MULTIPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES PAR LES PARTIES ALIQUOTES

237. On appelle parties aliquotes d'un nombre celles qui sont contenues exactement dans ce nombre : ainsi, 2 est une partie aliquote de 36, parce qu'il y est contenu exactement 18 fois; par la même raison, 1, 3, 4, 6, 9, 12, 18, sont aussi des parties aliquotes de 36; or ces nombres sont simplement les facteurs de 36; donc facteur ou partie aliquote, c'est une même chose sous un nom différent.

238. On appelle, par opposition, parties aliquanles d'un nombre celles qui n'y sont pas contenues exactement. Par exemple, 5, 7, 8, 10, 11 sont des parties aliquantes de 36.

Dans la multiplication des nombres complexes par les parties aliquotes, il faut considérer deux cas : 1° celui où le multiplicande est un nombre complexe et le multiplicateur un nombre entier; 2° celui où les facteurs sont tous deux complexes.

239. Premier cas. Lorsque le multiplicande est un nombra complexe et le multiplicateur un nombre entier, il faut multiplier successivement par le multiplicateur d'abord les entiers, puis les subdivisions ou frac tions du multiplicande ; ce qui revient à prendre sur le multiplicateur les parties indiquées par les fractions du multiplicande.

Soit, par exemple, 21 livres sterling 17 shillings 6 deniers à multiplier par 27.

Opération : Multiplicande. .

Multiplicateur .

10 sh. x 27 = 1/2 liv. X27=la 1/2 de 271'- «• 5sh.x27=la 1/2 de 10 sh. X 27 — 2sh.x27=le 1/5 de 10 sh. X 27 — 6 d.x27=le 1/4 de 2 sh. X 27 —

Total. . . 590îisu 12sh- 6d- Cette opération a pour but de répéter tout le multiplicande 27 fois ; tl

2111- st-

17sh.

Cd.

= 13]i-st-

10sh-

n'y a donc qu'à multiplier par le multiplicateur 27, d'abord les 21 liv.st., puis les fractions 17 sh. et 6 d.; de cette manière tout le multiplicande, entiers et fractions, se trouvera répété 27 fois.

1° Le produit des entiers 21 par 27 s'obtient par les moyens ordinaires. Ensuite, comme multiplier une fraction par un entier, ce n'est autre chose que prendre sur cet entier les parties indiquées parla fraction (210), pour opérer la multiplication des fractions 17 sh. et 6 d. par 27, il faut, en conséquence, prendre sur 27 les parties indiquées par les fractions 17 sh. et 6 d. Or, décomposant ou réduisant la fraction 17 shillings en parties aliquotes de 20 shillings, on trouve 10 sh., 5 sh., 2 sh., et l'on raisonne ainsi : puisque 1 liv. st. multipliée par 27 produirait 27 liv. st., 10 shillings, qui sont la moitié de la livre, ne doivent produire que la moitié de 27 liv. st.; donc, pour multiplier 10 shillings par 27, il suffit de prendre la moitié du produit d'une livre par 27, et de dire : la moitié de 27 est 13 pour 26; il reste 1 livre, qui vaut 20 shillings, dont la moitié est 10 shillings; on écrit donc pour premier produit partiel 13 liv. st. 10 sh.

2n La fraction 5 shillings étant la moitié de 10 shillings, son produit par 27 doit être la moitié de celui qui a été obtenu pour 10 shillings; donc, pour multiplier 5 shillings par 27, il suffit de prendre la moitié du produit de 10 shillings et de dire : la moitié de 13 est 6 pour 12; il reste 1 liv. st., qui vaut 20 shillings, à ajouter aux 10 shillings qu'on a déjà, ce qui fait 30 shillings, dont la moitié est 15. On écrit le deuxième produit partiel 6 liv. st. 15 sh.

3° La fraction 2 shillings étant le 1/5 de 10 shillings, le produit qu'elle donnera devra être le 1/5 de celui qui a été obtenu pour 10 shillings; donc, pour 2 shillings il faut prendre le 1/5 de 13 liv. st. 10 sh., ainsi : le 1/5 de 13 est 2 pour 10; il reste 3 liv. st., qui valent 60 shillings, à ajouter aux 10 shillings qu'on a déjà, ce qui fait 70, dont le 1/5 est 14 shillings; on écrit le troisième produit partiel 2 liv. st. 14 shillings.

4° La fraction 6 deniers étant le 1/4 de 2 shillings, il faut prendre le 1/4 du dernier produit obtenu, 2 liv. st. 1/j sh., ainsi : le 1/4 de 2 liv. st. n'est pas : on écrit 0 à la place des livres; il reste 2 liv. st., qui valent 40 shillings, à ajouter aux 14 shillings qui suivent, ce qui fait 54 shillings, dont le 1/4 est 13 shillings pour 52; il reste 2 shillings, qui valent 24 deniers, dont le 1/4 est 6 deniers. On écrit pour quatrième produit partiel 0 liv. st. 13 sh. 6 d.

