relation (1), appliquée à TT', suffit pour que la stabilité soit assurée.
IV. Toutes choses égales d’ailleurs, la stabilité est la plus grande possible, quand
le moment minimum est maximum.
EXERCICES
maintenu en équilibre sur un plan incliné BA,
par trois forces égales a - i et parallèles,
respectivement, à BA, AC, CB. Quelle est l’inclinaison 1 du plan?
1 = arc tang ^ •
IL Deux poids P, P' s’appuient sur deux plans inclinés et dépolis AC , AC'. Ces deux poids sont réunis par un fil sans pesanteur POP', qui s’enroule sur une poulie O, située au-dessus de l’arète commune A. Quelle est la figure du fil , lorsque le poids P commence à descendre le long du plan incliné AC?
