Sous-entendu par quotient

Supprimant le dénominateur commun, il reste :

1er antécéd* x 2e conséquent = 2e antécéd1 x 1er conséquent Ce qui est bien le produit des extrêmes égal à celui des moyens; donc :

326. Quatre quantités sont en proportion lorsque le produit des extrêmes est égal à celui des moyens,

327. De ce que quatre quantités sont en proportion toutes les fois que le produit des extrêmes égale celui des moyens, il résulte qu'on peut écrire une proportion de huit manières différentes sans la troubler :

Ainsi, 9 ; 3 : ; 6 I 2 donne

en déplaçant les moyens, 9 ; 6 : ; 3 : 2 qui donne

en déplaçant les extrêmes, 2 ; 6 ; : 3 ; 9 qui donne

en déplaçant les moyens, 2 : 3 : : 6 : 9

La lre proportion renversée, 3 : 9 : ; 2 : 6 donne

en déplaçant les moyens, 3 ; 2 : : 9 : 6 qui donne

en déplaçant les extrêmes, 6 ; 9 : : 2 : 3 qui donne

en déplaçant les moyens, 6 : 2 : ; 9 ; 3

Dans ces permutations, les facteurs du produit des extrêmes et ceux du produit des moyens restant les mêmes, ils donnent un produit égal; la raison change, mais elle reste égale dans les deux rapports; donc la proportion subsiste toujours.

328. De la propriété fondamentale des proportions, le produit des extrêmes est égala celui des moyens, il résulte qu'avec trois termes connus, on peut toujours découvrir le quatrième.

En effet, en faisant le produit des moyens connus, on obtient le produit des extrêmes, puisque ces deux produits sont égaux; or, si l'on divise ce produit par l'extrême connu, qui est un des facteurs, on doit retrouver au quotient l'autre facteur, qui est l'extrême inconnu que l'on cherche.

Par exemple, pour trouver le quatrième terme d'une proportion dont les trois premiers sont connus, soit :

on multiplie le moyen 4 par le moyen 6; leur produit 24 est égal au produit de l'extrême 12 par l'extrême x; donc, le produit 24 étant divisé par l'un de ses facteurs, 12, qui est l'extrême connu, on doit obtenir au quotient l'autre facteur inconnu x, qui est ici 2; de sorte qu'on aura la proportion complète, 12 : 4 :: 6 ; x — 2.

329. Si le terme inconnu était un moyen, on ferait le produit des extrêmes, qui est le même que celui des moyens, et l'on diviserait ce produit par le moyen connu, pour obtenir le moyen inconnu.

D'ailleurs, par les mutations qu'il est possible de faire subir à une proportion sans la troubler, on peut toujours placer la quantité inconnue au quatrième terme. Donc, en général :

330. Pour obtenir le quatrième terme inconnu d'une proportion, il faut diviser le produit des moyens par V extrême connu.