DES COORDONNÉES ET DES LIEUX DANS L’ESPACE

Coordonnées rectilignes.

1. En généralisant les notions exposées dans la Géométrie analytique a deux dimensions (51 ), on voit que les lieux géométriques les plus simples, propres à déterminer la position d’un pointM de l’espace, sont trois plans ARQM , BPRM , CQPM, respectivement parallèles à trois plans fixes yOz, s0.r, xüy formant un angle

trièdre. En effet, si l’on donne les distances a , b, c du point inconnu aux trois plans fixes (la distance à chacun d’eux étant comptée parallèlement à l’intersection des deux autres), il suffira de prendre OA = a, OB = b, OC = c, et de mener ARQ, BPR, CQP : ces trois plans constituent , avec les trois plans fixes, un parallélipipède dans lequel le sommet M est le point cherché.

2. Les distances OA = MP, OB^MQ, OC = MR, ou plutôt les quantités a, b, c qui les représenfent, sont les coordonnées rcc0; *

a GÉOMÉTRIE

lignes du point M. Les trois arêtes, les trois faces et le sommet de l’angle trièdre O portent les noms d 'axes, do plans et d 'origine des coordonnées. Quand l’angle trièdre O est trirectangle, les coordonnées sont dites rectangulaires.

3. Remarque. — Au lieu de la construction précédente, on peut, pour plus de simplicité, employer la ligne brisée OARM, dans laquelle OA = a, AR = b, RM = c.

Équations du point.

4. Si l’on convient de représenter généralement par x, y, z les coordonnées d’un point quelconque, le point particulier M sera défihi par les équations

Ici, comme dans la Géométrie à deux dimensions, on doit remarquer que chacune de ces équations représente l’un des lieux géométriques dont l’intersection est le point M. Par exemple, x — a caractérise le plan ARQ, etc. En particulier, les plans coordonnés yOz, zOx, xOy sont représentés, respectivement, par x = o, j=o, z = o;

et ces équations , prises simultanément , représentent l’origine.

5. Remarques. — I. Un point et chacune de scs projections ont toujours deux coordonnées communes.

II. Deux projections d’un même point ont toujours une coordonnée commune.

En effet, les points M, P, Q, R ont pour équations, respectivement : • •

Équations des surfaces et des ligues.

6. Théorème I. — Toute équation qui renferme une, deux ou trois coordonnées représente , en général, une surface. i°. Considérons, pour fixer les idées, une équation /( 2 ) = o (i)

renfermant seulement l’ordonnée z. Soient c, c\ c",..., les racines réelles de cette équation. Si l’on construit les plans représentés par z = c, z = c', z = c", . . . , on aura le lieu de l’équation ( i ). Par conséquent , toute équation renfermant une seule coordonnée représente, en général, un système de plans parallèles aux axes des coordonnées qui té entrent pas dans P équation.

2 °. Pour interpréter une équation entre deux coordonnées,

construisons, dans le plan xOy , la courbe ABC dont tous les points

vérifient l’équation; par l’un d’eux, pris arbitrairement, menons MM' parallèle à O z : tous les points de cette droite MM' vérifieront encore l’équation. En effet , les valeurs de x et de y sont les mêmes pour le point M' et pour sa projection M (5).

Il résulte de là que le lieu de l’équation proposée est la surface cylindrique ABCA'B'C' engendrée par la droite MM'. Ainsi , toute équation entre deux coordonnées représente , en général, une surf ace cylindrique dont les génératrices sont parallèles à C axe de la coordonnée qui té entre pas dans P équation.

3°. Soit /(.r,j, z).-o (3)

une équation entre les trois variables x, y, z. Si nous donnons à z une valeur particulière

nous obteuons

et les équations (4) et (5), prises simultanément, représentent un lieu dont tous les points vérifient l’équation (3). D’après ce qui précède, ce lieu est l’intersection C d’un plan parallèleau p/andcszy(*) et d’un cylindre ayant ses génératrices parallèles à Vaxc des z(*). Pour une autre valeur •/ attribuée à z, nous obtiendrons une

(*) Pour abréger, nous employons ces dénominations, qui sont consacrées par l’usage.

courbe C'; et ainsi de suite. Par conséquent, l’équation (3) appartient au lieu géométrique des lignes C, C', C";. .. : cette équation représente donc une certaine surface.

7. Théorème IT. — i° Le système de deux équations représente, en général, une ligne ; i° le système de trois équations représente , en général , un ou plusieurs points.

Ces propositions, déjà vérifiées dans différents cas particuliers , sont des conséquences très-simples du premier théorème.

