Une droite quelconque AB, non parallèle au plan des xy

peut être représentée par les équations de ses projections A'B', A"B'' sur les autres plans coordonnés.

Les équations de la ligne droite

sont donc, en général,

x = az-\-p, (1) y=bz + q. (2)

17 . Signification des constantes a, b, p, q. — » i°. Dans l’équation (1), p représente X ordonnée à l'origine de la projection A'C', c’est-à-dire la distance OC'. De même , q = OC”.

2 0 . On peut dire encore que les constantes p, q sont les coordonnées du point c où la droite \ B perce le plan des xy. Cette interprétation, évidente par la figure, résulte aussi de ce que z — o donne x — p, y—q.

3 °. Relativement aux coefficients angulaires a, b, il importe d ob-

server que si l’on mène, dans le plan zx, 01) parallèle à la projection C'A', on aura [D. D., 101)

sinzOD U ~ sin^OD’

les angles étant comptés comme on le voit sur la figure.

De môme, OE parallèle à C'A* donne

. sinzOE — sinjOE

18. Équations d'une droite parallèle nu plan des xy. — Une pareille droite est l’intersection d’un plan parallèle à l’axe des z et d’un plan parallèle aux xy. Ses équations sont donc, en général,

y=ax + b, z — c.

Problèmes sur la ligrne droite.

19. Problème I. — Trouver les équations d une droite passant par un point donné.

Les projections de la droite doivent passer par les projections du point [x\ y 1 , z'). Par conséquent, les équations cherchées sont (Z). D., 10G) :

20. Problème II. — Trouver les équations d’une droite passant par deux points donnés.

Les projections de la droite sont représentées par [D. D., 108)

Ce sont donc là les équations demandées. On peut les écrire ainsi :

21. Problème III. — Trouver les équations d’une droite passant par un point donné cl parallèle à une droite donnée.

Rappelons-nous que deux droites sont parallèles si leurs pro-

jections, faites sur deux plans qui se coupent,' sont respectivement parallèles (*).

Cela posé, si x=.az-\-p , y=bz-\-q sont les équations de la droite donnée, la droite cherchée sera représentée par x — x'=a(z — z'), y-y’— b{z—z').

22. Problème IV. — Trouver le point de rencontre de deux droites données.

Soient x — az+p, 1 x;=a'z-\-p',

y=bz + q , I y=zb'z->rq',

les équations des deux droites (A), (A'). Si ces lignes se coupent, les coordonnées de leurs points communs vérifieront les quatre équations précédentes. Ces équations renfermant trois inconnues seulement, il doit exister, entre les coefficients a, b, p,..., une équation de condition, que l’on obtient en éliminant x, y, z. Cette équation est

Quand elle a lieu, les droites (A), (A') se coupent en un point dont les coordonnées sont

ap’ — pa a — a'

bq' — qb' b- b 1