NOTIONS SUR LES TLANS ET LES SOLIDES
Plans. — Le plan est une surface sur laquelle prenant deux points à volonté , et les joignant par une ligne droite, cette ligne est toute entière dans la surface; le plan pouvant se mouvoir autour de la droite sans cesser d'être plan , il s'ensuit qu'une ligne droite ne suffit pas pour déterminer la position d'un plan ; mais ::i en dehors de cette droite on marque un point, la position qu'aura le plan , quand il renfermera ce point , sera distincte de toutes les autres, c'est-à-dire que le plan aura une position fixe qui pourra toujours être indiquée et retrouvée ; ainsi, pour déterminer un plan, ilsuflit d'une droite et
A LA RÈGLE ET AU COMPAS. 4l
d'un point pris hors de celte droite , ou de trois points non en ligne droite.
Un plan est également déterminé par deux lignes droites qui se coupent.
Plans verticaux. — On nomme ainsi les plans qui contiennent la verticale donnée par le fil à plomb ; mais comme une ligne droite ne suffit pas pour déterminer un plan , on comprend qu'un très-grand nombre de plans verticaux peuvent passer par la même direction d'un fil à plomb.
Les plans horizontaux ^oni ceux qui sont déterminés par deux lignes droites horizontales qui se coupent ; ils sont perpendiculaires à une verticale; quand un plan est horizontal , toutes les droites qu'il contient sont des horizontales.
Les plans inclines sont ceux qui ne sont ni verticaux ni horizontaux.
Deux plans se coupent ou ne se rencontrent jamais : dans ce dernier cas , ils sont parallèles, La ligne qui unit tous les points communs à deux plans qui se coupent est appelée l'intersection de ces plans, ou la trace de l'un sur l'autre.
L'intersection de deux plans ne peut être qu'une ligne droite ; autrement ces deux plans se confondraient , puisqu'il suffit de trois points non en ligne pour déterminer la position d'un plan.
L'intersection de deux plans verticaux est une verticale.
L'intersection d'un plan horizontal coupé par un plan quelconque est une horizontale , ainsi , quand une des faces d'un corps est plane et horizontale ou de niveau , les arêtes qui terminent cette face sont aussi de niveau.
Deux plans qui se coupent laissent entre eux un espace que l'on appelle coin ou angle de deux plans. La mesure de l'angle de deux plans est la même que celle de l'angle formé par deux droites perpendiculaires à l'intersection , l'une dans un plan , l'autre dans l'autre ; ainsi l'angle de deux plans peut être aigu , droit ou
4a DESSIN GÉOMÉTRIQUE
obtus; quand il est droit, les deux plans sont perpendiculaires entre eux.
Tout plan vertical est perpendiculaire au plan horizontal qu'il rencontre.
La figure plane est celle qui est en entier dans un plan, ainsi que les lignes qui en limitent l'étendue.
Si ces lignes sont droites , l'espace qu'elles renferment est nommé figure recùligne ou polygone, les lignes prises ensemble forment le contour ou périmètre du polygone.
Solides. Le prisme est un solide compris sous plusieurs plans parallélogrammes, terminés de part et d'autre par deux plans polygones égaux et parallèles.
Pour construire ce solide, soit ABCDE (fig. i, pl. III) un polygone quelconque; si dans un plan parallèle à ABC, on mène les lignes FG, GH, HI, etc., égales en parallèles aux côtés AB, BC, CD, etc., ce qui formera un polygone F, G, H, I, K égal au premier; si ensuite on joint d'un plan à r?ulre les sommets des angles homologues par les droites AF, BG, CH, etc., les polygones A B G F, B C H G, etc., seront des parallélogrammes, et ABCDEFGHIK sera un prisme.
Les polygones égaux et parallèles A B C D E, F G H I K, s'appellent les bases du prisme', les autres plans parallélogrammes se nomment faces, et, pris ensemble, ils constituent la surface latérale ou convexe de ce solide. Les droites égales AF, BG, GH, etc., s'appellent les côtés du prisme ; lorsque ces arêtes parallèles sont inégales, et que néanmoins leurs extrémités se trouvent dans un même plan, le prisme est tronqué, et le polygone supérieur n'est plus parallèle à Tinférieur.
Un prisme est droit lorsque les côtés AF, BC, etc., sont perpendiculaires aux plans des bases; les faces d'un prisme droit sont donc des rectangles : dans tout autre cas, le prisme est oblique.
Un prisme est triangulaire^ quadrangulaire, polygO" nal, selon cjue la base est un triangle, un quadrilatère^ m polygone,
Le parallélipiphle est un solide qui a pour base un parallélogramme, et dont toutes les faces latérales sont aussi des parallélogrammes.
Le parallelipipède est rectangle lorsque toutes ses faces sont des rectangles; c'est un cube, lorsque ses six faces rectangulaires sont des carrés.
La hauteur d'un prisme est la distance entre les deux bases ; cette hauteur est, par conséquent, égale à la perpendiculaire abaissée d'un point de la base supérieure sur la base inférieure.
