DES RAPPORTS PAR QUOTIENT

308. Gomme la raison d'un rapport par quotient s'obtient en divisant l'antécédent par le conséquent, il en résulte qu'on peut exprimer cette raison par une division indiquée, ou par une fraction ayant l'antécédent pour numérateur et le conséquent pour dénominateur.

Ainsi, les raisons des rapports 12 ; h et 3 \ 5 peuvent s'exprimer

19 3 par —et r, expressions qui signifient 12 à diviser par k et 3 à diviser

h J par 5, ou qui représentent les deux fractions 12 quarts et 3 cinquièmes, lesquelles sont les quotients exacts des deux divisions indiquées.

309. Un rapport par quotient pouvant être considéré comme une division indiquée ou comme une fraction, toutes les propriétés de la division et des fractions deviennent applicables aux rapports par quotient.

310. D'où il suit que: dividende, numérateur, antécédent, d'une part, diviseur, dénominateur, conséquent, d'autre part, et enfin, quotient, fraction, raison, doivent être considérés comme analogues et exprimant une seule et même chose, mais considérée sous trois points de vue différents. Donc :

311. 1° Par analogie avec la preuve d'une division (135), V antécédent d'un rapport par quotient est égal a son conséquent multiplié par la raison.

2° Si l'on multiplie ou que Von divise V antécédent d'un rapport par quotient par un nombre, la raison est multipliée ou divisée par ce nombre. Au contraire, si l'on multiplie le conséquent par un nombre, la raison est divisée par ce nombre, et réciproquement, si l'on divise le conséquent par un nombre, la raison est multipliée par ce nombre.

Toutes ces propositions ayant déjà été démontrées pour la division (121 et 122), ensuite, par analogie, pour les fractions (163), il est inutile d'en répéter ici la démonstration pour le rapport par quotient.

312. Un rapport est dit inverse d'un autre quand l'antécédent de ce dernier lui sert de conséquent, et réciproquement; ainsi le rapport

inverse de 3 : 9 est 9 : 3 ; le premier s'appelle, par opposition, rapport direct.

' 313. Il est toujours possible d'exprimer la raison d'un rapport par quotient par une fraction ayant l'antécédent pour numérateur et le conséquent pour dénominateur.

3H. A l'avenir, en parlant du rapport par quotient, nous lé nommerons simplement rapport.

DE l'ÉQUIDIFFÉRENCE1.

315. Lorsqu'on réunit deux rapports par différence égaux, on forme une proportion par différence, ou plus simplement une èquidiffèrence, ainsi nommée parce qu'elle est l'assemblage de deux différences égales.

Les deux rapports par différence 5 . 3 et 9 . 7, qui sont égaux, puisque la différence ou raison, 2, est la même dans les deux rapports, peuvent composer une èquidiffèrence, si on les réunit par ce signe : , qui signifie comme; ainsi,

est une èquidiffèrence qui s'énonce : 5 est à 3 comme 9 est al. Donc, en général :

316. 1° Une èquidiffèrence est l'assemblage de deux rapports par différence égaux.

317. 2° Dans toute èquidiffèrence, la somme des extrêmes est égale à celle des moyens.

318. 3° Réciproquement, lorsque, dans quatre nombres, la somme des deux extrêmes est égale à la somme des deux moyens, il y a èquidiffèrence.

319. k° Sil'on connaît trois termes d'une èquidiffèrence, on obtiendra le quatrième terme inconnu, si c'est un extrême, en retranchant de la somme des deux moyens V extrême connu; ou, si l'inconnu est un moyen, en retranchant de la somme des deux extrêmes le moyen connu.

Par exemple, pour trouver l'extrême inconnu de l' èquidiffèrence 9 . 5 *. 7 . x (on désigne ordinairement l'inconnue par x), on fait la somme des moyens 5 et 7, qui est 12 ; on en retranche l'extrême connu 9, et Ton obtient 3, qui est l'extrême inconnu que l'on cherchait.