DE LA RÈGLE CONJOINTE

346. La règle conjointe n'est autre chose, au fond, que la règle de trois ou de proportion composée, mais dont on pose les termes d'après d'autres principes.

Cette règle est appelée conjointe parce qu'on y joint ensemble plusieurs rapports donnés, comme, par exemple, lorsqu'il, s'agit de changer entre eux les monnaies, mesures et poids respectifs de diverses nations; le problème se compose alors d'une suite de rapports qui se lient et s'enchaînent, pour ainsi dire, sans interruption1.

1. Les Anglais et les Allemands désignent cette règle sous le nom de règle de chaîne.

C'est cette circonstance remarquable qui a conduit à substituer aux raisonnements qui règlent la pose de la proportion composée, un procédé plus commode, moins susceptible d'erreur et qui ressort naturellement de cette liaison constante des rapports entre eux, toutes les fois qu'il s'agit de changer réciproquement des mesures, poids et monnaies.

347. Exemple. Supposons qu'on ait à changer 215 livres sterling en florins de Bavière, sachant : 1° que 5607 livres sterling contiennent 44 0 livres troy d'or fin; 2° que 1 livre troy vaut 373«r,233; 3° que 500 grammes d'or fin valent 458 thalers de Prusse; 4° que 15 thalers de Prusse valent 26 florins de Bavière.

Puisque la question ne fournit pas le rapport direct de la livre sterling au florin de Bavière, ce qui n'aurait donné lieu qu'à une simple proportion, il faut faire successivement autant de proportions qu'il y a de rapports donnés.

Ainsi : 1° On cherche, au moyen du premier rapport, le poids de l'or fin contenu dans 215 livres sterling, par cette proportion :

5607liv-st- : 110 liv- tr°y :: 215Uv-st- : £liv-tr°y-

2° Avec le 2e rapport, on change ces x liv. troy d'or fin, que contiennent 215 liv. st., en grammes :

/[liv. troy • 373gr.?933 •* #liv. troy • ^/grammes.

3° Au moyen du 3e rapport, on change ces y grammes d'or fin, que contiennent 215 liv. st., en thalers de Prusse :

500 sr- : 458thalers : : î/sr- \ 2thalers-

4° Au moyen du 4e rapport, on change ces z thalers, que valent 215 liv. st., en florins de Bavière :

1 5 thalers • 26 flor*ns ** £ thalers • }[ florins.

La valeur de x, tirée de la lre proportion, étant substituée à x dans la 2e, celle-ci fournirait la valeur de y.

La valeur de y étant mise pour y dans la 3e proportion, celle-ci fournirait la valeur de z.

La valeur de z étant mise pour z dans la 4e proportion, celle-ci fournirait la valeur de X.

Mais faisant, comme pour la règle de trois composée (344), le produit terme par terme de ces quatre proportions :

55071iv. st. • HO Hv. troy • ; 215liv- *■ \ ^ liv. troy.

1 liv. troy • 373gr.,233 * \ # liv. troy » y grammes.

500 grammes • /,5gthalers * • ^grammes • ^thalers.

15thalers • 26 florins ** £ttialers * Xflorins*

on a :

le produit des antécédents produit des conséquents 3e terme à changer 4e terme cherché .

D'où l'on tire :

Ce qui fait voir qu'au lieu d'effectuer les longs calculs de quatre règles de trois successives, on obtiendra le même résultat en posant les termes des premiers rapports les uns au-dessous des autres pour en faire les deux produits, qui formeront un rapport composé en proportion avec le troisième terme à changer et l'inconnue :

On disposera donc l'opération de cette manière :

5607 liv- st- : no liv- tr°y-

lliv. troy ; 373^., 233

500 &r- : 458thalers

flfjthalers • 26florins

-- 94Kïiv st « Y ^110X373,233X458 x 26 X 215. " ' 5607 X 1 X500 X 15

Effectuant les calculs, en a :

215 Uv. st. = 2499florins,52904; cette partie décimale X60

donne 31kreuzer5,74240 ; cette partie décimale

donne 2Prenniss„96960.

Ainsi 215 liv. st. = 2499 florins bavarois 31 kreutzers 2 pfennigs.

348. L'opération que nous venons d'effectuer n'est, comme on l'a vu, qu'une règle de proportion composée, dont les termes ont été posés en vertu de raisonnements analogues à ceux qui sont propres à cette règle (345) ; mais on peut poser ces termes par un autre procédé plus commode que nous allons décrire, et dès lors cette même proportion composée prendra le nom plus spécial de conjointe qui lui est affecté dans les changes de monnaies, mesures et poids étrangers.

En effet, en examinant attentivement la proportion composée précédente (347), on reconnaît que, règle générale :

1° Le premier antécédent doit être de même espèce que le nombre à changer 1 ;

2° Tout conséquent exprime la valeur de son antécédent 2;

1. En effet, lorsqu'on opère comme précédemment, par proportions successives, on voit que la première proportion conserve tous ses termes, excepté le dernier; le nombre à changer y reste donc toujours le 3e terme; or il est dans l'essence de cette lre proportion que l'antécédent du 1er rapport soit de même espèce que l'antécédent du second.

2, Car les comparaisons ou rapports réciproques de monnaies, mesures et poids différents sont toujours des égalités.

3° Tout antécédent doit être de même espèce que le conséquent du rapport qui précède1;

h° Le dernier conséquent doit être de même espèce que l'inconnue2.

Telles sont les maximes à observer pour poser la règle conjointe, dont tous les termes, comme nous l'avons dit, se lient entre eux et s'enchaînent sans interruption, ce qui en rend la pose aussi facile que peu sujette à erreur. Il nous reste maintenant à indiquer les réductions qu'on peut opérer dans la colonne des antécédents et dans celle des conséquents, y compris le troisième terme3, pour simplifier autant que possible les calculs définitifs.