RECHERCHE DES ÉQUATIONS DE QUELQUES SURFACES

Surfaces cylindriques.

191. Soient F(x,r,z) = o, F,(.r,/,z) = o ( 1 ) les équations de la directrice donnée; soient

x = oz4*i y —bz + p ( 2 )

les équations de la génératrice : a, b sont des constantes données, «, ( 3 , des paramètres variables. En éliminant x, y, z entre ces quatre équations, on trouvera, dans chaque cas particulier, une certaine équation de condition

exprimant que la génératrice s’appuie sur la directrice : cette re-

lation algébrique entre a et p remplace la condition géométrique à laquelle la génératrice est assujettie. L’élimination des deux paramètres, entre les équations ( 2 ) et (3), conduira donc à un résultat de la forme

y — bz — q[x — az): (A)

telle est Y équation générale des surfaces cylindriques.

Surfaces coniques.

192. La directrice étant donnée, comme dans le numéro précédent, par les équations ( 1 ), les équations de la génératrice seront

x— a=<x{z — c), y — b = ft(z — c),

a, b, c représentant les coordonnées du sommet ou du point directeur. La condition exprimant que la génératrice rencontre la directrice sera encore remplacée par une équation de la forme (3), obtenue en éliminant x, y, z. Conséquemment, V équation générale des surfaces coniques est

193. Si le sommet est pris pour origine, l’équation (B) se réduit à

Cette dernière forme montre que l'équation de toute surface conique est homogène (*), quand le centre est pris pour origine : ce résultat s’accorde avec ce qu’on a vu précédemment.

191. Application. — Trouver V équation du cône circonscrit à une surface du second ordre, ayant pour équation

kx'A- A t y‘-hA"z , -i- 2 Byz-{- 2 .B'zx-i- 2 Wxy | .

Le cône sera circonscrit, si chacune de ses génératrices perce la surface en deux points confondus en un seul.

(*) I.es deux membres de l’équation (C) sont des fonctions homogènes, du degré zéro (/). D., 6).

Cela posé, soient, en prenant le sommet pour origine,

x == a.z f jr—pz

les équations de la génératrice. Les ordonnées des points où elle rencontre la surface satisfont à l’équation

Rz’+aSz + D = 0,

dans laquelle

R = A« J +A'^+A"+2B^2B'«+aB''a£, S = Ca+C'p+C".

Les deux points coïncideront si S 3 = RD. Par conséquent, l’équation p = y(a) devient ici

( C« + C'13 4-C") 3 = ( A a 3 + A' ^ 3 -h A''+ 2 B p -h 2 B' « 4- aB"a[5 ) D.

Par suite , le cône est représenté par

(Cx4-C'/4-C"z) 3 1

= (Aj 7 3 -4- A'^-f- A"z 3 -(-2B^z-l-2B'zjr-t-2B"r/)D. (

195. Remarque. — La courbe de contact du cône et de la surface donnée, évidemment représentée par les équations (5) et (4), est représentée aussi par cette dernière équation , jointe à

Le premier membre de cette nouvelle équation est le carré de Cx 4-C'j-f- aC"z4-D. On conclut de là que la courbe suivant laquelle un cône touche une surface du second ordre est contenue dans un plan parallèle au plan diamétral conjugué avec la droite qui joint le sommet du cône au centre de la surface (*).

(*) Soient x,, jr lt e, les coordonnées du centre; la droite dont il s’agit

sera représentée par — = — = —, et le plan diamétral qui lui est con-

j ugué aura pour équation

( A x, 4 - B' 5, - 1 - B'4,)x 4- ( A4, a- B" x, 4- B z x )y -H (A" z ï 4 - B.r , 4- B' x,) z 4 - Cx, 4- C4, 4- C 4, — o ,

ou, plus simplement,

— Cx — C'y — C " z 4- Cx, 4 - C4, 4- C" z, — 0 .

go A GÉOMÉTRIE

Surface» de révolution.

196. On peut regarder une pareille surface comme engendrée par une circonférence dont le centre décrit une droite donnée , dont le plan reste perpendiculaire à cette droite, et qui rencontre une ligne donnée (*).'

Adoptant ce mode de génération , et représentant par a, b, c les coordonnées d’un point C de l’a$e, nous prendrons, pour équations de cette droite,

x — a = in ( z — c), y—b = n(z — c).

Les parallèles de la surface peuvent être obtenus en coupant des sphères ayant pour centre commun le point C , par des plans perpendiculaires à l’axe ; les équations

(.r- — by-\-(z~ r) 1 = a 1 ,

ni ( x — a ) -f- n ( y — b ) -(- ( z — c) = (3

représentent donc la génératrice (**). En exprimant qu’elle rencontre la directrice donnée , on arrivera , comme dans les exemples précédents, à une équation de condition telle que a 5 = <p((î). Par suite, l'équation générale des surfaces de révolution est

{x-~(*Y+[y-by + {z-cy j

= y[wj(x — a )-+-«(/ — f

197. Remarque. — Si l’on prend l’axe de rotation pour axe des z, on peut supposer « = o,6 = o,c = o; l’équation ( D) devient donc

ou, plus simplement,

Cette dernière exprime, comme on pouvait s’y attendre, que le rayon du parallèle dépend de sa distance à l'origine,