Application. — Trouver l’équation du tore

La directrice étant un cercle situé dans un meme plan avec l’axe

(*) Traité élémentaire de Géométrie descriptive , seconde partie.

(**) On suppose les coordonnées rectangulaires.

de rotation, nous pouvons représenter cette ligne par (x — a) 5 - 4 - 3 * = R r , y==o.

L’élimination de x t y, z entre ces deux équations et x , +j’ = a 1 , z = P, conduit à (±a — «) ! 4 -p 3 = R 5 .

Conséquemment, le tore a pour équation

ou (.r 3 -}- j î H- 2 J 4 -a 5 — R ’) 1 = 4a , (x î -i- j 3 ).

Surfaces coooïdes.

199. On donne ce nom aux surfaces engendrées par une droite assujettie à rester parallèle h un plan donné, et à s’appuyer sur une directrice rectiligne et sur une autre directrice quelconque ( * ).

Si l’on prend le plan directeur pour plan des xy, et la directrice rectiligne pour axe desz, l’équation générale des surfaces conoïdes aura évidemment la forme

200. Application. — Trouver l’équation de l’héliçoïde à plan directeur.

Ici , la seconde directrice est une hélice tracée sur un cylindre dont l’axe est la directrice rectiligne supposée, pour plus de simplicité , perpendiculaire au plan directeur. Considérons seulement le cas où la tangente à l’hélice fait, avec le plan directeur, un . angle de 45°. En prenant pour unité le rayon du cylindre, et en faisant passer l’axe des x par un point de l’hélice, nous aurons, pour les équations de cette courbe ,

.r = cos z, / = sinz (**y.

(*) Le paraboloïde hyperbolique est un conoïde dans lequel la seconde directrice est rectiligne.

(**) Pour trouver ces équations, on doit se rappeler que, dans l’hélice, la sous-tangente est égale à l’abscisse curviligne ; etc.

Les équations de la génératrice sont d’ailleurs

a et p satisfaisant à la relation

a = tang

que l’on obtient en éliminant x, y et z. Par suite, l’équation de l’héliçoïde est - . . .

— = tang z.

EXERCICES

I. Discuter la courbe que l’on obtient en coupant un tore par un plan oblique à l’axe de rotation et passant par le centre de la surface. Dans quel cas cette courbe se compose-t-elle du système de deux cercles?

II. Théorème . — L’héliçoïde à plan directeur peut être engendré par une droite qui s’appuie sur une génératrice du cylindre auquel appartient l’hélice directrice.

III. Théorème. — Si l’on projette une hélice sur le plan directeur, au moyen de droites parallèles à une tangente à cette courbe, la projection sera une cycloïde.

IV Trouver l’équation de Yhéliçoïde développable , ou du lieu des tangentes à une hélice.

Résultat :

xcos (z± : ]/x t +ÿ ,m — i ) -4~/sin (z ± ^x'+ÿ*'— i ) = i.

V. Une circonférence C, de rayon R, rvute dans l’intérieur d’une circonférence fixe C', de rayon aR, en entraînant une circonférence C" quia, avec la circonférence C, un diamètre commun, mais dont le plan est perpendiculaire au plan des circonférences C , C'. On demande : i° quelle est la ligne décrite dans l’espace par un point quelconque lié à la circonférence 0”; a° quelle est la surface engendrée par C".