SANS LA TROUBLER

3^9. On considère la colonne des antécédents et celle des conséquents, plus le troisième terme, comme un rapport ou une division dont chaque terme est décomposé en ses divers facteurs, sur lesquels, sans troubler le rapport ou changer le quotient, on peut opérer de part et d'autre des changements semblables ; par conséquent :

1° Lorsqu'il y a des fractions, on les fait disparaître en changeant cV abord les entiers qui les accompagnent, s'il y en a, en une fraction (199) dont on place le numérateur dans une colonne, et le dénominateur dans la colonne opposée.

Car c'est multiplier le rapport par un même nombre.

2° Lorsqu'il y a des fractions décimales ou des subdivisions complexes, on les fait disparaître, ainsi qu'il a déjà été dit pour la division des nombres complexes et pour celle des nombres décimaux.

3° Il faut prendre des parties égales sans reste, sur un antécédent et .sur un conséquent, quels qu'ils soient, dès qu'on aperçoit entre eux un facteur commun, en se rappelant les caractères de divisibilité des nombres.

k° Il faut supprimer : 1° tous les 1 sans exception, qui ne produisent rien clans la multiplication (81) ; 2° les nombres semblables qui se trouvent tant dans une colonne que dans Vautre; 3° tous les zéros qui suivent les facteurs, pourvu que ce soit en pareil nombre de part et d'autre.

1. On a vu que, dans les proportions successives, le 4e terme devient constamment l'antécédent du 2e rapport qui le suit; or cet antécédent étant identiquement le même nombre que le conséquent du rapport qui précède, il est évidemment de même,nature; donc tout doit être de même dans le 1er rapport.

2. Parce que ce dernier terme est le conséquent du 1er rapport de la dernière proportion, et que dans le 2e rapport de cette proportion c'est l'inconnue qui, au 4e terme, correspond ou est comparée à ce premier conséquent; celui-ci et l'inconnue sont donc de même espèce.

3. On place le nombre à changer dans la colonne des antécédents, parce qu'il doit, comme terme moyen, entrer dans leur produit.

Il faut barrer avec soin tous les termes supprimés ou divisés, afin d'éviter que, par erreur, ils entrent comme facteurs dans le produit : ce dernier ne doit être formé que par les seuls nombres qui subsistent après les réductions, nombres qu'on place à la suite de l'opération primitive.

Il faut tendre autant que possible à supprimer ou à réduire les antécédents, parce que c'est ainsi qu'on simplifie la division, l'opération la plus laborieuse.

Comme les fractions et les subdivisions complexes compliquent beaucoup les calculs, on les convertit quelquefois en décimales.

C'est ce qu'il faut faire toutes les fois que la conversion s'opère exactement, ou même avec un reste faible, qui ne peut influer sensiblement sur le résultat.

Quand, après toutes les réductions, les deux colonnes se réduisent l'une et l'autre à l'unité, le nombre que l'on cherche est l'unité.

Exemple : On demande de trouver la valeur intrinsèque du rouble, monnaie d'argent russe, sachant 1° que 1600 roubles pèsent 81 livres russes; 2° que 105 livres russes pèsent Zi3 kilogrammes; 3° que le titre du rouble est de 83 1/2/96; k° que 1 franc pèse 5 grammes dont 9/10 d'argent fin.

D'abord 83 1/2 /96 = 167/192.

Règle conjointe :

8 1000roubles I Mliv- ar&- monn- 0 3

96 £$2liv- aro- monn- * J571iv. arg. fin

7 M ^0gliv.arg.fin ; /, 3 kil. arg.fin

$kil. arg. fin • £0kil. arg. monn. g

\ kil. arg. monn. • £000 gr. arg. monn. g

g gr. arg. monn. • ^ franc

• • ^ rouble • ^ francs #

Réductions- : On barre 1600 et 1000 que l'on divise par 200 : il vient 8 et 5. On supprime 5 dans la colonne des antécédents ainsi que dans celle des conséquents. On supprime 9 dans la colonne des antécédents et l'on divise 81 de celle des conséquents par 9 : il vient 9. On barre 192 et 10 que l'on divise par 2 : il vient 96 et 5. On supprime 5 dans la colonne des conséquents et l'on remplace 105 de la colonne des antécédents par 21. Enfin on barre 21 et 9 que l'on divise par 3 : il vient 7 et 3. On a alors :

Ainsi 1 rouble = h fr. 39/5376, soit h francs.