DE LA MULTIPLICATION DES FRACTIONS

208. Pour multiplier une fraction par une autre, il faut multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs de même.

Ainsi, pour multiplier \ par f, il faut multiplier 3 par 2 pour avoir le numérateur 6, et k par 3 pour avoir le dénominateur 12; ce qui forme la fraction £, qui est le produit cherché.

Démonstration. Supposons pour un instant que le dénominateur 3 de la fraction multiplicateur n'existe pas et qu'on ait à multiplier la fraction ! par 2 entiers : il faut alors multiplier par 2 le numérateur 3 de la fraction^ (169), ce qui donne f.

Mais ce n'était pas par 2 entiers qu'on avait à multiplier; c'était par 2 tiers ou |, c'est-à-dire par un nombre trois fois plus petit que 2 entiers; donc le produit obtenu f est trois fois trop grand (164) ; donc, pour le ramener à sa juste valeur, il faut le rendre autant de fois plus petit; c'est ce qu'on fait en multipliant le dénominateur de la fraction J par 3 (166) ; on obtient ainsi £ ou l-, qui est le produit de la multiplication de | par f .

Il en est de même, on le conçoit, dans toutes les multiplications de fractions; car, en multipliant la fraction multiplicande par un nombre entier, c'est-à-dire par le numérateur de la fraction multiplicateur, dont on a supprimé le dénominateur, il est évident qu'on a un produit trop grand autant de fois que l'indique le dénominateur supprimé, et qu'il faut, pour le ramener à sa juste valeur, le rendre autant de fois plus petit en multipliant précisément par ce dénominateur supprimé le dénominateur de la fraction multiplicande; ce qui revient à la règle générale posée (208).

209. Remarquons, avant de passer outre, que le produit de deux fractions est toujours plus petit que chacune d'elles; car si Ton multipliait chacune par l'unité, on aurait au produit la fraction elle-même; donc, en multipliant chacune par une fraction plus petite que l'unité, le produit doit être moindre.

210. Multiplier un nombre par une fraction revient à prendre sur ce nombre les parties indiquées par la fraction.

Car le produit du nombre 12 par la fraction j, par exemple, ou, en changeant 12 en fraction (197), le produit de ^2 parf est y, division indiquée, qui fait voir que, pour obtenir le résultat, il faut prendre le tiers du nombre 12.

S'il s'agit de multiplier le même nombre, 12, par une fraction dont le numérateur n'est pas l'unité, soit -*, par exemple, on opère comme ci-dessus pour f, et l'on double le résultat; ce qui revient à prendre deux fois le tiers ou les f du nombre 12.

211. Pour multiplier des entiers accompagnés de fractions par des entiers accompagnés de fractions, comme k f par 3 £, le moyen le plus

simple est de convertir avant tout les entiers en fractions, de la manière déjà indiquée (199).

On obtient ainsi y à multiplier par ^, ce qui produit ~ = ^ ri-