Enfin on additionne tous les produits partiels et l'on obtient le produit total 590 liv. st., 12 sh., 6 d., qui contient le multiplicande, entiers et fractions, répété 27 fois.

Donc, en général ;

240. Pour multiplier un nombre complexe par un nombre entier, il faut multiplier d'abord les entiers du multiplicande par le multiplicateur, ensuite prendre sur le multiplicateur les parties indiquées par les fractions du multiplicande.

241 . Deuxième cas. Lorsque les termes sont deux nombres complexes, il faut multiplier tout le multiplicande, entiers et fractions, par les entiers seulement du multiplicateur, comme il vient d'être indiqué (240), sans s'occuper des fractions qui suivent le multiplicateur; ensuite on prend sur tout le multiplicande les parties indiquées par les fractions du multiplicateur.

Exemple : supposant que 59 livres 14 onces 6 drams d'une certaine marchandise reviennent à 1 livre sterling, quelle quantité de cette marchandise aura-t-on pour 3 liv. st. 15 shillings 10 deniers?

Opération : 59Iiv- 14on- 6dr-

oii.st. j5sh. 10d.

o j 4drX 3 = 0 0 12dl'-

6 r'X3-J +2drx 3 = 0 6 6

Multde X 10 sh. = 1/2 du multiplicande = 29 15 3 Multde X 5 sh. = 1/2 du résultat préc. = Ah 15 9 1/2 Multde x 10 d. = 1/6 du résultat préc. = 2 7 14 H/12

Total. . . 227 ï~~ 13 5/12

1° Quelle quantité de marchandise aura-t-on pour 3 liv. st.? — Évidemment on en aura 3 fois plus. Il faut donc multiplier tout le multiplicande par 3, ce qui revient à multiplier par 3 chacune de ses parties. 59* x 3 = 177*. Décomposant 14 onces en 8° -f- 4° + 2°, parties aliquotes de 16, nombre d'onces que vaut 1*, nous voyons que 14° X 3 == 8° X 3 + 4° X 3 + 2° 3.

Or 8° X 3 = 1/2* X 3 = la 1/2 de 3* = 1* 8°. 4° X 3 = la 1/2 du résultat précédent = 0* 12°. 2° x 3 = la 1/2 du résultat précédent = 0* 6°. 6 dr. = 4 dr. -f- 2dr., parties aliquotes de 16, nombre de drams que vaut 1 once. Donc 6 dr. x 3 = 4 dr. x 3 + 2 dr. x 3.

4 dr. x 3 = le 1/8 du résultat précédent, puisque le facteur 4 dr. est le 1/8 du facteur 2 onces, qui vaut 32 drams. Or le 1/8 de 6 onces = 12 drams.

2 dr. x 3 = la 1/2 du résultat précédent = 6 drams. 2° Quelle quantité de marchandise aura-t-on pour 15 shillings? — Décomposant 15 en 10 + 5, parties aliquotes de 20, nombre de shillings que vaut 1 liv. st., il reviendra au même de déterminer successivement quelle quantité de marchandise on aura pour 10 shillings, ensuite pour 5 shillings.

pour 10 sh. on aura la 1/2 du multiplicande = 29* 15° 3drpour 5 sh. on aura la 1/2 du résultat précédent = 14* 15° 9dl- 1/2.

3° Quelle quantité de marchandise aura-t-on pour 10 deniers? — 10 deniers étant le 1/6 de 5 shillings, qui valent 5 X 12 = 60 deniers, pour 10 deniers on aura le 1/6 du résultat précédent = 2tt 7° 14dr- 11/12.

Enfin on additionne tous les produits partiels, qui donnent le produit total 227* 1° 13dr- 5/12, où tout le multiplicande se trouve répété par les entiers et les fractions du multiplicateur.

D'où il faut conclure cette règle générale :

242. Pour faire la multiplication de deux nombres complexes l'un •par Vautre, il faut multiplier : 1° les entiers par les e7itiers; 2° les fractions du multiplicande par les entiers seulement du multiplicateur; 3° tout le multiplicande par les fractions seulement du multiplicateur.

On doit se rappeler :

2Zj3. Que les unités du produit sont toujours de même espèce que celles du multiplicande (100); qu'on peut prendre le multiplicande pour multiplicateur, ce qui n'influe nullement sur le produit, qui reste le même (83); mais qu'avant de déplacer les facteurs, il faut observer avec soin l'espèce des unités du multiplicande, parce qu'elle doit déterminer celle des unités du produit (100).

244. Si l'opération ne fournit pas naturellement d'unités intermédiaires qui aident à simplifier les produits, on peut former un produit intermédiaire, mais en ayant, soin de le biffer, parce qu'il ne doit nécessairement pas être compris dans la somme des produits partiels.

La preuve de l'opération précédente faite par la multiplication offrira un exemple de cette manière de procéder ; soit donc à multiplier 29* 15o 3^ qaj est ja moitié du multiplicande, par 7 liv. st. 11 sh. 8 d., qui est le double du multiplicateur.

Opération :

3dr.