FORMULES APPROXIMATIVES DE QUADRATURE
On a vu, à la page 194, que la détermination du travail total d’une force peut être ramenée à la recherche de l’aire d’une courbe dont on connaît un certain nombre d’ordonnées. Nous allons indiquer les formules qui permettent d’effectuer ces quadratures approchées.
\ . Méthode des trapèzes. — AP pa étant l’aire qu’il s’agit d’évaluer, 4 oient j 4 , J,,..., J, les ordonnées des points A, B,..., P, ordonnées que l’on suppose équidistantes. Si l’intervalle S est assez petit , on pourra , sans grande erreur, supposer que les arcs AB, BC, . . . , NP, sont confondus avec leurs cordes. On aura donc, à peu près, en appelant A l’aire cherchée,
A = £ * lr. +*)+•-* • •+ £ * (r. -, -KO ;
ou A = 9 y t +y x -Kr, + • • ;
ou encore, en représentant par S la somme de toutes les ordonnées,
Ainsi , l’aire A a pour valeur approchée le produit de la distance comprise entre deux ordonnées consécutives, par la somme de toutes les ordonnées, diminuée de la demi-somme des ordonnées extrêmes.
2 . Méthode de Thomas Simpson. — Au lieu de remplacer les arcs AB, BC,... par leurs cordes, comme dans la méthode précédente, le géomètre anglais Thomas Simpson substitue, à la courbe ABC... MNP, des paraboles du second degré, passant
par les extrémités de trois ordonnées consécutives, et dont les axes sont parallèles à ces ordonnées. Ce procédé exige évidemment que le nombre n des divisions de la base ab soit pair .
Considérons, pour fixer les idées, l’arc de B ’ c parabole passant par les extrémités A, B, C des trois premières ordonnées. Menons la corde AB'C. Prenons BB" = BB', et menons B” A, B”C: ces deux droites seront tangentes ’ à la parabole (D. D., 341 ). D’un autre côté, - le segment parabolique ABCB' est les deux tiers du triangle AB"C ( D . D 343). Par
conséquent ,
ABCca = (y a + r, ) S 4- \ B 1 B". $ \ *
(Xt+Xt
oi
ou
ABCcfl = (r 0 +Xi + 4 J, )•
En appelant encore A l’aire cherchée , nous aurons donc A = X*+~' • • *+* Xn-i +X n + 4/„, ) t
ou, en désignant par S p la somme des ordonnées à indice pair, et par S,, la 6omme des ordonnées à indice impair.
A= iô[2S p +4S j -(/,+ r„)]. (a)
L’aire A a pour valeur approchée le tiers du produit de la distance comprise entre deux ordonnées consécutives , par deux fois la somme des ordonnées h indice pair , plus quatre fois la somme des ordonnées à indice impair, moins la somme des ordonnées extrêmes (*).