8. Les propositions précédentes sont, comme celles qui leur cor-

respondent dans la Géométrie plane, sujettes à diverses exceptions. Ainsi : i° une équation peut représenter un point ou une ligne; a 0 une équation peut ne rien représenter ; 3° deux équations peuvent représenter un point ou ne rien représenter, etc. Par exemple, l’équation = o représente l’origine; l’équation

( x 7 -i-y 3 — i )■* -f- z 2 = o représente une circonférence située dans le plan des xy, et dont le centre est à l’origine, etc.

Projections d’une ligne.

9. Au lieu de déterminer une ligne ABC par deux surfaces quelconques dont elle soit l’intersection , on peut , pour plus de simplicité, se donner les cylindres qui la projettent sur deux des plans coordonnés, sur les plans des xz et des yz, par exemple. Les équations de ces cylindres projetants sont de la forme

et il est clair, d’après le Théorème I (a°), que chacune d’elles appartient, soit à la projection A'B'C', soit à la projection A''B"C''.

10. Problème. — Connaissant les équations de deux des projections d’une ligne, trouver réquation de la troisième projection.

Il suffit, pour résoudre cette question, d’éliminer la coordonnée comme aux équations données.

En effet, si l’on élimine z entre

les équations (i) et (a), on obtiendra une équation

à laquelle satisferont tous les systèmes de valeurs de x et de y qui vérifient les proposées. Cette équation (3) représente donc une surface cylindrique passant par la courbe ABC : elle appartient donc à la projection abc de cette courbe.

H. Plus généralement, si l’on combine, d’une manière convenable, les équations de deux surfaces, l’équation résultante sera celle d’une troisième surface passant par la courbe d’intersection des deux premières. Par exemple, en ajoutant membre à membre les équations

x*+y‘+z' 1 — 1 — 0, (A) xy+zx-\-yz = o, (B)

après avoir multiplié les deux membres de la seconde par a, on obtient

et cette nouvelle équation appartient à une surface qui passe par la courbe d’intersection des deux autres (*).

12. Remarque. — Si au lieu d’éliminer z entre les équations (i)

et (a) , on donnait à cette coordonnée différentes valeurs 7, 7', 7",..., on obtiendrait les coordonnées x, p, a', p', a", d’un certain

nombre de points de la projection abc. Ce procédé est d’accord avec les constructions géométriques, dont il est en quelque sorte la traduction.

Sig-nes des coordonnées.

13. Les conventions adoptées pour les figures planes [D. D. (**), S9) doivent évidemment être étendues aux figures situées dans l’espace : si l’on n’affectait pas de certains signes les coordonnées d’un point, les équations

ne pourraient servir à distinguer les huit points dont les distances

(*) Les équations (A), (B), (C) représentant, respectivement, une s/ihèie, un cône et deux plans parallèles, il résulte, de ce calcul, que la surface (B) est un cône de révolution.

(**) Cette abréviation signiGc Géométrie analytique à deux dimensions.

aux plans coordonnés sont, en valeurs absolues, a, b, c. Ordinairement, on suppose que l’angle trièdro O xyz, disposé comme on le voit sur la figure, appartient aux points dont les coordonnées sont positives. D’après cette hypothèse :

L’ordonnée x est positive ou négative, suivant que le point est à droite ou à gauche du plan jOz;

L’ordonnée y est positive ou négative , suivant que le point est en avant ou en

arrière du plan zOx\

L’ordonnée z est positive ou négative , suivant que le point est au-dessus on au-dessous du plan zOy.

Coordonnées polaires.

14. Les principes exposés dans la Géométrie analytique à deux dimensions (Chap. IV) sont applicables aux trois dimensions de l’espace; ainsi, il y a autant de systèmes de coordonnées que de moyens de déterminer un point par F intersection de trois lieux géométriques.

Par exemple, un point donné M pouvant être regardé comme

l'intersection de la sphère ayant pour centre le pôle O, du cône engendré par OM tournant autour de \'axe polaire 0.z, et du demi-plan MO or (*); il s’ensuit que l’on peut prendre pour coordonnées polaires du point M : i° le rayon vecteur OM = a ; i° \’ amplitude MO.r = b ; 3° Y azimut MCP = c, c’està-dire l’angle formé par le demi-plan MO.r avec le demi-plan xOy. Si l’on

(*) Si le plan déterminé par OM et Oj: était prolongé au delà de celte dernière droite, il couperait une seconde fois la circonférence C , intersection du cône et de la sphère, et il y aurait ambiguïté dans la position du point. Pour la même raison, on ne considère pas la seconde nappe du cône.

appelle «, 0, ÿ les coordonnées d’un point quelconque de l’espace, le point M sera déterminé par les trois équations

« = «, (i) Q = b, (2) ty-c. ( 3 )

15 . Remarques. — I. Les équations (1), (2), ( 3 ) représentent la sphère, le cône et le demi-plan dont il vient d’être question.

II. Ces équations détermineront, sans ambiguïté, tous les points de l’espace, si l’on fait varier u, Q et respectivement, do o à + 00, de o à ir, et de o à arc.