Remarque. — La formule de Simpson , appliquée à la para

(*) Par des considérations particulières, 51. Snigry est arrivé à une règle qui rentre dans celle de Simpson. ( Géométrie élémentaire , par MM. Vincent et Saigey, page 243.)

boledu troisième degré (*), donne un résultat exact, même quand le nombre des valeurs de l’ordonnée se réduit à trois (**).

4 . Méthode de M. Poncelet. — En supposant encore la base ab partagée en un nombre pair de parties égales, on mène les cordes AB, BD, . . . , LN, NP, puis les tangentes aux sommets B, D, . . . , L, N; et l’on prolonge chacune de ces dernières droites jusqu’aux ordonnées voisines du sommet correspondant. On obtient ainsi un polygone ABD, . . . , LNP pa inscrit à la courbe, et un autre polygone 7'e, . . . , p-p, qu’on peut regarder comme y étant circonscrit (***).

Cela posé, on appelant A' et A" les aires de ces 'eux polygones, on a, par un calcul analogue à ceux qui précèdent,

L’aire cherchée A , étant comprise entre A' et A", doit différer assez peu do la moyenne entre ces deux quantités; donc

Telle est la formule do M. Poncelet.

(*) Représentée par

y = a 4- bx -p ex* -+- <ix*.

(**) Nouvelles Annales de Mathématiques, t. XVI, p. 3 1 2 .

(***) On suppose, pour plus de simplicité, que la courbe donnée n’a aucun point d’inflexion , et qu’elle tourne sa concavité vers la base ab. Tous les autres cas peuvent être ramenés à celui-là.

5 . Remarque. — En vertu des hypothèses précédentes, la limite de V erreur e, à laquelle donne lieu l’application de cette formule, est A"— A'; donc

Soit g G l’ordonnée passant par le milieu de ab\ alors, en menant les cordes AP, BN, on a

donc e<£.I\S.

6. Méthode de M. Piobert. — En discutant les principales formules de quadrature, et en particulier celle de M. Poncelet,

M. Parmentier, capitaine du Génie, a été conduit, par une méthode que nous ne pouvons reproduire ici , à cette conclusion remarquable : la différence A* — A est, à fort peu près, la moitié de lu différence A — A 1 . Par conséquent,

ou A = S . ( 4 )

Cette nouvelle formule , à laquelle M. Piobert était arrivé de son côté, n’est pas plus compliquée que celle de M. Poncelet ; et, comme * elle est beaucoup plus approchée, elle doit toujours lui être préférée (*).

7 . Autre méthode. — En modifiant la méthode de Simpson, on arrive aisément (**) à la formule suivante:

(*) Nouvelles Annales de Mathématiques , tome XIV, ‘page 38l. (**) Nouvelles Annales de Mathématiques, tome X, page 4 1 3-

>?■-■ rV