La hauteur d'un cube est la loiigueur de l'une de ses douze arêtes.
Lesquaire diagonales d'un cube sont égales, et se divisent symétriquement chacune.
La pyramide est le solide formé lorsque plusieurs plans triangulaires parlent d'un même point A (fig. 2, pl. III), et sont terminés aux dilférens côtés d'un même plan polygonal B C D E F.
Le polygone ECDEF s'appelle la base de la pyramide, le point A est le sornmet, et l'ensemble des triangles BAC, CAD forme la surface convexe ou latérale de la pyramide.
La pyranûde est triangidaire , quadr angulaire, polygonale, suivani que la base est un triangle, un quadrilatère ou un polygone.
Une pyramide est régulière lorsque la base est un polygone régulier, et qu'en même temps la perpendiculaire abaissée du sommet sur le plan de la base passe pai' le centre de la base ; celte ligne s'appelle alors Vaxe de la pyramide.
La sphère est un solide terminé par une surface courbe dont tous les points sont également distans d'un point intérieur qu'on appelle centre (fig. 3, pl. III).
Le rayon de ta sphère est une ligne droite menée du centre à un point de la surface ; le diamètre ou axe est une ligne passant par le centre, et terminée de pavl d'autre à la surface.
Tous les rayons de la sphère sont égaux, tous les diamètres sont égaux et doubles du rayon.
Toute section de la sphère faite par un plan est un cercle; on appelle grand cercle la section D qui passe parle centre; petit cercle, celle E qui n'y passe pas.
Un plan est tangent à la surface sphérique, quand il n'a qu'un seul point commun avec elle; d'où il suit que tout plan perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon d'une sphère est tangent à cette sphère.
La normale d'une surface courbe est la perpendiculaire menée au plan tangent par le point de contact; d'où il suit que tous les rayons de la sphère sont des normales, ou que toutes les normales de la surface sphérique passent par le centre.
Les verticales ou les directions du fil à plomb sont les normales de notre globe.
Le plan normal, c'est-à-dire celui qui contient une normale, passe par le centre, et coupe la sphère suivant un grand cercle.
On nomme surface cylindrique toute surface sur laquelle une règle s'applique dans toute sa longueur suivant des directions parallèles; ainsi, toute surface cylindrique est courbe et réglée par des parallèles. Comme ces parallèles sont naturellement sans limites, la surface cylindrique n'est terminée par ses deux extrémités que dans le cas où l'on en considère seulement une portion.
Le cylindre droit est un solide produit parla révolution du rectangle A B C D (fig. 5, pl. III) qu'on imagine tourner autour du côté immobile AB. Les côtés AC, BD, restant toujours perpendiculaires à A B, décrivent des plans circulaires égaux A C M E, B D N F, qu'on appelle les bases du cylindre, et le côté CD en décrit la surface cylindrique droite. La ligne immobile A B s'appelle l'axe du cylindre.
On appelle cône ou surface conique toute surface sur laquelle une règle peut s'appliquer dans toute sa longueur, et selon des directions concourant au même point (lig. 6. pl. III). Ainsi, toute surface conique est une
surface courbe réglée par des droites qui se coupent toutes en un même point.
La plus simple de toutes les surfaces coniques est celle dont la base est une circonférence; nette surface conique est droite, quand le sommet D (fig. 7, pl. III) est situé sur la perpendiculaire G D, menée au plan de la circonférence par le centre C ; elle est nommée oblique dans le cas contraire.
Le côîie (fig. 7, pl. III) est un solide produit par la révolution du triangle rectangle D C B , qu'on imagine lourner autour du côté immobile D C.
Dans ce mouvement le côté C B décrit un plan circulaire BEA ; l'hypoténuse DB décrit la surface conique droite et circulaire.
Le point D se nomme le sommet du cône, DC l'ajoe ou la hauteur , et D B le côté ou V apothème.
Toute section faite perpendiculairement à l'axe est un cercle ; et lorsque le sommet du cône a été ainsi retranché, la portion qui reste F GB E A , se nomme tronc de cone. Toute section faite suivant l'axe , est un triangle isocèle double du triangle générateur.
La section faite par un plan parallèle à la base de la surface conique droite , est un cercle ; si le plan coupant passe le sommet du cône , l'intersection est un point ; si le plan coupant n'est pas parallèle à la base , et que cependant il rencontre deux génératrices droites diamétralement opposées , l'intersection est une ellipse.
Ces notions bien simples sur les plans et sur les solides, suffiront à l'élève pour comprendre le tracé de toute espèce de figures dont les lignes droites ou courbes ne sont pas dans un même plan ; mais ce tracé s'exécutant sur une surface plane , une feuille de papier, une toile , il est nécessaire de se rendre compte de la manière dont ou peut figurer sur un seul et même plan des lignes qui , dans la nature , sont sur des plans différens. Le dessin géométrique se sert à cet effet de la méthode des projections , dont nous allons donner quelques notions.
